第十四章整式的乘法与因式分解.docx
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第十四章整式的乘法与因式分解
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.1同底数幂的乘法导学案
学习目标:
1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.
2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算.会逆用公式aman＝am+n.
3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想.
学习重点：
掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算.
学习难点：
对法则推导过程的理解及逆用法则.
学习过程：
一、知识回顾，引入新课
问题一：
乘方的有关知识（用1分钟时间快速解答下面问题）
1．
（1）3×3×3×3可以简写成;
（2）a·a·a·a·…·a（共n个a）=，
表示其中a叫做，n叫做an的结果叫.
2．一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
列式：
你能写出运算结果吗？
二、观察猜想，归纳总结（阅读课本95页）
问题二：
（用5分钟时间解答问题四9个问题，看谁做的快，思维敏捷！
）
1.根据乘方的意义填空：
（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=
（2）53×54=（）×（）=
（3）a3×a4=（）×（）=
（4）5m×5n=（）×（）=（m、n都是正整数）
共（）个
2.猜想：
am·an=（
都是正整数）
3.验证：
am·an=（）×（）=（）=
4.归纳：
同底数幂的乘法法则：
am×an＝（m、n都是正整数）
文字语言：
5.法则理解：
①同底数幂是指底数相同的幂．如（-3）2与（-3）5,（ab3）2与（ab3）5,（x-y）2与（x-y）3等．
②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：
两个幂的底数相同，且是相乘的关系；
右边：
得到一个幂，且底数不变，指数相加．
6.法则的推广:
am·an·ap=（m,n,p都是正整数）.
思考：
三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？
同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．
am·an·ap=am+n+p，am·an·…·ap=am+n+…+p（m、n…p都是正整数）
7.法则逆用可以写成
同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：
25=23·22=2·24等．
8.应用法则注意的事项：
底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：
32·23≠32+3；
不要忽视指数为1的因数，如:
a·a5≠a0+5．
底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．
9.判断以下的计算是否正确,如果有错误,请你改正.
（1）a3·a2=a6
（2）b4·b4=2b4（3）x5+x5=x10
（4）y7·y=y7（5）a2+a3=a5（6）x5·x4·x=x10
三、理解运用，巩固提高
例1.计算：
（1）103×104；
（2）a•a3（3）a•a3•a5（4）xm×x3m+1
例2.计算：
（1）（-5）（-5）2（-5）3
（2）（a+b）3（a+b）5（3）-a·（-a）3
（4）-a3·（-a）2（5）（a-b）2·（a-b）3（6）（ａ+1）2·（1+ａ）·（ａ+1）5
四、深入探究、活学活用
例3.
（1）已知am＝3，am＝8，求am+n的值.
（2）若3n+3=a，请用含a的式子表示3n的值.
（3）已知2a=3，2b=6，2c=18，试问a、b、c之间有怎样的关系？
请说明理由.
五、实践运用，巩固提高
1．下列计算中①b5+b5=2b5，②b5·b5=b10，③y3·y4=y12，④m·m3=m4，⑤m3·m4=2m7，其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．x3m+2不等于（）
A．x3m·x2B．xm·x2m+2C．x3m+2D．xm+2·x2m
3．计算5a•5b的结果是（）
A．25abB．5abC．5a+bD．25a+b
4．计算下列各题
（1）ａ12•a
（2）y4y3y（3）x4x3x（4）xm-1xm+1
（5）（x+y）3（x+y）4（x+y）4（6）（x-y）2（x-y）5（x-y）6
六、总结反思，归纳升华
通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下：
14.1.2幂的乘方导学案
学习目标：
1.理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算，并能解决一些实际问题.
2.在双向运用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性；
3.在探索“幂的乘方的法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归纳思想.初步培养学生应用“转化”的数学思想方法的能力.
学习重点：
能灵活运用幂的乘方法则进行计算.
学习难点：
幂的乘方与同底数幂的乘法运算的区别，提高推理能力和有条理的表达能力.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
问题一:
我们知道：
aaaaa=a5,那么类似地a5a5a5a5a5可以写成（55）5,
⑴上述表达式（55）5是一种什么形式？
（幂的乘方）
⑵你能根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则计算出它的结果吗？
二、观察猜想，归纳总结（阅读课本96页）
问题二：
1.试试看：
（1）根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
①
②（am）2=________×_________=__________；
③
=
④
=
.
2.类比探究：
当
为正整数时，
观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？
它们之间有怎样的运算规律？
请你概括出来：
.
3.总结法则（am）n＝________________（m，n都是正整数）
幂的乘方，_________________不变，______________________.
三、理解运用，巩固提高
问题三：
1.计算
（1）
（2）
；（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
归纳小结：
同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：
相同点都是不变；不同点，前者是指数，后者是指数.
2.
（1）已知
求
的值.
（2）已知
求
的值.
四、深入探究，活学活用
问题四：
1.我们知道31=3，它的个位数字是3；32=9它的个位数字是9；33=27它的个位数字是7；34=81它的个位数字是1，……再继续下去看一看，你发现了什么？
你能很快说出32012的个位数字是几吗？
2.逆用法则
：
（1）
（2）
=
=
（3）
五、深入学习，巩固提高
1．下列各式中，计算正确的是（）A.
B.
C.
D.
2．下列计算正确的是（）A．x2+x2=2x2B．x2x2=2x4C．（a3）3=a10D．（am）n=（an）m
3．
可写成（）A．
B．
C．
D．
4．（a2）3a4等于（）A．m9B．m10C．m12D．m14
5．填空：
；
；若
.
6．计算
（1）（53）2
（2）（a3）2+3（a2）3（3）（-x）n·（-x）2n+1·（-x）n+3；
（4）ym·ym+1·y；（5）（x6）2+（x3）4+x12（6）（-x-y）2n·（-x-y）3；
7.
（1）若
求代数式
的值.
（2）
的值.
8．一个棱长为
的正方体，在某种条件下，其体积以每秒扩大为原来的
倍的速度膨胀，求10秒后该正方体的体积.
六、总结反思，归纳升华
14.1.3积的乘方导学案
学习目标:
1.会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算.
2.经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.
3.通过积的乘方法则的探究及应用，让学生继续体会从特殊到一般的认知规律，从一般到特殊的应用规律.
学习重点：
积的乘方运算法则及其应用.
学习难点：
各种运算法则的灵活运用.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
1、已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
列式为：
2、讨论：
体积应是V=（2×103）3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？
底数是 ，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是 .
因此（2×103）3应该理解为 .如何计算呢？
二、探究学习，获取新知（阅读课本97页）
1.读一读，做一做：
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（aa）·（bb）=
（2）（ab）3＝ ＝ ＝a（）b（）
（3）（ab）4= = =
（4）（ab）n＝ ＝ ＝a（）b（）（其中
是正整数）
2.总结法则：
积的乘方公式：
（ab）n＝ （n为正整数）
文字语言：
.
3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？
如：
（abc）n＝ .
4.在运用积的乘方运算时，应注意的问题:
积的乘方运算对于三个或三个以上几个数的积的乘方运算 ，即：
（abc）n＝anbncn；在运用积的乘方运算性质时，①要注意结果的符号；②要注意积中的每一项都要进行乘方，不要掉项.
三、理解运用，巩固提高
例3计算：
（1）（2b）3
（2）（2×a3）2（3）（－a）3
（4）（－3x）4（5）（-5b）3（6）（-2x3）4
四、深入探究，自我提高
完成下列探索
1.积的乘方运算性质：
（ab）n＝anbn，
把这个公式倒过来应该是：
.
2.倒过来之后的公式说明的意思是什么？
你能用自已的语言说明一下吗？
3.试一试
（1）
=
（2）
=
（3）
=（4）［（-
）502］4×（2
）2009=
（5）
=（6）
=
五、总结反思，归纳升华
1.积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积.即（ab）n＝anbn（
是正整数）.2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如（abc）n＝anbncn（
是正整数）3．积的乘方法则可以进行逆运算.即anbn＝（ab）n（
为正整数）
六、达标检测，体验成功
（一）填空题:
1．（ab）22.（ab）33．（a2b）3
4.（2a2b）25．（-3xy2）36.（-
a2bc3）2
7．42×8n=2（）×2（）=2（）
（二）选择题:
1．下列计算正确的是（ ）A．（xy）3=x3yB．（2xy）3=6x3y3C、（-3x2）3=27x5D．（a2b）n=a2nbn
2．若（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（）.
A．m=9，n=4B．m=3，n=4C．m=4，n=3D．m=9，n=6
3．下列各式中错误的是（）
A.［（x-y）3］2=（x-y）6B.（-2a2）4=16a8C.〔-
m2n〕3=-
m6n3D.（-ab3）3=-a3b6
4、计算（x4）3·x7的结果是（）A.x12B.x14C.x19D.x84
5.下列运
算中与a4·a4结果相同的是（）A.a2·a8B.（a2）4C.（a4）4D.（a2）4·（a2）4
（三）计算:
（1）
（2）
（3）
（4）
（四）拓展题:
1．已知
，
，求
和
的值.
2．已知
，求x的值.
14.1.4整式的乘法
（1）-------单项式乘以单项式导学案
学习目标：
1.会熟练利用单项式乘单项式的法则进行相关运算；
2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的能力.
教学重点：
单项式与单项式相乘的法则
教学难点：
计算时注意积的系数、字母及其指数.
学习过程:
一、知识回顾，导入新课
1.同底底数幂的乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
2.判断下列计算是否正确，如有错误加以改正.
（1）a3·a5＝a10（ ）
（2）a·a2·a5＝a7；（ ）
（3）（a3）2＝a9；（ ）（4）（3ab2）2·a4＝6a2b4.（ ）
3．计算：
（1）10×102×104＝（ ）；
（2） （－2x2y3）2＝（ ）.
（3）（a＋b）·（a＋b）3·（a＋b）4＝（ ）；
4.一个长方形的底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少？
请列式：
.
这是一种什么运算？
怎么进行呢？
本节我们就来学整式的乘法.
二、探究学习，获取新知
阅读课本98页，完成下面问题.
1.探究:
4xy·3x如何进行计算？
解：
4xy·3x＝4·xy·3·x＝（4·3）·（x·y）·y＝12x2y.
2.仿例计算：
（1）3x2y·（－2xy3）＝＝.
（2）（－5a2b3）·（－4b2c）＝＝.
（4）3a2·2a3=（ ）×（ ）＝.
（5）－3m2·2m4=（ ）×（ ）＝.
（6）x2y3·4x3y2=（ ）×（ ）＝.
（7）2a2b3·3a3=（ ）×（ ）＝.
3.观察第2题的每个小题的式子有什么特点？
由此你能得到的结论是：
法则：
单项式与单项式相乘，
.
三、理解运用，巩固提高
1.计算①（
a2）·（6ab）＝；②4y·（-2xy2）＝
③（-5a2b）（-3a）＝；④（2x3）·22＝；
⑤（-3a2b3）（-2ab3c）3＝；⑥（-3x2y）·（-2x）2＝.
2.归纳总结：
（1）通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：
一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；
二是把各因式的_____相乘，底数不变，指数相加；
三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式.
（2）单项式相乘的结果仍是．
3.推广：
（1）计算：
3a3b·2ab2·（－5a2b2）=
方法总结：
多个单项式相乘，只要把它们的系数相乘作为积的系数，同底数的幂相乘即可.
（2）做一做:
①（2x2y）•（－3xy3）•（x2y2z）
②（4×103）•（3×102）•（0.25×104）
4．计算⑴
（2）
（3）
5.卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约7.9×103米／秒
，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?
四、实践应用，提高技能
1．判断：
①单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）
②两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ）
③两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）
2．下列运算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
3．计算
（1）0.4x2y•（
xy）2-（-2x）3•xy3
（2）
五、总结反思
14.1.4整式的乘法
（2）-------单项式乘以多项式导学案
学习目标：
1．了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则；
2．能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算.
3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.
学习重点：
在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地运用法则.
学习难点：
正确判断单项式与多项式相乘的积的符号.
学习过程：
一、联系生活设境激趣
1.在一次绿色环保活动中购买奖品如下表,
品名
单价（元）
数量
笔记本
5.20
15
钢笔
3.40
15
贺卡
0.70
15
①有几种算法计算共花了多少钱？
⑵各种算法之间有什么联系？
请列式：
方法1:
.
方法2：
.
联系……①
②将等式15（5.20+3.40+0.70）=15×5.20+15×3.40+15×0.70
中的数字用字母代替也可得到等式：
m（a+b+c）=ma+mb+mc；……②
2、如图长方形操场,计算操场面积？
方法1:
.
方法2：
.
可得到等式（乘法分配律）；
二、探究学习，获取新知.
1．等式②左右两边有什么特点?
2．提炼法则：
3．符号语言：
a（b+c）=ab+ac或m（a+b+c）=ma+mb+mc
4．思想方法：
剖析法则m（a+b+c）=ma+mb+mc，得出：
转化
单项式×多项式——→单项式×单项式
乘法分配律
三、理解运用，巩固提高
1.计算：
⑴
⑵（
ab2-2ab）•ab
⑶（-2a）.（2a2-3a+1）（4）（2x
一3
+4x－1）（一3x）；
1.单项式与多项式相乘的步骤：
①按乘法分配律把乘积写成.②按单项式的乘法法则运算完成.
3．讨论解决：
（1）单项式与多项式相乘其依据是,运用的数学思想是.
（2）单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数.
（3）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：
同号相乘得，异号相乘得.
4.下列各题的解法是否正确，正确的请打∨错的请打×，并说明原因.
（1）2
a（a2+a+2）=
a3+
a2+1 （ ）
（2）3a2b（1-ab2c）=-3a3b3 （）
（3）5x（2x2-y）=10x3-5xy （）（4）（-2x）.（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x（）
5．计算：
⑴（5a2－2b）·（-a2）⑵
6.先化简，再求值：
2a3b2（2ab3-1）-（-
a2b2）（3a-
a2b3）其中a=
b=-3.
【解题小结】
1．用单项式乘多项式法则去括号和单项式乘单项式法则进行计算.
2．合并同类项化简.3．把已知数代入化简式，计算求值.
四、当堂反馈
1.某长方形足球场的面积为（2x2+500）平方米，长为（2x+10）米，宽为x米，
这个足球场的长与宽分别是多少米？
2.你能用几种方法计算下面图形的面积S？
五、总结反思
14.1.4整式的乘法（3）-------多项式乘以多项式导学案
学习目标：
1．理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程.
2．熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题
学习重点：
多项式乘以多项式的运算法则与应用.
学习难点：
多项式乘以多项式法则的得出与理解.
学习过程：
一、温故知新,导入新课：
计算：
⑴（-8a2b）（-3a）⑵2x·（2xy2-3xy）
运用的知识与方法：
二、问题情境,探索发现
1.如下图，某地区退耕还林，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.求这块林区现在的面积S.
方法1.S=①
方法2.S=②
方法3.S=③
方法4.S=④
因为它们表示的都是同一块绿地的面积，
按①②④可得到的结论：
按①③④可得到的结论：
2.蕴含的代数、几何意义分别是：
3.归纳概括,加深理解：
①多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，
②用字母表示为：
.
三、理解运用总结方法
1.计算⑴（x+2）（x-3）⑵（3x-1）（2x+1）⑶（x+2）（x+2y-1）
2.下面的计算是否正确？
如有错误，请改正.
⑴（3x+1）（x-2）⑵（3x-1）（2x-1）⑶（x+2）（x-5）
=3x2-6x-2=6x2-3x-2x+1=x2+5x+2x+10
=x2+7x+10
归纳多项式与多项式相乘注意事项:
①
②.③
四、当堂反馈
1.判断下列各题是否正确,并说出理由.
（1）.
（）
（2）.
（）
（3）.
（）
2.选择题:
下列计算结果为x2－5x－6的是（）
A.（x－2）（x－3）B.（x－6）（x＋1）
C.（x－2）（x＋3）D.（x＋2）（x－3）
3.如果ax2＋bx＋c＝（2x＋1）（x－2），则a=b=c=
4.三角形底边长是（5m－4n）,底边上的高是（2m＋3n），则这个三角形的面积是
5.王老汉承包的长方形鱼塘，原长2x米，宽x米，现在要把四周向外扩展y米，问这个鱼塘的面积增加多少？
6.有一道题计算（2x＋3）（3x＋2）－6x（x＋3）＋5x＋16的值，其中
x＝－666，小明把x＝－666错抄成x＝666，但他的结果也正确，这是为什么?
7.有一个长方形的长是2xcm,宽比长少4cm,若将长方形的长和宽都增加3cm,面积增加多少?
若x=2cm,则增加的面积是多少？
8.先化简，再求值：
五、总结反思
14.1.4整式的乘法（4）----同底数幂的除法导学案
学习目标：
1．理解同底数幂的除法运算法则，能灵活运用法则进行计算.
2．会运算单项式相除、多项式除以单项式，并解决简单的实际问题。
学习重点：
能灵活运用同底数幂的除法运算法则进行有关的除法计算.
学习难点：
应用同底数幂的除法运算法则解决数学问题.
学习过程：
一、自主学习，导入新课
阅读课本102、103页内容，完成下面问题.
1．我们已经知道同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n，那么同底数幂怎么相除呢？
2.
（1）用你学过的知识完成下面计算.
①23·22=2（）②103·104=10（）③a4·a3=a（）
（2）根据上面的计算，由除法和乘法是互为逆运算，你能直接写出下面各题的结果吗？
①25÷22＝ ；②107÷103＝ ；③a7÷a3＝ （a≠0）．
3.仿例计算：
（用幂的形式填空）①
；
②
=；
③
=.
4．一般地，当m、n为正整数，且m＞n时
，
同底数幂的除法性质：
am÷an=（m、n为正整数，m>n，a≠0）
文字语言：
同底数幂相除， .
5．
（1）32÷32=9÷9=
（2）32÷32=3（）－（）=3（）=
（3）an÷an=a（）－（）=a（）=1,也就是说，任何不为0的数的次幂等于1；
注意：
字母作底数，如果没有特别说明一般不为0.
6、计算
（1）
=
（2）
=
（3）
=（4）x6÷x=
（5）（-x）4÷（-x）=（6）
=
（7）
=（8）
二、合作学习，深入探
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