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dvd在线租赁问题研究
DVD在线租赁问题研究
摘要
本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。
首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时（由于是大样本场合）用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。
在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。
出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。
最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。
关键字最优解0-1规划满意度分配方案
一、问题重述
（一）提出背景
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。
（二）提出问题
客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。
另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。
（三）重述问题
考虑如下DVD租赁问题：
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
其中网站有如下几个约定：
①每个会员每个月租赁次数不得超过2次。
②每次获得3张DVD。
③会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
现在需要解决以下几个问题：
1.若网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
另外根据经验有，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
网站现有10万个会员，用表1中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备？
2.表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，分配这些DVD，使会员获得最大的满意度。
并具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3.继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4.深入研究DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题，提出这些问题并建立模型加以改进。
表1
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
8
1
22
10
…
会员在线订单
C0001
0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
C0003
0
6
0
0
…
C0004
0
0
0
0
…
C0005
5
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
二、模型假设
1.考虑到邮寄时间的限制，DVD在一个月内分配后返还的次数是有限的。
2.会员当月租赁的DVD在当月内归还。
3.当会员要归还DVD时，该DVD肯定可以在下一个月前回到网站。
4.会员得到该DVD地满意度与会员对该DVD的偏爱程度成正相关的。
三、问题分析
1.总体解题思路：
在解决第一小题时：
会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此要真正保证50%的会员得到满足，就必须使用概率论与数理统计的方法，本文在取定一个合理的置信度后，计算出至少要订购的DVD数量。
在解决第二小题时：
我们认为网站的分配可以分为两个阶段的分配，其中第一个阶段的分配，网站是可以完全掌控的，而第二个阶段则是一个以最大期望满意度为目标含有随机变量的规划模型，在计算时我们考虑用贪婪算法得出近似最优解。
对于第三个小题，我们认为可以在第一个小题和第二个小题结合得到，考虑先用第一小题的方法算出网站应该购入的DVD数量，在此基础上再建立和第二小题类似的规划模型来解决。
最后一个问题具有较多的研究方向，由于时间关系，我们仅就邮资最小，网站的成本最低，盈利最大这个方面进行了一些讨论。
2.题目要义的理解：
（1）一个月内DVD出租次数的限制：
根据假设1，结合实际，由于邮寄货物一般要一到两个星期左右，因此本文考虑一张DVD在一个月内最多只能分配两次，即只能在初次分配后由会员返还一次，也就是说一个月可以考虑有两个阶段的分配，第一阶段是网站对其拥有的DVD进行初次分配，这一阶段的分配网站在某一原则下（文中是满意度最大原则）是可以完全掌控的；
第二个阶段网站可分配的DVD数量是由第一阶段分配后剩下的DVD数量加上第一阶段分配的会员中返还得DVD数量之和。
这一阶段的分配是带有随机性的，因为会员是否返还DVD（也就是一个月租赁两次）是一个随机事件，这一阶段，因此必须在承认随机性的前提上考虑其分配。
（2）会员满意度
的定义：
根据假设4，本文满意度
定义如下:
若题中所给表2中会员i对第j张DVD的订单是aij（aij越小，偏爱程度越高），则会员i得到第j张DVD的满意度
，如果aij＝0，则
，与假设相符合。
四、符号说明
xj网站对第j张DVD的购入量
aij满意度矩阵中的元素，表示第i个会员对收到第j张DVD的满意度
yij0-1变量，yij＝1表示第一个租赁阶段内将第j张DVD租赁给第i个会员，否则表示没有租赁给第i个会员
zij0-1变量，zij＝1表示第二个租赁阶段内将第j张DVD租赁给第i个会员，否则表示没有租赁给第i个会员
M1第一阶段分配的最大满意度
M2第二阶段分配的最大满意度
M总的最大满意度
五、模型的建立
1.问题一：
模型1：
从最直观的思路分析，既然分配到DVD的会员中有60%的人会归还碟片并再次租赁，那么最少需要的购入量将是1.6x1≥0.5d1，即
x1
100/1.6＝62.5。
（以下计算都以DVD1为例进行分析）
模型2：
模型1简便易行，直观容易理解，易于推广，但是忽略了“根据历史数据得到的60%不是一个绝对比例而是一个估计量的期望值，实际上每个会员是否归还碟片并再次租赁是一个随机事件”的事实。
根据以上的思路深入分析，可以得到更为科学的模型：
设dj为想看第j张DVD的会员数量；Ni为第i个会员一个月内是否第二次租赁的随机事件，服从0-1分布；Ij为对第j种DVD，它的某一次分配所分给的会员的指标集；Tj＝
，表示对第j种DVD，它的一次分配中可以有多少DVD被归还供再租赁的随机事件，服从二项分布。
既然DVD的分配是一个随机过程，那么必须要对使“想看DVD1的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD1”这一事件设立一个置信度，本题中我们令置信度为99%（即不能满足需要的情况发生的概率小于1%，是小概率事件）。
要使会员的需要有50%被满足，就要使归还的碟片数T1若和购入的碟片数x1满足：
T1＋x1≥0.5d1即T≥0.5d1﹣x1
于是有：
P（T1≥0.5d1﹣x1）≥0.99
T1服从参数p=0.6，n＝x1的二项分布B（n，p），故由中心极限定理，用标准正态分布近似得到：
P（
≥
）≥0.99
⇓
φ（
）≥0.99
将题中数据代入计算得到：
φ（
）≥0.99
查表［1］得：
≥2.33
得到的是一个一元二次方程，利用求根公式求出与现实意义相吻合的解，舍去不合理的解，便得到了购入量的正解
x1≥68.40
由于历史数据是实际数据的样本，根据数理统计中的格列文科定理知，总体的购入量趋于样本购入量的100倍，因此实际的购入量至少是68400。
类似的，可分别解出五种DVD的至少购入量，结果如下表
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
6840
3550
1872
1008
467
对于“三个月内至少95%的会员能看到DVD1”这一事件，设每个月的分配中归还再租赁的DVD数的随机变量分别为
、
、
，由于每个月月初所能分配的碟片数量均为x1（这保证了
、
、
相互独立），且每个T1K都满足参数p=0.6，n＝x1的二项分布，因此
、
、
服从参数p＝0.6，n＝3x1的二项分布，因此要使95%的会员需求得到满足，同样取置信度为99%，可得
P（
≥0.95d1﹣3x1）≥0.99
⇓
P（
≥
）≥0.99
类似前一部分的计算，可得到相应答案为:
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
4227
2172
1128
596
265
2.问题二：
DVD的分配由两个阶段组成，第一阶段是对现有碟片资源按照订单以追求满意度最大化进行分配，第二阶段是对第一阶段中一部分返回的碟片资源进行再分配。
从网站的角度看，要达到最大的满意度，最理想的情况是可以对第二阶段归还的会员进行控制，则有如下规划：
max
约束条件
其中约束条件
（1）
（2）保证每个会员每次获得0或3张DVD；（3）表示有60%的会员在一个月内租赁2次；（4）表示第一阶段每种DVD的分配量不超过网站拥有的该种DVD的数量；（5）表示第二阶段每种DVD的分配量不超过第一阶段分配后的直接剩余量与第一阶段分配量的返还量之和；（6）表示不能把会员看过的DVD再分配给同一会员。
但是这个模型存在不合理性，在对第二阶段进行分配时，返还的对象及返还的碟片数量的多少均是随机的，直接用60%这个期望值进行计算是不合理的。
比较可行的做法是把zij看成随机变量，通过zij的分布列来表示约束，并以第二阶段的最大期望满意度为目标进行规划，这样就导致整个规划的目标值也是一个期望值。
但是第一阶段的分配方法对于网站来说是完全可支配的，其规划如下：
max
约束条件
对于这个规划，由于
也是0-1变量导致问题求解困难，因此我们考虑对可行域进行缩放，即把条件
（1）分别改成
（1）
3和
（1）”
3来求解，经求解验证缩放的可行域中求得的最优值是一样的，由夹逼原理可知这个最优值原来的可行域中的规划问题的最优解，具体结果见模型的求解。
第二阶段规划：
这一阶段是第一阶段的延续，考虑的是在第一阶段分配结束后，网站用剩下的DVD加上会员返还的DVD来进行再一次分配的过程。
但第二阶段的归还人和数量是不确定的，一般来说不能以规划来进行求解。
然而第二阶段求的实际上是满意度的最大数学期望，则我们考虑以概率意义上来讲，网站能回收到借出DVD的百分数在60%左右的小范围内浮动。
因此我们考虑第二阶段初网站拥有各种DVD的量是个定值。
这是对满意度期望的一个很好近似。
而此时的满意度矩阵和发生了变化。
新的满意度矩阵是第一阶段的满意度矩阵把在第一阶段中己经得到满足的订单的满意度清零，就是说把第一阶段分配结果中yij＝1相对应的原满意度矩阵中的非零元素
改为零就得到了新的满意度矩阵。
具体规划如下：
max
约束条件
（1）表示第二阶段每个会员获得0张或3张DVD；
（2）表示第二阶段每种DVD的分配量不能超过第一阶段分配后的直接剩余量与第一阶段分配量的返还量之和；具体结果也参见模型求解部分。
总的来说，上述分两阶段的规划实质上是用类似贪婪算法来计算理想的以最大期望满意度为目标含有随机变量的规划模型，即分别考虑两个阶段的最优解，合成后的解即使不是最优解，也是一个较优解。
3.问题三
解决这一小题时，可以先在第一题的基础上算出网站应该购买的DVD数量，再在上述DVD数量的限制上用第二题的方法算出满意度最大的分配方案。
首先根据第一小题的方法算出DVD的购买量
如下表：
DVD编号
订购数量
DVD编号
订购数量
DVD编号
订购数量
DVD编号
订购数量
DVD编号
订购数量
1
56
21
63
41
77
61
62
81
65
2
61
22
66
42
68
62
67
82
51
3
57
23
71
43
61
63
69
83
48
4
65
24
61
44
59
64
71
84
56
5
52
25
59
45
69
65
64
85
59
6
58
26
66
46
62
66
69
86
52
7
58
27
58
47
62
67
59
87
63
8
66
28
55
48
58
68
63
88
49
9
61
29
64
49
60
69
69
89
62
10
59
30
64
50
62
70
66
90
64
11
62
31
66
51
70
71
63
91
70
12
64
32
58
52
60
72
69
92
62
13
56
33
60
53
64
73
56
93
61
14
67
34
54
54
61
74
54
94
59
15
56
35
71
55
64
75
59
95
67
16
62
36
64
56
65
76
57
96
52
17
67
37
60
57
71
77
58
97
63
18
60
38
62
58
51
78
65
98
66
19
66
39
58
59
56
79
54
99
53
20
76
40
58
60
67
80
64
100
57
计算的规划如下：
第一阶段：
max
约束条件
第二阶段：
max
约束条件
这两个约束方程的主体思路与第二题类似，唯一的区别是原来的xj需要用xj’即新的购入量来取代。
4.第四个问题的解决方案
（1）作为网站管理人员，首要要考虑的是网站的收入来源。
显然会费是一个重要组成部分，因此会费如何定价问题也是值得研究的。
由于邮费是单方由网站支付，因此邮费就成为其最主要的支出，则邮费的所有最大可能支出必须小于所收会费的总和，我们假设在一定时期内会员数量变动不是很大。
于是有：
max
其中ri是网站到第i个人的邮费支出，其他的约束条件实际上就是网站的租赁要求。
我们在上述规划中将60%实际当成了确定量来计算，因为要考虑的是极端情形所以小概率事件也可以考虑在内。
则在这种情况下算出的就是邮费的一个上界，则定会费时总和一定要大于这个上界。
（2）既然有邮费的支出存在，作为盈利为目的的网站，肯定要使邮费的支出降到极点，然势必会影响整体的满意度，而满意度是网站能否吸引会员，吸引广告的重要指标。
也就是说满意度是网站收入能力的度量，则作为网站管理者势必应该结合考虑两方面的因素：
max（
当然这只是第一阶段的情况，我们也可以像解答问题2那样对第二阶段也列规划方程。
其中
是满意度与经济效益的函数，肯定正相关，在实际操作中可以把它看成一个线性函数，这样对求解也是有很大方便的。
六、模型的解答
（1）问题1的解答：
保证50%的会员在一个月内能看到订购的DVD所需要的DVD购入量
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
6840
3550
1872
1008
467
保证95%的会员在三个月内能看到订购的DVD所需要的DVD购入量
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
4227
2172
1128
596
265
（2）问题2的解答：
第二小题第一阶段内DVD的分配方案
会员编号
DVD编号
DVD编号
DVD编号
C001
8
41
98
C002
6
44
62
C003
32
50
62
C004
7
18
41
C005
11
66
68
C006
19
53
66
C007
26
66
81
C008
31
35
71
C009
53
78
100
C010
41
55
85
C011
59
63
66
C012
2
31
41
C013
21
78
96
C014
23
52
89
C015
13
52
85
C016
10
84
97
C017
47
51
67
C018
41
60
78
C019
66
84
86
C020
45
61
89
C021
45
50
53
C022
38
55
57
C023
29
81
95
C024
37
41
76
C025
9
69
94
C026
22
68
95
C027
50
58
78
C028
8
34
37
C029
26
30
55
C030
37
62
98
最大满意度M1＝24746
第二小题第二阶段内DVD的分配方案
（若表中数字为0说明没有分配到DVD）
会员编号
DVD编号
DVD编号
DVD编号
C001
11
82
85
C002
0
0
0
C003
0
0
0
C004
23
68
0
C005
21
34
41
C006
16
41
0
C007
8
45
0
C008
0
0
0
C009
17
0
0
C010
14
60
0
C011
19
61
0
C012
7
50
98
C013
0
0
0
C014
43
0
0
C015
66
0
0
C016
55
0
0
C017
5
0
0
C018
12
81
0
C019
25
0
0
C020
18
0
0
C021
2
0
0
C022
86
95
0
C023
41
0
0
C024
72
0
0
C025
23
81
0
C026
83
91
0
C027
22
0
0
C028
0
0
0
C029
44
89
0
C030
70
0
0
最大满意度M2＝9461
总的满意度M=M1＋M2＝34207
（3）问题3的解答
第三小题第一阶段内DVD分配方案
会员编号
DVD编号
DVD编号
DVD编号
C001
8
82
98
C002
6
42
44
C003
4
50
80
C004
7
18
41
C005
11
66
68
C006
16
19
53
C007
8
26
81
C008
15
71
99
C009
53
78
100
C010
55
60
85
C011
19
59
63
C012
2
7
31
C013
21
78
96
C014
23
43
52
C015
13
85
88
C016
6
84
97
C017
47
57
61
C018
41
60
78
C019
67
84
86
C020
45
61
89
C021
45
53
65
C022
38
55
57
C023
29
81
95
C024
41
76
79
C025
9
69
94
C026
22
68
95
C027
22
42
58
C028
8
34
82
C029
30
44
55
C030
1
37
62
最大满意度M1＝27000
第三小题第二阶段内DVD分配方案
会员编号
DVD编号
DVD编号
DVD编号
C001
1
11
49
C002
5
62
71
C003
31
32
90
C004
23
49
68
C005
12
21
34
C006
27
66
67
C007
45
66
82
C008
17
31
35
C009
10
17
70
C010
5
41
67
C011
61
66
82
C012
5
45
98
C013
49
80
92
C014
42
46
89
C015
24
52
70
C016
10
48
76
C017
5
11
31
C018
12
17
81
C019
25
66
90
C020
18
33
40
C021
2
25
50
C022
25
81
86
C023
36
67
75
C024
37
43
72
C025
23
81
90
C026
8
83
91
C027
6
38
50
C028
46
47
57
C029
26
33
89
C030
70
84
98
最大满意度M2＝18000
总的满意度M＝M1﹢M2＝45000
七、模型的优化
原模型中对于每次租赁的DVD有严格要求只能是3的倍数，这显然有其不合理性。
因为网站租赁还是以盈利为目的，其租赁DVD是要承担一定的风险的，比如会员的丢失或邮寄过程的差错使DVD不能归还。
则租赁出的越多风险越大，虽然邮寄单张和三张费用无异，但如果寄出的是会员不想看的DVD，则该额外的风险承担就没有价值。
因此我们考虑网站一次租赁给个人的DVD数量可以不是3的倍数，而且对模型的求解可以降低很大的规模。
八、模型的评价与建议
在确定满意度时，仅考虑了喜好程度对满意度的影响，比较直
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