浅谈 BigInteger.docx
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浅谈BigInteger
浅谈BigInteger
最近一段时间，我在TimusOnlineJudge网站做ACM题。
发现其中不少题目需要用到BigInteger，例如：
1531.Zonesonaplane
1013.K-basednumbers.Version3
1012.K-basednumbers.Version2
1153.Supercomputer
1108.Heritage
于是，我就开始寻找可以用于C#的BigInteger类。
结果如下表所示：
项目速度自动增长进制ModPowPowSqrt源文件大小备注
Fcl35Biginteger最快是232是是否1,755行，47.1KB是struct，不是class
SkyivBigInteger
快是109否是是335行，9.16KB源文件短小精悍，功能全
ChewBigInteger
慢否232是否是3,335行，102KB源文件中有大量的注释
JavaBigInteger极慢是28?
是是否（vjslib.dll）
需要J#run-timelibrary
在上表中，JavaBigInteger是指java.math.BigInteger，她在vjslib.dll中，需要J#run-timelibrary（VisualStudio2005/2008中已经包括J#run-timelibrary）。
用.NETReflector打开C:
\Windows\Microsoft.NET\Framework\v2.0.50727\vjslib.dll文件，找到java.math.BigInteger，查看其源程序代码如下：
复制代码
1[Serializable,JavaInterfaces（"2;System/IConvertible;java/lang/Comparable;"）]
2publicclassBigInteger:
Number,IConvertible,Comparable
3{
4//Fields
5privateBigInteger__absOfthis;
6[JavaFlags（0x1002）]
7internalsbyte[]__bits;
8//
9}
复制代码
根据第7行的internalsbyte[]__bits;猜想java.math.BigInteger的内部实现是基于28进制的。
ChewBigInteger就是ChewKeongTAN在CodeProject中的C#BigIntegerClass。
这是个很有名的C#Biginteger类，它写于2002年8月到9月，已经有很久的历史了。
但是她有个致命的缺点，就是不能自动增长，需要事先指定最大允许有多大的数，如果在运算过程中产生超过你事先指定大小的数，就会引发异常。
她的部分源程序代码如下所示：
复制代码
1namespaceChewKeongTAN
2{
3/*public*/classBigInteger
4{
5//maximumlengthoftheBigIntegerinuint（4bytes）
6//changethistosuittherequiredlevelofprecision.
7
8privateconstintmaxLength=26591;//==Math.Ceiling（digits/log10（2^32））
9
10privateuint[]data=null;//storesbytesfromtheBigInteger
11publicintdataLength;//numberofactualcharsused
12
13//
14
15}
16}
复制代码
她内部使用一个uint[]来存储，是基于232≈4.3x109进制的。
需要事先设定maxLength的值（程序中第8行），用以指定最多允许多少个232进制的数字，换算用的公式是：
maxLength=Math.Ceiling（digits/log10（232））≈digits/9.6
上式中digits表示十进制数字的个数。
Fcl35Biginteger就是.NETFramework3.5BaseClassLibrary中的System.Numeric.BigInteger，她在System.Core.dll中。
注意，她是一个internalstruct。
首先，她是一个struct，不是一个class，也就是说她是值类型而不是引用类型。
其次，致命的是，她是internal的，而不是public的，也就是说，她就在那里，但是你就是不能使用她。
实际上，在.NETFramework3.5的Beta和latestCTP版本中，她还是public的，只不过是在.NETFramework3.5正式发布时变成了internal的。
这里有一篇BCLTeam的MelittaAndersen于2008年1月4日发表的Blog:
WheredidBigIntegergo?
谈到这件事，要点是：
SowhywasBigIntegercut?
ThebasicrationalebehindmakingBigIntegerinternalwasthatitjustwasn'treadytoship.WethoughtourimplementationmettheneedsforaBigIntegertype.Butthenwehadsomeotherteamstakealookatitandtheypointedoutsomeperformanceandcompatibilityissuesthatwejustdidn'thavetimetofixbeforeweshipped.
于是，.NETReflector又上场了，用她打开C:
\Windows\assembly\GAC_MSIL\System.Core\3.5.0.0__b77a5c561934e089\System.Core.dll文件，找到System.Numeric.BigInteger，在Disassembler窗口中，点击最下方的ExpandMethods，然后把源程序代码全部复制到VisualStudio2008的IDE窗口（注意，目标Framework设定为.NETFramework2.0）中。
按下编译按钮，天啊，出现了好多错误。
于是，就开始修改源程序代码：
实现两个空的sealedclass:
ImmutableAttribute和PureAttribute。
（前一个好理解，后一个不知是什么东东。
当然，实际上她们不应该是空的）
实现一个staticclass:
Contract，其中包括两个重载的publicstaticvoidRequires方法。
（当然，实际上的Contract.Requires应该更复杂）
实现一个staticclass:
Res，其中包括若干个publicstaticreadonlystring字段。
（当然，实际上Res应该从资源文件中获得本地化的数据）
将程序中出现的某些常数值还原为privateconst字段。
注意，这不是必须的，只是为了使程序更容易看懂。
如果不做这一步，就可以将程序中所有的privateconst字段全部删除。
修改程序中某些变量的名称。
注意，这也不是必须的，也只是为了使程序更容易看懂。
然后，再次编译，耶，通过了。
但是，还是高兴得太早了一点，运行一些测试，发现答案根本不对。
经检查，发现是.NETReflector在反汇编为C#代码时会丢失一些强制类型转换，这在我的上一篇随笔浅谈Math.BigMul方法中已经提到过了：
她把Math.BigMul方法中的唯一的语句return（long）a*b;错误地反汇编为return（a*b）;了，但是反汇编为IL代码是正确的。
于是，只好逐条语句检查，如果需要进行强制类型转换，就自己加上，同时还去掉一些不必要的强制类型转换和括号，以便使源程序代码更易读。
真是一个很烦人和困难和工作，热切盼望.NETReflector能够尽快修复这个BUG。
:
）
好了，经过调试，程序终于运行正常了。
下面就是修改后的部分源程序代码：
复制代码
1namespaceFcl35.Numeric
2{
3[Serializable,StructLayout（LayoutKind.Sequential）,Immutable,ComVisible（false）]
4public/*internal*/structBigInteger:
IFormattable,
5IEquatable,IComparable,IComparable
6{
7privateconstulongBase=uint.MaxValue+1UL;//0x100000000L;
8privatereadonlyshort_sign;
9privatereadonlyuint[]_data;
10privateint_length;
11//
12}
13}
复制代码
和ChewKeongTAN.BigInteger类一样，Fcl35.Numberic.BigInteger结构内部也使用一个uint[]来存储，同样也是基于232≈4.3x109进制的。
但是，最重要的一点，Fcl35.Numberic.BigInteger结构是动态增长的，不需要事先指定最大允许有多大的数。
现在来讨论我最近写的一个Skyiv.Numeric.BigInteger类，她是从我在做ACM题时写的极简单的如下所示的BigInteger类发展而来的：
1sealedclassBigInteger
2{
3int[]digits=newint[1800];
4//
5}
这个极简单的BigInteger类的全部源程序代码可以在本随笔开头给出的URL中找到，只有五十多行。
她是基于10进制的，内部使用一个int[]来存储，需要事先指定该数组的大小，不能动态增长，而且只能表示非负整数。
下面是Skyiv.Numeric.BigInteger的源程序代码，非常短小精悍，只有区区335行，该有的功能基本上都有了。
实现了基本的算术运算和逻辑运算，还实现了Pow和Sqrt方法。
复制代码
1usingSystem;
2usingSystem.Text;
3usingSystem.Collections.Generic;
4
5namespaceSkyiv.Numeric
6{
7sealedclassBigInteger:
IEquatable,IComparable
8{
9staticreadonlyintLen=9;//int.MaxValue=2,147,483,647
10staticreadonlyintBase=（int）Math.Pow（10,Len）;
11
12intsign;
13Listdata;
14
复制代码
她内部使用一个List来存储（程序中第13行），是动态增长的，基于109进制（第9和10行）。
复制代码
15BigInteger（longx）
16{
17sign=（x==0）?
0:
（（x>0）?
1:
-1）;
18data=newList（）;
19for（ulongz=Abs（x）;z!
=0;z/=（ulong）Base）data.Add（（int）（z%（ulong）Base））;
20}
21
22BigInteger（BigIntegerx）
23{
24sign=x.sign;//x!
=null
25data=newList（x.data）;
26}
27
28publicstaticimplicitoperatorBigInteger（longx）
29{
30returnnewBigInteger（x）;
31}
32
复制代码
她只有两个构造函数，而且都是private的。
要获得该类的实例，主要途径之一是通过从long、int等类型隐式转换（第28到31行）而来，例如BigIntegera=2;语句。
复制代码
33publicstaticBigIntegerParse（strings）
34{
35if（s==null）returnnull;
36s=s.Trim（）.Replace（",",null）;
37if（s.Length==0）return0;
38BigIntegerz=0;
39z.sign=（s[0]=='-'）?
-1:
1;
40if（s[0]=='-'||s[0]=='+'）s=s.Substring
（1）;
41intr=s.Length%Len;
42z.data=newList（newint[s.Length/Len+（（r!
=0）?
1:
0）]）;
43inti=z.data.Count-1;
44if（r!
=0）z.data[i--]=int.Parse（s.Substring（0,r））;
45for（;i>=0;i--,r+=Len）z.data[i]=int.Parse（s.Substring（r,Len））;
46z.Shrink（）;
47returnz;
48}
49
复制代码
获得该类的实例的主要途径之二是调用静态的Parse方法，例如：
vara=BigInteger.Parse（"-123,456,789"）;语句。
复制代码
50publicstaticvoidSwap（refBigIntegerx,refBigIntegery）
51{
52BigIntegerz=x;
53x=y;
54y=z;
55}
56
57publicstaticulongAbs（longx）
58{
59return（x<0）?
（ulong）-x:
（ulong）x;
60}
61
62publicstaticBigIntegerAbs（BigIntegerx）
63{
64if（x==null）returnnull;
65BigIntegerz=newBigInteger（x）;
66z.sign=Math.Abs（x.sign）;
67returnz;
68}
69
复制代码
上面三个静态的公共方法都很简单，主要是为了方便，如果不提供这些方法也没关系。
要注意的是第二个Abs（long）方法返回ulong类型，而且从不抛出异常。
而Math.Abs（long）返回long类型，而且当参数为long.MinValue时会抛出异常。
复制代码
70publicstaticBigIntegerPow（BigIntegerx,inty）
71{
72if（x==null）returnnull;
73BigIntegerz=1,n=x;
74for（;y>0;y>>=1,n*=n）if（（y&1）!
=0）z*=n;
75returnz;
76}
77
78publicstaticBigIntegeroperator+（BigIntegerx）
79{
80if（x==null）returnnull;
81returnnewBigInteger（x）;
82}
83
84publicstaticBigIntegeroperator-（BigIntegerx）
85{
86if（x==null）returnnull;
87BigIntegerz=newBigInteger（x）;
88z.sign=-x.sign;
89returnz;
90}
91
复制代码
注意，重载的单目+操作符不仅是为了和重载的单目-操作符对应，而且可以用于克隆。
BigIntegerx=+y;和BigIntegerx=y;语句是完全不同的，前者为克隆一份新的对象，后者只是直接引用同一对象。
之所以不实现IClone接口，是因为该接口的Clone方法的返回类型是object，使用起来很不方便：
varx=y.Clone（）asBigInteger;需要一次强制类型转换。
如果FCL中有泛型版本的IClone接口就好了。
复制代码
92publicstaticBigIntegeroperator++（BigIntegerx）
93{
94returnx+1;
95}
96
97publicstaticBigIntegeroperator--（BigIntegerx）
98{
99returnx-1;
100}
101
复制代码
在C#语言中重载++和--运算符比在C++语言中容易，C#编译器会处理好前缀和后缀的情况。
复制代码
102publicstaticBigIntegeroperator+（BigIntegerx,BigIntegery）
103{
104if（x==null||y==null）returnnull;
105if（x.AbsCompareTo（y）<0）Swap（refx,refy）;
106BigIntegerz=newBigInteger（x）;
107if（x.sign*y.sign==-1）z.AbsSubtract（y）;
108elsez.AbsAdd（y）;
109returnz;
110}
111
112publicstaticBigIntegeroperator-（BigIntegerx,BigIntegery）
113{
114if（x==null||y==null）returnnull;
115returnx+（-y）;
116}
117
118publicstaticBigIntegeroperator*（BigIntegerx,BigIntegery）
119{
120if（x==null||y==null）returnnull;
121BigIntegerz=0;
122z.sign=x.sign*y.sign;
123z.data=newList（newint[x.data.Count+y.data.Count]）;
124for（inti=x.data.Count-1;i>=0;i--）
125for（intj=y.data.Count-1;j>=0;j--）
126{
127longn=Math.BigMul（x.data[i],y.data[j]）;
128z.data[i+j]+=（int）（n%Base）;
129z.CarryUp（i+j）;
130z.data[i+j+1]+=（int）（n/Base）;
131z.CarryUp（i+j+1）;
132}
133z.Shrink（）;
134returnz;
135}
136
137publicstaticBigIntegeroperator/（BigIntegerdividend,BigIntegerdivisor）
138{
139BigIntegerremainder;
140returnDivRem（dividend,divisor,outremainder）;
141}
142
143publicstaticBigIntegeroperator%（BigIntegerdividend,BigIntegerdivisor）
144{
145BigIntegerremainder;
146DivRem（dividend,divisor,outremainder）;
147returnremainder;
148}
149
复制代码
在C#中重载加减乘除等运算符，C#编译器也会自动添上相应的赋值运算符（+=,-=,...）。
复制代码
150publicstaticBigIntegerDivRem（BigIntegerdividend,BigIntegerdivisor,outBigIntegerremainder）
151{
152remainder=null;
153if（dividend==null||divisor==null）returnnull;
154if（divisor.sign==0）thrownewException（"divisionbyzero"）;
155if（dividend.AbsC
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