导数在研究函数中的应用B重点.docx

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导数在研究函数中的应用B重点

导数在研究函数中的应用（B）（重点）

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.单调性2.极值与最值

3.导数的运用

教学目标

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念

2．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值

教学重点

导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系 

教学难点

导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用

教学过程

一.课程导入：

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线; 

3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

二、复习预习

通过我们对课堂导入的预习来学习今天的内容,通过课本的例题讲解我们知道我们学习今天的内容能够解决什么样的题型,也对我们学习后面的性质做了一个很好的铺垫

三、知识讲解

考点1、函数的单调性与导数

在区间（a，b）内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）为该区间上的增函数；

如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）为该区间上的减函数．

考点2、函数的极值与导数

（1）函数极值的定义

若函数f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f（a）叫函数的极小值．

若函数f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f（b）叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．

（2）求函数极值的方法

解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时，

①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f（x0）是极大值．

②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f（x0）是极小值．

考点3、函数的最值

（1）最大值与最小值的概念

如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在定义域上的最小值．

（2）求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值．

②将函数y＝f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．

考点4、生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是：

四、例题精析

考点一导数与函数的单调性

【例题1】

【题干】已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若a＝3时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；　

（3）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减？

若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】见解析

【解析】

（1）当a＝3时，f（x）＝x3－3x－1，∴f′（x）＝3x2－3，

令f′（x）>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴f（x）的单调增区间为（－∞，－1）∪（1，＋∞），

同理可求f（x）的单调减区间为（－1，1）．

（2）f′（x）＝3x2－a.

∵f（x）在实数集R上单调递增，

∴f′（x）≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴a≤（3x2）min.

∵3x2的最小值为0，∴a≤0.

（3）假设存在实数a使f（x）在（－1，1）上单调递减，

∴f′（x）≤0在（－1，1）上恒成立，即a≥3x2.

又3x2∈[0，3），∴a≥3.

∴存在实数a使f（x）在（－1，1）上单调递减，且a≥3.

考点二导数与函数的极值、最值

【例题2】

【题干】设函数f（x）＝（x2＋ax＋b）ex（x∈R）．

（1）若a＝2，b＝－2，求函数f（x）的极大值；

（2）若x＝1是函数f（x）的一个极值点．

①试用a表示b；

②设a＞0，函数g（x）＝（a2＋14）ex＋4.若ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）－g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范围．

【答案】见解析

【解析】

（1）∵f′（x）＝（2x＋a）ex＋（x2＋ax＋b）ex＝[x2＋（2＋a）x＋（a＋b）]ex，

当a＝2，b＝－2时，f（x）＝（x2＋2x－2）ex，

则f′（x）＝（x2＋4x）ex，

令f′（x）＝0得（x2＋4x）ex＝0，

∵ex≠0,∴x2＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，

列表如下：

x

（－∞，－4）

－4

（－4，0）

0

（0，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

∴当x＝－4时，函数f（x）取极大值，f（x）极大值＝

.

（2）①由

（1）知f′（x）＝[x2＋（2＋a）x＋（a＋b）]ex.

∵x＝1是函数f（x）的一个极值点，∴f′

（1）＝0，

即e[1＋（2＋a）＋（a＋b）]＝0，解得b＝－3－2a.

②由①知f′（x）＝ex[x2＋（2＋a）x＋（－3－a）]

＝ex（x－1）[x＋（3＋a）]，

当a＞0时，f（x）在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为f

（1）＝－（a＋2）e.

∵f（0）＝b＝－3－2a＜0，f（4）＝（2a＋13）e4＞0，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的值域是[f

（1），f（4）]，

即[－（a＋2）e，（2a＋13）e4]．

又g（x）＝（a2＋14）ex＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[（a2＋14）e4，（a2＋14）e8]，

∴（a2＋14）e4－（2a＋13）e4＝（a2－2a＋1）e4＝（a－1）2e4≥0，

∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）－g（ξ2）|＜1成立只须（a2＋14）e4－（2a＋13）e4＜1

（a－1）2e4＜1

（a－1）2＜

1－

＜a＜1＋

.

考点三导数在实际问题中的应用

【例题3】

【题干】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

【答案】见解析

【解析】

（1）S＝602－4x2－（60－2x）2＝240x－8x2（0

（2）V＝（

x）2

（60－2x）＝2

x2（30－x）（0

所以V′＝6

x（20－x），令V′＝0，得x＝20，

当0

所以，当x＝20时，V最大，

此时，包装盒的高与底面边长的比值为

＝

.

课后评价