数学模型数学建模 第四次作业 整数规划和对策论模型.docx
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数学模型数学建模第四次作业整数规划和对策论模型
数学模型第四次作业整数规划和对策论模型
4.1实验目的
学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用LINGO软件求解。
4.2基本实验
1.工程安排问题
三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。
假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。
目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
解：
根据题意，设
，i=1,2,3,4,5
目标函数为：
限制条件为：
使用Lingo编程：
model:
max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;
5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25;
1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25;
8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25;
@bin（x1）;
@bin（x2）;
@bin（x3）;
@bin（x4）;
@bin（x5）;
end
运行得到结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
95.00000
Objectivebound:
95.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X11.000000-20.00000
X21.000000-40.00000
X31.000000-20.00000
X41.000000-15.00000
X50.000000-30.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
195.000001.000000
26.0000000.000000
34.0000000.000000
44.0000000.000000
分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三、四项工程可以使总收入达到最大。
2.固定费用问题
一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设备租金和其他的经济参数如表4.2所示。
假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工工时为2000小时，该厂如何安排生产可以使每月利润达到最大？
解：
根据题意三种服装的利润分别为120元、10元、100元.
设xi表示生成第i（i=1,2,3）种服装的数量，yi表示是否生产第i种服装。
列出目标函数：
列出限制条件：
5x1+x2+4x3≤2000
3x1≤300y1
0.5x2≤300y2
2x3≤300y3
使用Lingo编程求解：
model:
sets:
m/1,2,3/:
x,y;
endsets
[obj]max=100*x
（1）+10*x
（2）+100*x（3）-5000*y
（1）-2000*y
（2）-3000*y（3）;
5*x
（1）+x
（2）+4*x（3）<=2000;
3*x
（1）<=300*y
（1）;
0.5*x
（2）<=300*y
（2）;
2*x（3）<=300*y（3）;
@for（m（i）:
x（i）>=0;@bin（y（i））;）;
end
得到结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
21000.00
Objectivebound:
21000.00
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X
（1）100.00000.000000
X
（2）600.00000.000000
X（3）150.00000.000000
Y
（1）1.000000-5000.000
Y
（2）1.000000-4000.000
Y（3）1.000000-12000.00
RowSlackorSurplusDualPrice
OBJ21000.001.000000
2300.00000.000000
30.00000033.33333
40.00000020.00000
50.00000050.00000
6100.00000.000000
7600.00000.000000
8150.00000.000000
所以三种服装应该都生产，且生产西服100件、衬衫600件、羽绒服150件时可以使每月利润达到最大21000元。
3.串并联系统可靠性问题
有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，假如有一个部件发生故障，电器就不能工作。
可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。
表4.3列出了可靠性和成本费用。
假设制造该电器的已有资金共10万元，那么怎样来构造这件电器呢？
解：
构造集合bujian/1..3/（部件），yuanjian/1..2/（每个部件可并联的元件数集合），links（bujian,yuanjian）:
p,C,R。
其中
列出Lingo程序：
model:
sets:
bujian/1..3/;!
部件1,2,3;
yuanjian/1..2/;!
每个部件可装元件1,2;
links（bujian,yuanjian）/1,11,22,12,23,13,2/:
p,C,R;!
p（i,j）=1，则表示部件i上并联j个元件，否则，p（i,j）=0.C,R分别为成本，可靠性;
!
links中的元素必须罗列出来;
endsets
data:
C=12
35
24;
R=0.600.80
0.700.80
0.500.70;
enddata
max=@prod（bujian（I）:
@sum（yuanjian（J）|@in（links,I,J）:
p（I,J）*R（I,J）））;!
整个系统的可靠性,为每个部件的可靠性之积;
@for（bujian（I）:
@sum（yuanjian（J）|@in（links,I,J）:
p（I,J））=1）;
@for（links（I,J）|@in（links,I,J）:
@bin（p（I,J）））;
!
对于每一个部件，并联的元件数是一定的，p（I,J）只能取0或1，且p（I,J）的和为1;
@sum（bujian（I）:
@sum（yuanjian（J）|@in（links,I,J）:
p（I,J）*C（I,J）））<=10;!
总成本小于10（万元）;
end
运行得到如下结果：
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
64
Variables:
16
Integers:
16
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.3920000
Objectivebound:
0.3920000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
12
VariableValueReducedCost
P（1,1）0.0000000.000000
P（1,2）1.0000000.000000
P（2,1）1.0000000.000000
P（2,2）0.0000000.000000
P（3,1）0.0000000.000000
P（3,2）1.0000000.000000
C（1,1）1.0000000.000000
C（1,2）2.0000000.000000
C（2,1）3.0000000.000000
C（2,2）5.0000000.000000
C（3,1）2.0000000.000000
C（3,2）4.0000000.000000
R（1,1）0.60000000.000000
R（1,2）0.80000000.000000
R（2,1）0.70000000.000000
R（2,2）0.80000000.000000
R（3,1）0.50000000.000000
R（3,2）0.70000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.39200001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
51.0000000.000000
因此，此时的最优解可以得到：
即在第一个部件上并联两个元件，第二个部件上并联一个元件，第三个部件上并联两个元件，此时系统的在成本允许的情况下稳定性达到最大0.392。
4.二选一约束条件
某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：
微型、中型和大型。
表4.4给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。
目前有6000吨钢材和60000小时的劳动时间。
要生产一种在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆。
试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。
解：
设X1、X2、X3分别表示生产微型汽车、中型汽车、大型汽车的数量。
引入0-1变量，化为整数规划。
设yi只取0,1两个值，则生产1000辆或不生产用数学表达为：
目标函数：
max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;
限制条件：
1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;
30*x1+25*x2+40*x3<=60000;
x1<=5000*y1;（取个合理范围）
x1>=1000*y1;
x2<=5000*y2;
x2>=1000*y2;
x3<=5000*y3;
x3>=1000*y3;
x1,x2,x3为整数；
用Lingo编程求解：
model:
max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;
1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;
30*x1+25*x2+40*x3<=60000;
x1<=5000*y1;
x1>=1000*y1;
x2<=5000*y2;
x2>=1000*y2;
x3<=5000*y3;
x3>=1000*y3;
@bin（y1）;
@bin（y2）;
@bin（y3）;
@gin（x1）;
@gin（x2）;
@gin（x3）;
End
运行得到结果：
Objectivevalue:
6000000.
Objectivebound:
6000000.
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
1
Totalsolveriterations:
8
VariableValueReducedCost
X10.000000-2000.000
X22000.000-3000.000
X30.000000-4000.000
Y10.0000000.000000
Y21.0000000.000000
Y30.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
16000000.1.000000
20.0000000.000000
310000.000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
63000.0000.000000
71000.0000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
易知生产中型车2000辆可以使生产利润达到最大为6000000美元。
5.最小覆盖问题
某市管辖6个区（区1〜区6）.这个市必须明确在什么地方修建消防站，在保证至少有一个消防站在每个区的15分钟（行驶时间）路程内的情况下，这个市希望修建的消防站最少。
表4.5给出了该市各个区之间行驶需要的时间（单位为分钟）。
这个市需要多少个消防站，以及它们所在的位置。
解：
根据题意，设x表示是否在某区建消防站，c表示两区之间是否15分钟内可以到达，使用Lingo编程：
model:
sets:
area/1..6/:
x;
link（area,area）:
t,c;
endsets
data:
t=
01020303020
10025352010
20250153020
30351501525
30203015014
20102025140;
enddata
calc:
@for（link:
c=@if（t#le#15,1,0））;
endcalc
min=@sum（area:
x）;
@for（area:
@bin（x））;
@for（area（i）:
@sum（area（j）:
c（i,j）*x*（i））>=1）;
End
解得如下结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
2.000000
Objectivebound:
2.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X
（1）0.0000001.000000
X
（2）1.0000001.000000
X（3）0.0000001.000000
X（4）1.0000001.000000
X（5）0.0000001.000000
X（6）0.0000001.000000
…………………………………………
因此，若要修建消防站最少，只需在区2、区4建立消防站就可以。
6.对策问题1
在一次野餐会上，两个二人组在玩捉迷藏游戏。
共有四个隐藏地点（A、B、C和D），隐藏组的两个成员可以分别藏在四个地点的任何两个，搜寻组人有机会寻找任何两个地点。
如果他们都找到了隐藏组的二个人，搜寻组就可以得到一分奖励，假如两个人都没找到，他们就输一分。
其它情况下，结果是平局。
将这个问题表示成一个二人零和对策，求出搜寻组最优搜寻策略和它们的赢得值。
解：
设此题目局中人为甲乙两组
列出支付函数：
乙组（隐藏组）
甲组
（寻找组）
AB
AC
AD
BC
BD
CD
AB
1
0
0
0
0
-1
AC
0
1
0
0
-1
0
AD
0
0
1
-1
0
0
BC
0
0
-1
1
0
0
BD
0
-1
0
0
1
0
CD
-1
0
0
0
0
1
因为每行或列得分的和均为0，即局中人得失总和为零，所以该对策为二人零和对策。
MODEL:
sets:
playerA/1..6/:
x;
playerB/1..6/;
game（playerA,playerB）:
C;
endsets
data:
C=
10000-1
0100-10
001-100
00-1100
0-10010
-100001;
enddata
max=v_A;
@free（v_A）;
@for（playerB（j）:
@sum（playerA（i）:
C（i,j）*x（i））>=v_A）;
@sum（playerA:
x）=1;
end
得到结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
5
VariableValueReducedCost
V_A0.0000000.000000
X
（1）0.50000000.000000
X
（2）0.0000000.000000
X（3）0.0000000.000000
X（4）0.0000000.000000
X（5）0.0000000.000000
X（6）0.50000000.000000
因此推出，若搜索组采用50%的概率派出队员去搜索AB和CD的策略，可以得到的赢得值为0。
7.对策问题2
甲手中有两张牌，各为1点和4点；乙手中有两张牌，各为2点和3点。
两人同时各出一张牌，并依据两人所出牌的点数之和来决定各自的收益当点数和为偶数时，甲赢得为两张牌的点数和，乙羸得两张牌的点数差；当点数和为奇数时，甲赢得为两张牌的点数差，乙羸得两张牌的点数和。
求甲乙二人各自的最优策略和各自的羸得值。
解：
根据题意列出支付函数：
乙
2
3
甲
1
（1，4）
（4，2）
4
（6，2）
（1，7）
该题为一个典型的二人非常数和对策，每人的收益矩阵是不相同的，为双矩阵对策。
利用Lingo软件求解：
MODEL:
sets:
optA/1..2/:
x;
optB/1..2/:
y;
AXB（optA,optB）:
Ca,Cb;
endsets
data:
Ca=
14
61;
Cb=
42
27;
enddata
Va=@sum（AXB（i,j）:
Ca（i,j）*x（i）*y（j））;
Vb=@sum（AXB（i,j）:
Cb（i,j）*x（i）*y（j））;
@for（optA（i）:
@sum（optB（j）:
Ca（i,j）*y（j））<=Va）;
@for（optB（j）:
@sum（optA（i）:
Cb（i,j）*x（i））<=Vb）;
@sum（optA:
x）=1;@sum（optB:
y）=1;
@free（Va）;@free（Vb）;
End
求得结果：
Infeasibilities:
0.2622347E-12
Totalsolveriterations:
20
VariableValue
VA2.875000
VB3.428571
X
（1）0.7142857
X
（2）0.2857143
Y
（1）0.3750000
Y
（2）0.6250000
CA（1,1）1.000000
CA（1,2）4.000000
CA（2,1）6.000000
CA（2,2）1.000000
CB（1,1）4.000000
CB（1,2）2.000000
CB（2,1）2.000000
CB（2,2）7.000000
计算得到混合对策的平衡点为（5/7,2/7）,（3/8,5/8），此时的各自的赢得值为2.875和3.428571。
4.3加分实验（乒乓球团体赛上场队员排序问题）
乒乓球团体赛的比赛规则如下：
从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。
比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。
现行的比赛顺序：
第一场A—X，第二场B—Y，第三场C—Z，第四场A—Y，第五场B—X。
每场比赛为三局两胜制。
当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：
A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比赛队员分别是：
B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。
1.甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。
建立相应的数学模型，并说明你的理由。
2.如果每一局比赛，A1胜B3的概率改为0.45，A3胜B1的概率改为0.55。
在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？
解：
分析此问题，属于运筹学排序问题。
推理建立模型如下：
这是一个排列问题，用lingo软件，
目标函数：
max=@sum（shunxu:
p*x）;
设x（i,j）为0，1变量，x为一个3*3的0，1矩阵，x（i,j）表示第i同学是否在第j同学前面，
p为A选手胜B选手的概率=
0.500.550.60
0.450.500.55
0.400.450.50;
约束条件：
选手比赛的前后顺序；
每阶段只有一名选手比赛。
列出Lingo程序：
model:
sets:
aa/1..3/:
a;
bb/1..3/:
b;
cc/1..6/:
c;
ps/1..5/;
psc（ps,cc）:
p;
para（aa,bb）:
p1,p2,p3,p4,p5,p6,x;
pp（aa,bb,cc）:
pb,ppb;
endsets
data:
!
xyz;
p1=0.50.550.60
0.450.500.55
0.400.450.50;
!
yxz;
p2=0.550.600.5
0.500.550.45
0.450.500.40;
!
z,x,y;
p3=0.600.500.55
0.550.450.50
0.500.400.45;
!
x,z,y;
p4=0.500.600.55
0.450.550.50
0.400.500.45;
!
y,z,x;
p5=0.550.600.50
0.500.550.45
0.450500.40;
!
z,y,x;
p6=0.600.550.50
0.550.500.45
0.500.450.40;
enddata
!
yueshu;
calc:
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,1）=p1（i,j））;
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,2）=p2（i,j））;
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,3）=p3（i,j））;
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,4）=p4（i,j））;
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,5）=p5（i,j））;
@for（pp（i,j,k）:
pb（i,j,6）=p6（i,j））;
endcalc
@for（bb（j）:
@sum（aa（i）:
x（i,j））=1）;
@fo
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