二维声子晶体的负折射实验研究 毕业设计.docx

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二维声子晶体的负折射实验研究毕业设计

目录

一、引言3

1.1声子晶体综述3

1.2负折射背景介绍5

二、二维声子晶体的负折射效应与平板透镜成像8

2.1样品及实验装置8

2.2透射性质及带结构测试分析10

2.3负折射成像实验及结果分析16

2.4负折射率测定实验及结果分析20

三、实验结论23

参考文献24

致谢26

二维声子晶体的负折射实验研究

摘要：

本文通过实验探讨了声波在二维声子晶体的负折射效应与平板透镜成像。

样品由直径为1mm的钢丝沿正方排列而成。

在第一布里渊区第一个禁带边缘的一些频率，样品的等频面曲线以M点为中心是圆的，且随着频率的增加，等频面曲线指向圆心，从而能定义该声子晶体样品的有效负折射率。

通过平板成像与折射率的测量实验,我们证实了该样品的负折射效应。

关键词：

声子晶体、负折射

Abstract:

Thethesisexperimentallyresearchesthenegativerefractioneffectandflatlensimagingofacousticwavewithtwo-dimensionalphononiccrystal.Thesampleconsistsofcylindricalsteelrodswithdiameter1mm,whicharearrangedinasquarearray.OnoneedgeofabandinthefirstBrillouinZone,thesample’sEqui-FrequencyContours（EFCs）isapproximatelycirculararoundMpoint.ThegradientoftheEFCspointstothecenter.Therefore,theNegativeRefractionIndex（NRI）canbewelldefinedatanyincidentalangelforthephononiccrystal.BasedontheexperimentsofflatlensimagingandNRImeasuring,thenegativerefractioneffecthasbeenwelltestified.

Keywords:

phononiccrystals,negativerefraction

一、引言

1.1声子晶体综述

晶体具有原子分布的空间周期性，原子的这种空间周期性分布对于在其中运动的电子提供了周期性的电势场。

电子在周期性电势场中的运动具有波动的特征。

电子波是物质波，即量子波。

对于固体中电子行为的描述通过引入能带、带隙、价带、导带等概念建立了固体能带理论。

固体能带理论是固体电子学的重要支柱，是我们今天认识固态物质的电导性、热导性、磁性、介电性和光学特性的理论基础。

天然晶体由于其结构的固定和不变性，使得其能带结构和物理性质受到了局限，不能任意地满足工业应用的要求。

1970年，日本科学家江崎（Esaki）和华裔科学家朱肇祥首先提出了一维晶体的人工设计的设想，即所谓的人工超晶格。

根据这一设想，人们利用分子束外延等技术制备出了半导体超晶格材料，即两种或两种以上性质不同的半导体薄膜相互交替生长而形成的周期性的多层结构。

通过任意改变薄膜的厚度，可以控制它的超晶格周期长度。

这对于内部的电子或空穴来说，相当于人为地设计了周期性电势场。

通过主动地改变超晶格所用的材料和结构，就可以人为地改变周期性电势场，从而改变电子的能带结构及其行为，达到超自然的“人工物性剪裁”的目的。

[1]

随后，类比与电子波在晶体原子周期性电势场中运动的情况,人们把量子体系拓展到经典体系—研究经典波在具有周期性结构的介质中传播的问题。

上世纪八十年代，S.John[2,3]和E.Yablonovithch[4,5]两人首先提出了光子晶体的概念。

通过比较描述电子的薛定谔方程及光子的麦克斯韦方程，人们发现光子在折射率周期性变化的介质中的运动类似于电子在周期性势场中的运动—存在光子能带，并在一定条件下，会出现光子带隙。

这种介电常数（或折射率）周期性变化的复合介质被称为光子晶体。

一般说来，当复合材料内部不均匀性的特征长度与光波长可相比拟时，光子会受到很强的散射，而光子带隙就是周期性结构所产生的Bragg散射的结果。

光子带隙的出现主要依赖于光子晶体的结构和介电常数之比以及其拓扑构造等因素。

一般来说，光子晶体中的两种介电常数比越大，入射光将被散射得越强烈，就越有可能出现光子禁带。

绝大多数光子晶体都是人工设计制造出来的，但是自然界中也存在光子晶体的例子，如蛋白石、蝴蝶翅膀等。

光子晶体是一种微结构，它的晶格尺寸与光波的波长相当，是天然晶体的1000倍左右。

由于光子带隙的存在，并且光子带隙有完全带隙和不完全带隙之分。

所谓完全带隙，是指在该频率范围内，光在整个空间的所有方向上都不能传播；而不完全带隙则指在该频率范围内，沿某些方向上的光是允许通过的，而另一些方向上的光则不允许通过--在特定方向上有带隙。

光子晶体独特的调节光子传播状态的功能，使它具有非常广阔的应用前景。

利用光子晶体具有光子禁带的基本性质，可以将其用作全反射镜和高发射率小型微波天线、光学双利稳态器件、光开关器件、光限幅器件等；利用光子带隙对原子、分子自发辐射的抑制作用，可以大大降低因自发跃迁而导致复合的几率，设计制作出无阈值光子晶体激光器和光子晶体激光二极管[6-8]；通过在光子晶体中引入缺陷，使得光子禁带中产生频率极窄的缺陷态，可以制造高性能的光子晶体光过滤器、单模光全反射镜和光子晶体光波导器等等[9]。

这些可能的应用前景激发了人们研究光子晶体的浓厚兴趣。

光子晶体广阔的应用前景使它成为当今世界范围内的一个研究热点，而且得到了很快的发展。

光子晶体被美国的《科学》杂志列为1999年的十大科学进展之一。

电子与光子的能带结构、带隙都是光子和电子作为一种波在凝聚态物质中传播的结果，从量子波和经典波在波动性上的共性出发，人们容易会联想到这样一个问题，是否声波和弹性波在弹性系数呈空间周期性变化的弹性媒质中传播也会产生声子带结构、声子带隙。

1992年,M.M.Sigalas和E.N.Economou在理论上证实球形材料埋入某一基体材料中形成周期性点阵结构具有带隙特性的重要结论,并在金、铅球与铝或者硅基体所形成的复合材料中获得带隙[10]。

随后,M.S.Kushwaha等人明确提出了声子晶体的概念,并采用平面波方法对镍柱在铝合金基体中形成的复合材料计算获得声波带隙[11]。

考虑到声子晶体和光子晶体在结构上的许多共同特征，以及波传播方面的共性，声子晶体的许多研究都是类比于光子晶体来进行的。

研究发现，不仅周期性结构的声子晶体可能有带隙的存在，准周期或非周期的结构中也可能存在带隙。

人们猜测类似光子晶体带隙的产生机制同样存在于声子晶体中。

一种机制是在周期系统中布拉格散射的作用，这种布拉格带隙会在布里渊区边缘打开，而完全带隙则要求带隙在所有的方向上都有交叠，并且布拉格带隙的属性与系统的周期性，对称性以及散射体的结构排列有很大关系，带隙频率的数量级和

的数量级相同，其中

是波速，

是晶格常数。

另一种机制是单体的Mie氏共振，通过单个散射体的耦合产生共振带隙。

最近，一种全新的带隙产生机制被提出来了[12,13]。

它的核心思想是引入了局域共振机制单元。

局域共振机制要求用相对较软、较轻材料包裹着较重核置于基体中，包裹层比核和基体两种材料软。

这种机制产生的带隙并不是由于布拉格散射作用，其属性不依赖于声子晶体结构的周期性、对称性，而取决于带包层的单体的共振，其组成单体的材料的填充率、弹性参数等物理量对该带隙的性质起决定性的作用。

在理论上，声子晶体的研究要比光子晶体、电子晶体复杂得多。

首先，声子晶体中，介质的力学量是张量，弹性波是含有纵波和横波两种传播速度的全矢量波，而对电子波函数、势函数是标量，对电磁波是矢势；其次，声子晶体中，每个组元中具有三个独立的弹性参数,即质量密度

、纵波波速

和横波波速

，因此，对声子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。

研究弹性波和声波在不同的周期和准周期结构的复合介质中的传播及其能带结构，可以使我们掌握不同材料的组元及其结构对能带结构及带隙的影响，有助于我们拓宽和加深对周期性和准周期性复合介质物理性质的了解,发现一些新现象和新规律。

1.2负折射背景介绍

近几年来，负折射介质由于其独特新颖的物理性质和诱人的应用前景而获得了国际学术界的广泛关注[14,15]，同时，科学（Science）杂志也选择其为2003年的十大科技成果之一。

负折射介质指的是介电常数和磁导率同时为负的介质，这时介质的折射率小于零。

光从常规材料（正折射率介质）入射到负折射介质的界面时将发生负折射现象，折射光线与入射光线在界面法线的同侧，如图1－1所示。

负折射介质改变了光波传播的传统图像。

在负折射介质中，光波传播的方向（即波矢方向），正好与能量传播的方向相反，同时电场、磁场与波矢满足左手规则（不同于传统介质中的右手规则）。

负折射介质最引人注目的地方是它们能够实现“超透镜效应”，极大地提高了透镜成像的分辨率[14]。

即如果用理想的负折射物质制作光学透镜，能形成理想的光学成像。

可用图1－2来说明，当一个点光源射向一块正常物质时，出射波将发散，而当其射向一块负折射物质时，将不但在负折射物质内部成一像点，同时也在负折射物质的另一边成一像点。

负折射介质的这种特殊性将使其在核磁共振成像、光存储和超大规模集成电路中的光刻技术等诸多方面得到应用。

图1－1（a）正折射（b）负折射

图1－2（a）点源入射到一块正折射物体,（b）点源入射到一块负折射物体

目前理论和实验报道的负折射效应，典型的有由金属导线阵列和有缺口的环形共振器组成的周期阵列和由电介质或者金属材料周期排列成的光子晶体[14-19]。

前者只能工作在微波波段，其中每一个晶格原胞中包含电偶极振子与磁偶极振子。

当入射电磁波波长远大于晶格常数时，电磁波近似于在一个均匀的等效介质中传播。

适当选取频率范围，可使该介质的等效介电常数与磁导率同时为负值，并进而具有负的折射率[20,21]，在这种情形，

、

以及

形成一套左手系，这种介质被称为“左手物质”，由共振机制起作用；而后者具有由光子带结构确定的有效折射率（ERI），其工作波段可延伸到可见光和红外区域。

现在所发现的光子晶体负折射行为有两种情况：

第一种是其等频色散线沿Γ点为中心是圆的，且随着频率的增加指向圆心，在这种情形，

，其中

为坡印廷矢量。

而另一种情形是其等频色散线沿M点为中心分布是圆的，因此在这种情形中，光子晶体中波的传播行为很像一般的右手介质[18,19,22]，即

。

此种介质的工作频率对应的入射波波长与光子晶体的晶格常数在同一个尺度。

类比于光子晶体中的负折射行为，其他经典波的负折射现象也相继被发现。

例如，现在已经有作者用实验实现了水的表面波在周期性结构中的负折射效应[23]。

最近Yang等人实现了声波在三维声子晶体中的聚焦效应[24]。

本文通过理论模拟与实验设计利用二维声子晶体的负折射效应实现了声波在二维声子晶体中的平面成像。

这是真正意义上的全方向负折射效应，其优于三维声子晶体部分方向的负折射[24]，具有更强的聚焦功能及实用价值。

二、二维声子晶体的负折射效应与平板透镜成像

本文考虑正方排列的二维声子晶体在第一个带中的频率段。

包括两部分的实验内容，一是成像实验，二是负折射率的测试实验。

2.1样品及实验装置

我们的实验测试系统为美国Panametrics公司生产的LSC超声波扫描系统。

该扫描系统由5900PR超声波信号发生接收器、水槽、计算机、ScanView-plus软件及用于发射、接收信号的换能器组成。

我们采用著名的超声波透射技术。

图2－1（a）给出了实验装置的示意图，图中给出了样品与发射换能器及接收换能器的相对位置。

整套装置放在一个水槽中。

由脉冲发射接收器（美国Panametrics5900PR）发射一个短脉冲。

其中发射换能器要离样品有一个较远的距离，这样能保证产生的脉冲近似为一个平面波。

入射波是没有样品只有水时的透射信号。

我们的样品是由直径为1mm的钢柱沿正方形形排列而成的二维声子晶体置于水介质中。

该样品的晶格常数为a=1.3mm,样品层数为8层，厚度为7.435mm。

其排列示意图如图2－1（b）所示。

（b）

图2－1（a）透射性质的测试实验装置图（b）样品排列图

2.2透射性质及带结构测试分析

利用上述装置对该样品的透射性质与相位进行测试。

本实验用两对中心频率分别为0.5MHz和1MHz的换能器对该样品进行透射性质及相位的测定，由实验直接测得的是放置样品前后的入射波与透射波的脉冲信号图。

这里将没有放置样品中间只有水时的透射信号作为入射波的信号。

图2-2（a）和图2-2（c）分别是用中心频率为0.5MHz和1MHz的换能器测得的结果，左边是入射波的信号，右边是透射波的信号。

将该脉冲信号图作快速傅立叶变换（FFT），得到频率与压力幅度的关系图，如图2-2（b）和图2-4（d）分别是对应图2-2（a）和2-2（c）的傅立叶变换结果。

再将每一个频率点对应的透射波的FFT幅度除以入射波的FFT幅度即得该样品的透射率,即

，结果如图2－3所示。

图2－2（a）（c）是用中心频率分别为0.5MHz和1MHz测得的入射波与透射波的脉冲信号图，（b）（d）分别对应（a）（c）的频谱图

图2－3样品的透射率曲线

由上述实验测得的透射率曲线（即图2－3）可看出，该样品在频率段0.55MHz到0.56MHz之间的透射率较高，对应的是二维声子晶体的通带；而在频率段0.56MHz到0.80MHz之间出现第一个带隙。

这对应的就是该二维声子晶体的声子禁带。

为了得到该样品的色散曲线图，我们同时也测定了该样品的累积相位，如图2－4所示。

从相位图上可看出累积相位在通带部分是随频率的增加而增大的，而在第一个禁带部分累积相位几乎是不变的。

图2－4　样品的累积相位与频率的关系

根据公式

（此公式中Vp是相速度，L是样品的厚度，ω是角频率，Ф是累积相位）

可计算出该样品的相速度。

再由公式

可得出该样品的色散关系曲线，如图2－5（a）所示。

从图2－5（a）中的色散关系曲线上很容易看出，该二维声子晶体的第一个禁带与该样品的透射率曲线上反映的结果是一致的。

图2－5（a）中同时给出了理论模拟结果，理论是采用多重散射理论方法。

对于处理组成于圆柱、圆球散射体的体系，多重散射理论方法在计算收敛速度方面具有极大的优点。

多重散射理论方法还具备处理大的弹性失配体系的特殊能力，其典型例子就是固体、流体混合组分组成的声子晶体，在这类体系中平面波展开法将遇到收敛性问题，甚至完全失效。

从图上可看出，理论模拟与实验结果拟合得非常好。

从光子晶体的相关研究中，我们知道负折射行为能够由带结构和等频色散线（EFCs）推断而得到，同样我们把这种思路延拓到声子晶体。

2－5（b）给出了第一个带边某些频率段的等频面曲线。

从图上可看出，在带边的不同频率的等频面曲线（EFCs）有不同的形状，但是在0.55MHz到0.56MHz之间是圆的,且其EFCs随着频率的增加向圆心M移动。

因此在这个频率范围内有效折射率能够被定义为

。

于是我们可以推断第一条带边可以发生负折射。

图2－5（a）由钢圆柱三角地排列于水的二维声子晶体带结构，

（b）第二条带中的一些等频色散线

2.3负折射成像实验及结果分析

图2－6负折射成像实验装置图

图2－6给出了负折射成像实验的装置图，图中给出了该二维声子晶体与超声波发射探头及接收换能器（pinducer）的相对位置。

整个装置放在水槽中，由5900PR脉冲信号发生接收器发射脉冲信号。

实验中用中心频率为0.5MHz的聚焦水浸换能器作为点源发射探头，其焦点直径约为3mm,　其焦点位置离样品下表面约4个晶格常数。

透过样品的脉冲信号由微型换能器接收，微型换能器的直径远小于超声波的波长。

再用快速傅立叶变换（FFT）将透射脉冲信号变为频谱曲线，从而得到每一频率点对应的压力振幅与探测平面的位置关系。

图2－70.55MHz于离点源焦点27a处平行于晶体表面的压力场分布图

（a）没有样品时（b）放样品后

图2－7（a）是频率0.55MHz在27a处放声子晶体前的压力幅度在XY平面内的分布图，图2－7（b）是频率0.55MHz在27a处放声子晶体后的压力幅度在XY平面内的分布图。

由图可看出，点源在这个频率点（0.55MHz）在离点源的焦点不同的位置处放样品前是呈圆形分布的，而放样品后均变为沿X轴压缩而沿Y轴拉长的椭圆形分布，这就是负折射效应的结果。

为了定量地说明负折射效应，我们给出了0.55MHz在场图中心的压力幅度与X轴方向的关系曲线，分别见图2－8，其中圆点表示的曲线是放样品前的点源分布曲线，而三角形标志的曲线是放样品后的分布曲线。

从图上可明显看到点源经过样品后在这个频率点有负折射聚焦效应，且幅度较放置样品前有了较大的提高。

图2－80.55MHz在场图中心的压力幅度与X轴方向的关系曲线

为了进一步说明负折射成像效应，我们同时给出了点源经样品后在频率点0.55MHz在垂直于晶体表面即XZ平面内的压力场分布图,如图2－9，同时给出了理论模拟结果。

图2-9点源经样品后在频率点0.55MHz在垂直于晶体表面即XZ平面内的压力幅度分布图（a）实验成像结果（b）理论模拟结果

从在垂直于二维声子晶体表面即XZ平面内的压力场分布图明显看出：

沿Z轴方向离样品有一段距离的位置均有能量的聚焦效应（27a）。

波束的宽度沿X轴方向约有10个晶格常数，而沿Z轴是拉长的。

成的像离样品上表面明显有一段较大的距离，所以这实际上成的是远场像。

聚焦成像进一步证实了平面二维声子晶体能作为一个平板透镜。

然而图上观察到的是点源的拉长像，这是由于该样品的负折射率没达到－1，且实验过程中有能量的损失。

2.4负折射率测定实验及结果分析

为了更进一步地证实该声子晶体的负折射效应，我们同时也测定了该二维声子晶体的负折射率。

实验装置如图2－10所示。

一个直径为25mm的平面发射探头放在离样品较远的距离使其发出的入射波近似为一平面波，用一个直径较小的平面换能器作为接收探头。

本实验中我们将入射角固定在6.18°，通过测试在某一频率点出射波束与入射波束偏移的距离△d来计算出该样品在某一频率点的负折射率。

图2－10　负折射率的实验测试装置

图2－11、图2－12分别给出了频率点0.55MHz在放置样品前后对应的入射波与出射波的压力场分布及沿Y轴方向在场图中心的压力幅度与X轴的分布曲线。

图2－11　频率点0.55MHz对应的入射波（a）与出射波（b）对应的压力场分布

图2－12　频率点0.55MHz对应的入射波（圆点表示）与出射波（三角符号表示）对应的压力幅度分布

从上图中测出不同频率点对应的出射波束与入射波束偏移的距离△d为：

△d＝4.003mm（0.55MHz）

根据斯涅尔定律

再从实验装置图上可看出

L是声子晶体的厚度，

是入射角，

是折射角。

从此公式与测试结果可算出折射角，再由斯涅尔定律可计算出折射率n＝-0.268。

另外，同样可以从聚焦图上的聚焦点中心与点源的距离

与折射率的关系：

，

也能得到折射率n=-0.269。

很明显从上述结果可知，不同的方法得到的负折射率结果都近似为一致的。

这种一致的结果更加证实了我们前面观察到的负折射现象。

三、实验结论

在本实验中，通过实验对正方排列二维声子晶体的负折射效应及平板透镜成像进行了研究。

实验中先测试了其透射性质曲线与色散曲线，分析了样品在第一个带边的频率范围具有负折射行为；接着通过成像实验证实了晶体的负折射效应，并利用该负折射效应实现平板透镜成像

；同时用不同的方法（包括理论模拟及实验测试）对该样品的负折射率进行了分析。

结果表明，不同的方法得到的负折射率都非常一致。

这种声子晶体远场成像效应在超声设备的设计中具有很大的应用潜力。

参考文献

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