数学分析华东师大第十一章反常积分.docx

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数学分析华东师大第十一章反常积分

第十一章反常积分

§1反常积分概念

一问题提出

在讨论定积分时有两个最基本的限制:

积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.

例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭（图11-1）,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?

设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为

g.按万有引力定律,在距地心x（≥R）处火箭所受的引力为

mgR2

F=.

x2

于是火箭从地面上升到距离地心为r（>R）处需作的功为

r

mgR

2

∫dx=mgR21

-1.

Rx2Rr

当r→+∞时,其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:

图11-1

∫

∫

+∞mgR2

dx=lim

rmgR2

Rx2

r→+∞R

dx=mgR.

x2

最后,由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应使

12

2mv0=mgR.

用g=9.81（m6s/2）,R=6.371×106（m）代入,便得

v0=2gR≈11.2（km6s/）.

例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔（图

11-2）.试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间?

§1反常积分概念

265

从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为（h-x）时,水从孔中流出的流速（单位时间内流过单位截面积的流量）为

v=2g（h-x）,

其中g为重力加速度.

设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为

dx,它们之间应满足

πR2dx=vπr2dt,

图11-2

由此则有

2

dt=Rdx,x∈[0,h].r22g（h-x）

所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:

∫

h

tf=

0

R2

dx.

r22g（h-x）

但是在这里因为被积函数是[0,h）上的无界函数,所以它的确切含义应该是

R

u2

tf=lim∫2dx

u→h-0r2g（h-x）

=lim

-

22

·R

gr2h-h-u

u→h

2

=2hR.gr

相对于以前所讲的定积分（不妨称之为正常积分）而言,例1和例2分别提出了两类反常积分.

二两类反常积分的定义

定义1设函数f定义在无穷区间[a,+∞）上,且在任何有限区间[a,u]

上可积.如果存在极限

u

lim∫f（x）dx=J,

（1）

u→+∞a

则称此极限J为函数f在[a,+∞）上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作

∫

+∞

J=f（x）dx,（1′）

a

∫

∫

+∞+∞

并称f（x）dx收敛.如果极限

（1）不存在,为方便起见,亦称f（x）dx

aa

发散.

类似地,可定义f在（-∞,b]上的无穷积分:

266第十一章反常积分

b

b

∫f（x）dx=lim∫f（x）dx.

（2）

-∞u→-∞u

对于f在（-∞,+∞）上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:

∫

∫

+∞a

f（x）dx=

-∞-∞

+∞

∫

f（x）dx+

a

f（x）dx,（3）

其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.

注1无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.

注2由于无穷积分（3）是由

（1）、

（2）两类无穷积分来定义的,因此,f在任何有限区间[v,u]ì（-∞,+∞）上,首先必须是可积的.

∫

+∞

注3

a

f（x）dx收敛的几何意义是:

若f在

[a,+∞）上为非负连续函数,则图11-3中介于曲线y=f（x）,直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J.

例3讨论无穷积分

∫

+∞

图11-3

的收敛性.

解由于

dx

1xp（4）

∫

udx

1xp=

11-p（u

1-p

-1）,p≠1,

lnu,p=1,

1

u

lim∫dx=

u→+∞1xp

p-1,p>1

+∞p≤1,

因此无穷积分（4）当p>1时收敛,其值为1;而当p≤1时发散于+∞.

p-1

从图11-4看到,例3的结论是很直观的:

p

的值越大,曲线y=1当x>1时越靠近x轴,从

xp

而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大.

例4讨论下列无穷积分的收敛性:

1∫）

+∞dx

∫

2x（lnx）p;2）

+∞dx

-∞1+x2.

解1）由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和

图11-4

§1反常积分概念

267

分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有

∫+∞dx

+∞dt

2x（lnx）p=∫ln2

tp.

从例3知道,该无穷积分当p>1时收敛,当p≤1时发散.

2）任取实数a,讨论如下两个无穷积分:

a

∫dx

+∞dx

-∞1+x2和∫a

由于

a

1+x2.

lim∫

dx=lim

（arctana-arctanu）

u→-∞

u1+x2

v

u→-∞

=arctana+π,

2

lim∫

dx=lim

（arctanv-arctana）

v→+∞

a1+x2

v→+∞

=

π

2-arctana,

因此这两个无穷积分都收敛.由定义1,

∫+∞dx

adx

+∞dx

-∞1+x2=∫-∞

1+x2+∫a

1+x2=π.

注由于上述结果与a无关,因此若取a=0,则可使计算过程更简洁些.

定义2设函数f定义在区间（a,b]上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[u,b]ì（a,b]上有界且可积.如果存在极限

b

lim∫f（x）dx=J,（5）

u→a+u

则称此极限为无界函数f在（a,b]上的反常积分,记作

∫

b

J=f（x）dx,（5′）

a

∫

b

并称反常积分f（x）dx收敛.如果极限（5）不存在,这时也说反常积分

a

∫

b

f（x）dx发散.

a

在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无

∫

b

界函数反常积分f（x）dx又称为瑕积分.

a

类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分:

bu

∫f（x）dx=lim∫f（x）dx.

au→b-a

其中f在[a,b）有定义,在点b的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b）

268第十一章反常积分

上可积.

若f的瑕点c∈（a,b）,则定义瑕积分

bcb

∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx

aac

ub

=lim∫f（x）dx+lim∫f（x）dx.（6）

u→c-av→c+v

其中f在[a,c）∪（c,b]上有定义,在点c的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c）和[v,b]ì（c,b]上都可积.当且仅当（6）式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.

又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何[u,v]ì（a,b）上可积,这时定义瑕积分

bcb

∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx

aac

cv

=lim∫f（x）dx+lim∫f（x）dx,（7）

u→a+uv→b-c

其中c为（a,b）内任一实数.同样地,当且仅当（7）式右边两个瑕积分都收敛时,

左边的瑕积分才是收敛的.

1

例5计算瑕积分∫dx的值.

01-x2

解被积函数f（x）=1在[0,1）上连续,从而在任何[0,u]ì[0,1）

1-x2

上可积,x=1为其瑕点.依定义2求得

1u

∫dx=lim∫

dx

0

01-x2

-

u→1

1-x2

例6讨论瑕积分

=lim

u→1-

1

arcsinu=π.

2

∫dx

的收敛性.

0xq（q>0）（8）

解被积函数在（0,1]上连续,x=0为其瑕点.由于

∫

1dx

uxq=

1

1-q（1-u

1-q

）,q≠1,

（0

-lnu,q=1

故当0

1

1

∫dx∫dx1

x

q=lim

0u→0+

uxq=1-q;

§1反常积分概念

269

而当q≥1时,瑕积分（8）发散于+∞.

上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映.

如果把例3与例6联系起来,考察反常积分

∫

+∞

我们定义

dx

0xp（p>0）.（9）

∫+∞dx

1dx

+∞dx

0xp=∫0

xp+∫1

xp,

它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分（9）对任何实数p都是发散的.

习题

1.讨论下列无穷积分是否收敛?

若收敛,则求其值:

（1∫）

+∞

xe-x

0

2+∞

∫

dx;

（2）

-∞

2

xe-x

dx;

（3∫）

+∞1+∞

∫

dx;（4）

dx

;

2

0ex

+∞

1x（1+x）

+∞

（5∫）

dx;（6）∫

e-xsinxdx;

-∞4x2+4x+50

+∞+∞

∫

（7∫）

exsinxdx;（8）

-∞0

dx.

1+x2

2.讨论下列瑕积分是否收敛?

若收敛,则求其值:

（1∫）

bdx1dx

∫

;

（2）;

a（x-a）p

2

01-x2

1

（3∫）dx;（4）∫xdx;

0|x-1|

01-x2

（5∫）

∫

11

lnxdx;（6）

00

xdx;

1-x

（7∫）

1dx1dx

∫

;（8）p.

0x-x2

0x（lnx）

b

a

3.举例说明:

瑕积分∫f（x）dx收敛时∫,

b

f2（x）dx不一定收敛.

a

4.举例说明∫:

+∞

f（x）dx收敛且f在[a,+∞）上连续时,不一定有lim

ax→+∞

f（x）=0.

∫

+∞

5.证明:

若

a

f（x）dx收敛,且存在极限lim

x→+∞

f（x）=A,则A=0.

270第十一章反常积分

∫

+∞

6.证明:

若f在[a,+∞）上可导,且

a

+∞

∫

f（x）dx与

a

f′（x）dx都收敛,则lim

x→+∞

f（x）=0.

§2无穷积分的性质与收敛判别

一无穷积分的性质

∫

+∞

由定义知道,无穷积分

a

∫

u

f（x）dx收敛与否,取决于函数F（u）=

f（x）dx在u→+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷

a

积分收敛的柯西准则.

∫

+∞

定理11.1无穷积分

a

≥a,只要u1、u2>G,便有

f（x）dx收敛的充要条件是:

任给ε>0,存在G

uuu

2

∫2f（x）dx-∫1f（x）dx=∫

f（x）dx<ε.

1

aau

此外,还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质.

∫

+∞

性质1若

a

∫

+∞

+∞

∫

f1（x）dx与

a

f2（x）dx都收敛,k1、k2为任意常数,则

[k1f1（x）+k2f2（x）]dx也收敛,且

a

∫

∫

∫

+∞+∞+∞

[k1f1（x）+k2f2（x）]dx=k1

aa

f1（x）dx+k2

a

f2（x）dx.

（1）

∫

+∞

性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积,a

a

f（x）dx与

∫

+∞

f（x）dx同敛态（即同时收敛或同时发散）,且有

b

+∞b+∞

∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx,

（2）

aab

其中右边第一项是定积分.

∫

+∞

性质2相当于定积分的积分区间可加性,由它又可导出

a

f（x）dx收敛的

另一充要条件:

任给ε>0,存在G≥a,当u>G时,总有

∫

+∞

f（x）dx<ε.

u

§2无穷积分的性质与收敛判别

271

事实上,这可由

+∞

u+∞

∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx

aau

结合无穷积分的收敛定义而得.

∫

+∞

性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有

a

∫

+∞

f（x）dx亦必收敛,并有

a

|f（x）|dx收敛,则

∫

∫

+∞+∞

f（x）dx≤

aa

∫

+∞

f（x）dx.（3）

证由

a

f（x）dx收敛,根据柯西准则（必要性）,任给ε>0,存在G≥

a,当u2>u1>G时,总有

∫

∫

2

uu

=

f（x）dx2

u

f（x）dx<ε.

1u1

利用定积分的绝对值不等式,又有

∫

∫

uu

2f（x）dx≤2

uu

11

∫

+∞

f（x）dx<ε.

再由柯西准则（充分性）,证得

a

f（x）dx收敛.

uu

又因∫f（x）dx≤∫f（x）dx（u>a）,令u→+∞取极限,立刻得到不

aa

等式（3）.

∫

∫

+∞+∞

当f（x）dx收敛时,称

aa

f（x）dx为绝对收敛.性质3指出:

绝对收敛

的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立,今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛.

我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.

二比较判别法

首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.

∫

∫

u+∞

由于|f（x）|dx关于上限u是单调递增的,因此

aa

|f（x）|dx收敛的

∫

u

充要条件是

a

|f（x）|dx存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别

法（请读者自己写出证明）:

定理11.2（比较法则）设定义在[a,+∞）上的两个函数f和g都在任何

272第十一章反常积分

有限区间[a,u]上可积,且满足

f（x）≤g（x）,x∈[a,+∞）,

∫

∫

+∞+∞

则当g（x）dx收敛时

aa

∫

+∞

+∞

∫

|f（x）|dx必收敛（或者,当

a

|f（x）|dx发散

时,

a

g（x）dx必发散）.

∫

+∞

例1讨论

0

sinxdx的收敛性.

1+x2

+∞

解由于sinx1

dxπ

0

1+x2≤1+x2,x∈[0,+∞）,以及∫

1+x2=

为收敛

2

（§1例4）,根据比较法则∫,

sinxdx为绝对收敛.

+∞

01+x2

上述比较法则的极限形式如下:

推论1若f和g都在任何[a,u]上可积,g（x）>0,且lim

x→+∞

|f（x）|

g（x）

=c,

则有:

（i）当0

∫

+∞

+∞+∞

∫

|f（x）|dx与

aa

∫

+∞

g（x）dx同敛态;

（ii）当c=0时,由

a

g（x）dx收敛可推知

a

∫

∫

+∞

f（x）dx也收敛;

+∞

（ii））当c=+∞时,由

a

+∞

g（x）dx发散可推知

a

+∞

f（x）dx也发散.

∫

当选用∫dx作为比较对象

g（x）dx时,比较判别法及其极限形式成

1xpa

为如下两个推论（称为柯西判别法）.

推论2设f定义于[a,+∞）（a>0）,且在任何有限区间[a,u]上可积,

则有:

（i）当f（x）≤1,x∈[a,+∞）,且p>1时

+∞

∫

f（x）dx收敛;

xpa

+∞

∫

（ii）当f（x）≥1,x∈[a,+∞）,且p≤1时

f（x）dx发散.

xpa

推论3设f定义于[a,+∞）,在任何有限区间[a,u]上可积,且

则有:

lim

x→+∞

xpf（x）=λ.

∫

+∞

（i）当p>1,0≤λ<+∞时,f（x）dx收敛;

a

∫

+∞

（ii）当p≤1,0<λ≤+∞时,

a

f（x）dx发散.

§2无穷积分的性质与收敛判别

273

例2讨论下列无穷限积分的收敛性:

1∫）

+∞

∫

xαe-xdx;2）

1

+∞x2

dx.

0x5+1

解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.

1）由于对任何实数α都有

lim

x→+∞

x2·xαe-x=lim

x→+∞

xα+2

ex

=0,

因此根据上述推论3（p=2,λ=0）,推知1）对任何实数α都是收敛的.

2）由于

12

lim

x→+∞

x2·x

x5+1

=1,

因