高中数学新学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初步 14.docx

高中数学新学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初步 14.docx

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高中数学新学案同步必修2北师大版第二章解析几何初步14

1．4　两条直线的交点

学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．

知识点　直线的交点

思考1　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？

答案　直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．

思考2　已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点坐标？

答案　只需写出这两条直线方程，然后联立求解．

思考3　由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

答案　

（1）若方程组无解，则l1∥l2；

（2）若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；

（3）若方程组有无数解，则l1与l2重合．

梳理　

（1）两直线的交点

几何元素及关系

代数表示

点A

A（a，b）

直线l1

l1：

A1x＋B1y＋C1＝0

点A在直线l1上

A1a＋B1b＋C1＝0

直线l1与l2的交点是A

（2）两直线的位置关系

方程组的解

一组

无数组

无解

直线l1与l2的公共点的个数

一个

无数个

零个

直线l1与l2的位置关系

相交

重合

平行

1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（　√　）

2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．（　×　）

类型一　求两条直线的交点

例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．

（1）l1：

2x－y＝7和l2：

3x＋2y－7＝0；

（2）l1：

2x－6y＋4＝0和l2：

4x－12y＋8＝0；

（3）l1：

4x＋2y＋4＝0和l2：

y＝－2x＋3.

考点　直线的一般式方程与直线的平行关系

题点　利用直线的一般式方程判断位置关系

解　

（1）解方程组得

因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，－1）．

（2）方程组有无数个解，

表明直线l1和l2重合．

（3）方程组无解，

表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.

反思与感悟　两条直线相交的判定方法

方法一

联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交

方法二

两直线斜率都存在且斜率不相等

方法三

两直线的斜率一个存在，另一个不存在

特别提醒　在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况．

跟踪训练1　

（1）已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是（　　）

A．－4B．3

C．3或－4D．±4

考点　两条直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　C

解析　由两条直线相交，得k≠－.

联立方程解得

即两直线的交点为.

又该交点在直线y＝－x上，所以＝－，

解得k＝3或k＝－4，故选C.

（2）已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．

考点　两条直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　

解析　由得

由得

∴a的取值范围为.

类型二　求过两条直线交点的直线方程

例2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．

考点　过两条直线交点的直线方程

题点　利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程

解　方法一　解方程组得

所以两条直线的交点坐标为.

又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.

故所求直线方程为y＋＝－3，

即15x＋5y＋16＝0.

方法二　设所求直线方程为

（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，

即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*）

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

所以有

得λ＝.代入（*）式，

得x＋y＋＝0，

即15x＋5y＋16＝0.

引申探究

本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．

解　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，

即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0，

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，

则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－，

所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.

反思与感悟　求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括l2的方程），再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．

跟踪训练2　直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为（　　）

A．2x＋y＝0B．2x－y＝0

C．x＋2y＝0D．x－2y＝0

考点　过两条直线交点的直线方程

题点　利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程

答案　B

解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，

即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.

因为直线l过原点，所以λ＝8.

则所求直线方程为2x－y＝0.

类型三　直线过定点问题

例3　无论a，b为何值，直线（2a＋b）x＋（a＋b）y＋a－b＝0经过定点（　　）

A．（3，－2）B．（－2,3）

C．（－2，－3）D．（－3，－2）

考点　恒过定点的直线

题点　求直线恒过的定点坐标

答案　B

解析　原直线方程可化为a（2x＋y＋1）＋b（x＋y－1）＝0，

令解得

所以直线经过定点（－2,3）．故选B.

反思与感悟　恒过定点问题的三种解法

（1）直接法：

将已知直线的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得出定点．

（2）任意法：

任取直线系中的两条直线，所有直线的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．

（3）方程法：

将已知的方程整理成关于参数的方程．由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．

形如A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0的直线一定过定点，且定点为直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0的交点．

跟踪训练3　求证：

不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．

考点　恒过定点的直线

题点　求直线恒过的定点坐标

解　方法一　对于方程（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程组得两条直线的交点坐标为（2，－3）．

将点（2，－3）代入方程左边，得（2m－1）×2＋（m＋3）×（－3）－（m－11）＝0.

这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，－3）．

方法二　将已知方程（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0整理为（2x＋y－1）m＋（－x＋3y＋11）＝0.

由于m取值的任意性，有

解得

所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，－3）.

1．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为（　　）

A．1B．－1C．2D．－2

考点　两直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　B

解析　联立方程解得∴交点坐标为（4，－2），代入方程ax＋2y＋8＝0，解得a＝－1.

2．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是（　　）

A．2x＋y－7＝0

B．2x－y－7＝0

C．2x＋y＋7＝0

D．2x－y＋7＝0

考点　两直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　B

解析　联立方程解得

∴交点坐标为（3，－1），且斜率为2，直线方程为2x－y－7＝0，故选B.

3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是（　　）

A．2x＋y－8＝0

B．2x－y－8＝0

C．2x＋y＋8＝0

D．2x－y＋8＝0

考点　两直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　A

解析　首先解得交点坐标为（1,6），再根据垂直关系得斜率为－2，可得直线方程为y－6＝－2（x－1），即2x＋y－8＝0.

4．如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组________的解．

考点　两直线的交点

题点　两直线交点的综合应用

答案　

5．不论m为何实数，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5恒过的定点坐标是________________．

考点　恒过定点的直线

题点　求直线恒过的定点坐标

答案　（9，－4）

解析　方法一　取m＝1，得直线y＝－4.

取m＝，得直线x＝9.

故两直线的交点为（9，－4）．

将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝（m－1）·9－4·（2m－1）＝m－5＝右边，

故直线恒过点（9，－4）．

方法二　直线方程可变形为（x＋2y－1）m－（x＋y－5）＝0，

∵对任意m该方程恒成立，

∴解得

故直线恒过定点（9，－4）．

1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0（D≠C），与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m（m≠b）．

2．过两条直线交点的直线系方程：

过两条直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但此方程中不含l2；一般形式是m（A1x＋B1y＋C1）＋n（A2x＋B2y＋C2）＝0（m2＋n2≠0），是过直线l1与l2交点的所有直线方程．

一、选择题

1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（　　）

A．（2,2）B．（1,1）C．（1,2）D．（2,1）

考点　两条直线的交点

题点　求两条直线的交点坐标

答案　C

解析　由得交点坐标为（1,2），故选C.

2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为（　　）

A．－B.C．2D．－2

考点　两条直线的交点

题点　已知相交关系求参数的值

答案　A

解析　由方程组得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为（－1，－2），

代入直线x＋ky＝0，得k＝－.

3．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

考点　两条直线的交点

题点　两条直线交点的综合应用

答案　A

解析　直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A（0,2），B（2,0）．直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P（－2,1），要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：

kPB

4．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（　　）

A．x－3y＋7＝0B．x－3y＋13＝0

C．x－3y＋6＝0D．x－3y＋5＝0

考点　过两条直线交点的直线方程

题点　利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程

答案　B

解析　直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为（－1,4），与直线3x＋y－1＝0垂直，得斜率为，由点斜式，得直线方程为y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，故选B.

5．已知直线l1的方程为x＋Ay＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若直线l1，l2的交点在x轴上，则C的值为（　　）