江苏省南通市届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题.docx

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江苏省南通市届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题

南通市2016届高三教学情况调研（三）数　　学

（满分160分，考试时间120分钟）2016．3

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.设复数z满足（1＋2i）·z＝3（i为虚数单位），则复数z的实部为____________．

2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝，A∩B＝{0}，则实数a的值为______．

3.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是__________．

4.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，

其使用寿命（单位：

h）如下表：

使用寿命

[500，700）

[700，900）

[900，1100）

[1100，1300）

[1300，1500]

只数

5

23

44

25

3

根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是__________．

5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：

立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是__________．

6.已知函数f（x）

＝loga（x＋b）（a＞0且a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a＋b的值是________．

7.设函数y＝sin（0＜x＜π），当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为_____．

8.在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是________．

9.在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有值为_____．

10.在平面直角坐标系xOy中，过点P（－2，0）的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆（x－a）2＋（y－）2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为___

_________．

（第6题）（第12题）

11.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞），满足f（x＋2）＝f（x）．若当x∈[0，2）时，f（x）＝|x2－x－1|，则函数y＝f（

x）－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．

12.如图，在同一平面内，点A位于两

平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3.点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是____________．

13.设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__________．

14.若存在α，β∈R，使得则实数t的取值范围是__________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.

（1）求C的值；

（2）若

A＝15°，AB＝，求△ABC的周长．

16.（本小题满分14分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：

（1）AP∥平面C1MN；

（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN.

17.（本小题满分14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案①　多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE＋EB＝30m；

方案

②　多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m.

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确

定使苗圃面积最大的方案．

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为.A

为椭圆上异于顶点的一点，点P满足＝2.

（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；

（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且＝m，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．

19.（本小题满分16分）

设函数f（x）＝（x

＋k＋1），g（x）＝，其中k是实数．

（

1）若k＝0，解不等式·f（x）≥·g（x）；

（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）＝x·g（x）实根的个数．

20.（本小题满分16分）

设数列{an}的各项均为正数，{

an}的前n项和Sn＝（an＋1）2，n∈N*.

（1）求证：

数列{an}为等差数列；

（2）等比数列{bn}的各项均为正数，bnbn＋1≥S，n∈N*，且存在整数k≥2，使得bkbk＋1＝S.

（ⅰ）求数列{bn}公比q的最小值（用k表示）；

（ⅱ）当n≥2时，bn∈N*，求数列{bn}的通项公式．

2016届高三教学情况调研（三）

数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两

题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

B.（选修42：

矩阵与变换）

在平面直角坐标系xOy中，设点A（－1，2）在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B（3

，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．

C.（选修44：

坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）

相交于A，B两点，求线段AB的长．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.一个摸球游戏，规划如下：

在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．

（1）求概率P（X

＝0）的值；

（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．

（注：

概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！

）

23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k（k∈N*），其中ai∈{0，1}（i＝1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b＝0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．

（1）当k＝2时，求m

（1）的值；

（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．

2016届高三教学情况调研（三）（南通市）

数学参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.　2.1　3.17　4.1400　5.　6.　7.28.　9.，　10.4　11.7　12.

13.4＋6　14.

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.

15.解：

（1）因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，

因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，所以tan（

A＋B

）＝＝1，（4分）

即tan（180°－C）＝1，亦即tanC＝－1，因为0°

（2）在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°.

由正弦定理＝＝，得＝＝＝2，（9分）

故BC＝2sin15°＝2sin（45°－30°）＝2（sin45°cos30°－cos45°sin30°）＝，（12分）

CA＝2sin30°＝1.所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝＋1＋＝.（14分）

16.证明：

（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.

又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形．从而AP∥C1M.（4分）

又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN；（6分）

（第16题）

（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.又M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.所以MN⊥BD.（8分）

在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD.又MN⊂平面ABCD,所以DD1⊥MN.

而DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面BDD1B1，所以MN⊥平面BDD1B1.（12分）

又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.（14分）

17.解：

设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.

方案①　设AE＝x，则S1＝x（30x－x）（3分）

≤＝（当且仅当x＝15时，“＝”成立）．（5分）

方案②　设∠BAE＝θ，则S2＝100sinθ（1＋cosθ），θ∈.（8分）

由S′2＝100（2cos2θ＋cosθ－1）＝0得，cosθ＝（cosθ＝－1舍去）．（10分）

因为θ∈，所以θ＝，列表：

θ

S′2

＋

0

－

S2

极大值

所以当θ＝时，（S2）max＝75.（12分）

因为<75，所以建苗圃时用方案②，

且∠BAE＝.

答：

方案①，②苗圃的最大面积分别为m2，75m2，建苗圃时用方案②

，且∠BAE＝.（14分）

18.解：

（1）因为＝2，而P（2，），所以A.代入椭

圆方程，得＋＝1①（2分）

又椭圆的离心率为，所以＝.　②（4分）

由①②，得a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．因为＝2，所以P（－2x1，－2y1）．

因为＝m，所以（－2x1－x2，－2y1－y2）＝m（x3－x2，y3－y2），即

于是（9分）代入椭圆方程，得＋＝1，

即＋－·＝1.　③（12分）

因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1.　④

因为直线OA，OB的斜率之

积为－，即·＝－，结合②知＋＝0.　⑤（14分）

将④⑤代入③，得＋＝1，解得m＝.（16分）

19.解：

（1）k＝0时，f（x）＝（x＋1），g（x）＝.由得x≥0.（2分）

此时，原不等式为（x＋1）x≥（x＋3），即2x2＋x－3≥0，解得x≤－或x≥1.

所以原不等式的解集为[1，＋∞）．（5分）

（2）由方程f（x）＝x·g（x）得，（x＋k＋1）＝x.　①

由得x≥k，所以x≥0，x－k＋1>0.

方程①两边平方，整理得（2k－1）x2－（k2－1）x－k（k＋1）2＝0（x≥k）．　②（7分）

当k＝时，由②得x＝，所以原方程有唯一解．

当k≠时，由②得判别式Δ＝（k＋1）2（3k－1）2，

i）k＝时，Δ＝0，方程②有两个相等的根x＝>，所以原方程有唯一的解．（10分）

ii）0≤k<且k≠时，方程②整理为[（2k－1）x＋k（k＋1）]（x－k－1）＝0，解得x1＝，x2＝k＋1.由于Δ>0，所以x1≠x2，其中x2＝k＋1>k，x1－k＝≥0，即x1≥k.故原方程有两解．（14分）

iii）k>时，由ii）知x1－k＝<0，即x1k，故原方程有唯一解．

综上所述：

当k≥或k＝时，原方程有唯一解；当0≤k<且k≠时，原方程有两解．（16分）

注：

ii）中，法2：

故方程②两实根均大于k，所以原方程有两解．

20.证明：

（1）因为Sn＝（an＋1）2，　①

所以Sn－1＝（an－1＋1）2，n≥2.　②

①－②，得（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，n≥2，（2分）

因为数列{an}的各项均为正数，所以an＋an－1>0，n≥2.从而an－an－1＝2，n≥2.

所以数列{an}为等差数列．（4分）

（2）（Ⅰ）①中，令n＝1，得a1＝1，所以an＝2n－1，Sn＝n2.

由bkbk＋1＝S（k≥2）得，b1＝，所以bn＝b1qn－1＝k2qn－k－，　③

由bnbn＋1≥S得，k4q2n－2k≥n4，即qn－k≥，　④（6分）

当n＝k时，④恒成立．

当n≥k＋1时，④两边取自然对数，整理得，≥.　⑤

记f（x）＝（x>1），则f′（x）＝，

记g（t）＝1－t＋lnt，00，

故g（t）为（0，1）上增函数，所以g（t）

（1）＝0，从而f′（x）<0，

故f（x）为（1，＋∞）上减函数，从而的最大值为kln.

⑤中，≥kln，解得q≥.（10分）

当n≤k－1时，同理有q≤.所以公比q的最小值为（整数k≥2）．（12分）

（Ⅱ）依题意，q∈N*.由

（2）知，q∈（整数k≥2），

所以q≥>1，q≤≤4，从而q∈{2，3，4}，

当q＝2时，≤2≤，只能k＝3，此时bn＝9·2n－，不符；

当q＝3时，≤3≤，只能k＝2，此时bn＝4·3n－，不符；

当q＝4时，≤4≤，只能k＝2，此时bn＝22n－3，符合．

综上，bn＝22n－3.（16分）

附加题

B．[选修42：

矩阵与变换]

解：

设B′（x，y），依题意，由＝，得A′（1，2）．（4分）

则＝（2，2），＝（x－1，y－2）．记旋转矩阵N＝（6分）

则＝，即＝，解得所以点B′的坐标为（－1，4）．（10分）

C．[选修44：

坐标系与参数方程]

解：

将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1.　①（3分）

将曲线的参数方程化为普通方程，得y＝1－2x2（－1≤x≤1）．　②（6分）

由①②，得或（8分）

所以A（－1，－1），B（0，1），从而AB＝＝.（10分）

22.解：

（1）事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，

则P（X＝0）＝3××＝.（3分）

（2）依题意，X的可能值为k，－1，1，0，且P（X＝k）＝＝，

P（X＝－1）＝＝，P（X＝1）＝3××＝，（6分）

结合

（1）知，参加游戏者的收益X的数学期望为E（

X）＝k×＋（－1）×＋1×＝（元），（8分）

为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.

答：

k的最小值为110.（10分）

23.解：

（1）当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，

所以m＝C＋C＝64.（3分）

（2）依题意，数列a1，a2，

…，a4k中有3个1，或7个1，或

11个1，…，或（4k－1）个1

，其余为0，

所以m（3）＝C＋C＋C＋

…＋C.（5分）

同理，得m

（1）＝C＋C＋C＋…＋C.因为C＝C（i＝3，7，11，…，4k－1），

所以m

（1）＝m（3）．又m

（1）＋m（3）＝C＋C＋C＋C

＋…＋C＋C＝24k－1，所以m（3）＝24k－2＝42k－1.（10分）