北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明练习题.docx
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明练习题
第一章检测卷
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.已知一个等腰三角形一底角的度数为80°.则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A.20°B.70°C.80°D.100°
2.用反证法证明命题“若
=a,则a≥0”时,第一步应假设( )
A.
B.a≤0C.a<0D.a>0
3.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( )
A.AB=DCB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AE=BF
第3题图第4题图第5题图第6题图
4.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BA的延长线上一点,且CD=AB,若∠B=32°,则∠D等( )
A.48°B.58°C.64°D.74°
5.如图所示的仪器中,OD=OE,CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放,使点D、E落在直线l上,作直线OC,则OC⊥l,他这样判断的理由是( )
A.到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6.如图所示,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB,与∠1互余的角有( )
A.∠BB.∠AC.∠BCD和∠AD.∠BCD
7.已知:
如图,在△ABC中,D为BC的中点,AD⊥BC,E为AD上一点,∠ABC=60°,∠ECD=40°,则∠ABE=( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
第7题图第8题图第9题图第10题图
8.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AB=6,BC=4,DE=2,则△ABC的面积为( )
A.4B.6C.8D.10
9.如图,△ABC是等边三角形,AB=12,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF的长是( )
A.6B.5C.12D.8
10.如图,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F为BC的延长线上一点,FG⊥AE交AD的延长线于G,AC的延长线交FG于H,连接BG,下列结论:
①∠DAE=∠F;②∠DAE=
(∠ABD﹣∠ACE);③S△AEB:
S△AEC=AB:
AC;④∠AGH=∠BAE+∠ACB,其中正确的结论有( )个.
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(每小题3分,共15分)
11.写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 .
12.如图,△ABC中,∠A=60°,分别以A,B为圆心,大于AB长的一半为半径画弧交于两点,过两点的直线交AC于点D,连结BD,则△ABD是 三角形.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D,若∠ABD=20°,则∠ACD的度数为_____.
第12题图第13题图第14题图第15题图
14.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D是线段CE的中点,AD⊥BC于点D.若∠B=36°,BC=8,则AB的长为 .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为_______.
三.解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF.
17.(9分)如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=50°,∠C=36°,求∠DAC的度数.
18.(9分)如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:
不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
19.(9分)如图,在等边△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于E,EF⊥BC于F,已知AB=8,求BF的长.
20.(9分)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,C为角平分线上一点,过点C作CD⊥OC,垂足为C,交OB于点D,CE∥OA交OB于点E.
(1)判断△CED的形状,并说明理由;
(2)若CD=6,OD=10,直接写出OC的长.
21.(10分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:
CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
22.(10分)已知:
如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,若BE=10cm,AB=6cm,求CE的长.
23.(11分)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ;此时
= ;
(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?
并给出证明.
答案
1.A2.C3.A4.C5.C6.C7.C8.D9.A
10.D解析:
如图,AE交GF于M,①∵AD⊥BC,FG⊥AE,∴∠ADE=∠AMF=90°,∵∠AED=∠MEF,∴∠DAE=∠F;故①正确;②∵AE平分∠BAC交BC于E,∴∠EAC=
,∠DAE=90°﹣∠AED,=90°﹣(∠ACE+∠EAC)=90°﹣(∠ACE+
),=
(180°﹣2∠ACE﹣∠BAC)=
(∠ABD﹣∠ACE),故②正确;③∵AE平分∠BAC交BC于E,∴点E到AB和AC的距离相等,∴S△AEB:
S△AEC=AB:
CA;故③正确,④∵∠DAE=∠F,∠FDG=∠FME=90°,∴∠AGH=∠MEF,∵∠MEF=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠BAE+∠ACB;故④正确;故选:
D.
11.面积相等的三角形全等12.等边13.50°14.8
15.108°解析:
如图,连接OB、OC,∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线,
∴∠BAO=
∠BAC=
×54°=27°,又∵AB=AC,∴∠ABC=
(180°﹣∠BAC)=
(180°﹣54°)=63°,∵DO是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=27°,∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,∵AO为∠BAC的平分线,AB=AC,∴OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上,又∵DO是AB的垂直平分线,∴点O是△ABC的三条垂直平分线的交点,∴点O在OA和OB的垂直平分线上,∴OA=OB,∴∠OCB=∠OBC=36°,∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,∴OE=CE,∴∠COE=∠OCB=36°,在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°.
16.证明:
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵
,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(8分)
17.解:
由题意得:
BA=BD,则∠BAD=∠BDA,
∵∠B=50°,
∴∠BAD=∠BDA=65°,
∵∠BDA=∠DAC+∠C,∠C=36°,
∴∠DAC=29°.(9分)
18.解:
如图所示:
点P1,P就是所求的点.(9分)
19.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=8,∠A=∠B=∠C=60°,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD=4,
∵DE⊥AC,EF⊥BC,
∴∠DEA=90°,∠EFC=90°,
∴∠ADE=180°﹣∠DEA﹣∠A=30°,
∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠C=30°,
∴AE=
AD=
=2,CF=
EC=
×(8﹣2)=3,
∴BF=BC﹣CF=8﹣3=5.(9分)
20.解:
(1)△CED是等边三角形,理由如下:
∵OC平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠AOC=∠COE=30°,
∵CE∥OA,
∴∠AOC=∠COE=∠OCE=30°,∠CED=60°,
∵CD⊥OC,
∴∠OCD=90°,
∴∠EDC=60°,
∴△CED是等边三角形.(6分)
(2)在Rt△OCD中,根据勾股定理得OC=
=8.(9分)
21.
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于E,
∴DE=DC.
在△CDF与△EDB中,
∵
,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.(5分)
(2)解:
设CF=x,则AE=12﹣x,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴CD=DE.
在△ACD与△AED中,
∵
,
∴△ACD≌△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12﹣x,
解得x=2,即CF=2.(10分)
22.解:
如图,连接AP、CP,
∵BP平分∠ABC,PD⊥AB,PE⊥BC,
∴∠PBD=∠PBE,∠PDB=∠PEC=90°,PD=PE,
在△BPD和△BPE中,
,
∴△BPD≌△BPE(AAS),
∴BD=BE,
又∵BE=10cm,AB=6cm,
∴AD=BD﹣AB=BE﹣AB=4cm,
∵PQ垂直平分AC,
∴PA=PC,
在RT△PAD和RT△PCE中,
,
∴RT△PAD≌RT△PCE(HL),
∴CE=AD=4cm.(10分)
23.解:
(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.
此时
.(2分).
理由:
∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴△MDN是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠MBD=∠NCD=90°,
∵DM=DN,BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN,
∴∠BDM=∠CDN=30°,BM=CN,
∴DM=2BM,DN=2CN,
∴MN=2BM=2CN=BM+CN;
∴AM=AN,
∴△AMN是等边三角形,
∵AB=AM+BM,
∴AM:
AB=2:
3,
∴
=
;(3分)
(2)猜想:
结论仍然成立.
证明:
在NC的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.
∵∠MBD=∠M1CD=90°,BD=CD,
∴△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,∠MBD=∠M1CD,M1C=BM,
∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,
∴△AMN的周长为:
AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,
∴
=
;(7分)
(3)证明:
在CN上截取CM1=BM,连接DM1.
可证△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,
可证∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N,.
∴NC﹣BM=MN.(11分).