四川大学常微分方程教案设计word文档良心出品.docx
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四川大学常微分方程教案设计word文档良心出品
四川大学教案
【首页】
课程名称
常微分方程
授课专业
数学学院
年级
大二
课程编号
20122940
课程类型
必修课
校级公共课（）；基础或专业基础课（√）；专业课（）
选修课
限选课（）；任选课（）
授课方式
课堂讲授（√）；实践课（）
考核方式
考试（√）；考查（）
课程教学
总学时数
68
学分数
4
学时分配
课堂讲授56学时；习题课，测验等12学时
教材名称
《常微分方程》
作者
张伟年,
杜正东,
徐冰
出版社及
出版时间
高等教育出版社
2006.4
可选参考书
[1]V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
[2]蔡燧林,常微分方程,杭州：
浙江大学出版社,1988.
[3]丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
[4]金福临、李训经,常微分方程,上海：
上海科学技术出版社,1979.
[5]林武忠、汪志鸣、张九超,常微分方程,北京：
科学出版社，2003.
[6]王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松,常微分方程（第二版）,北京：
高等教育出版社,1983.
[7]王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
[8]叶彦谦,常微分方程讲义（第二版）,北京：
人民教育出版社,1982.
授课教师
张伟年
职称
教授
单位
数学学院
授课时间
2005年9月—2006年1月
注：
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四川大学教案
【理科】
周次
第一周，第1次课
章节
名称
第一讲:
§1.1常微分方程模型
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.了解常微分方程的一般形式
2.通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型
教 学 内 容 提 要
一、问题的提出
常微分方程的一般形式
1）函数方程（泛函方程）:
2）微分方程
A常微分方程
B偏微分方程
3）n阶常微分方程（n阶方程）
二、几个具体的例子
例1物体作水平运动
例2自由落体运动
例3弹簧振子的水平自由运动
例4天体运动中的二体问题
例5几何问题
三、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。
作
业
、
选
作
题
习题1.1,1,2.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第一周，第2次课
章节
名称
第二讲:
§1.2微分方程求解思想
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.了解微分方程的精确解与近似解
2.微分方程的几何分析
3.给出微分方程形式的分类
教 学 内 容 提 要
一、计算与近似计算
1.微分方程的解
2.微分方程的通解与特解
3.初值问题（Cauchy问题）
4.近似解
二、几何分析
1.积分曲线
2.等倾线（isocline）
水平等倾线，竖直等倾线
例1
例2
三、微分方程形式
1.隐式微分方程
2.规范形式
一阶方程
3.一阶微分方程组
4.线性微分方程
一阶线性微分方程的规范形式
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
1了解微分方程的精确解与近似解
2掌握微分方程形式的分类
难点：
在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析
作
业
、
选
作
题
作业：
习题1.21,2，5
（2）.
选作题：
求以初速度
在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为
阻尼与速度的平方成正比,比例系数为
.又问物体达到最高点的时间是多少？
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
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【理科】
周次
第二周，第1次课
章节
名称
第三讲:
§1.3基本问题
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.含有n个参数的函数是一个n阶微分方程的通解。
2.一个n阶微分方程的通解包含n个任意常数。
教 学 内 容 提 要
一、主要结果
事实:
微分方程的通解含有任意参数
问题:
给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢?
定理
二、证明思路
1.Jacobi行列式不为0
2.建立方程组
3.求解参数
补充:
隐函数定理，联系数学分析相关知识。
4.解与方程的对应
三、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
难点：
1了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；
2给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？
作
业
、
选
作
题
作业：
习题1.31
（1）（3）.
选作题：
平面上安放长度为
的细磁棒,如果撒上一些小铁钉,他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷,磁量分别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而,画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
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【理科】
周次
第二周，第2次课
章节
名称
第四讲:
§2.1变量分离形式
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.什么是方程的隐式解
2.什么是变量分离形式的方程
3.分离变量法
4.常数变易法
5.可化为变量分离形式方程的求解
教 学 内 容 提 要
一、初等积分法
1初等积分法的定义
2微分方程的隐式解
二、变量分离方程
1变量分离形式方程
2方程通解的求法
3方程特解的求法
例1
例2
三、可化为变量分离方程的类型
1一阶线性微分方程
常数变易法与常数变易公式
例3
2Bernoulli方程
例4
3齐次方程
4线性分式形式的微分方程
例5
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
变量分离形式方程的求解
难点：
1Brnoulli方程的求解
2齐次方程的求解
3线性分式形式的微分方程的求解
作
业
、
选
作
题
作业：
习题2.11,2
（1）（3）（4）（9）（12）,3
（2）（8）（14）,4
（1）（6）,7
（1）（3）.
选作题：
设
是方程
的两个互异解.求证对于该方程的任一解
下式
恒成立,其中
是某常数.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
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【理科】
周次
第三周，第1次课
章节
名称
第五讲:
§2.2恰当方程形式
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.什么是恰当方程
2．如何判定微分方程是恰当的
3．如何寻求恰当方程的解
4．如何使方程变得恰当
5．寻求特殊的积分因子
教 学 内 容 提 要
一、恰当方程
1恰当方程（全微分方程）的形式与所满足的条件
2首次积分
提出两个问题
1）如何判断一个微分方程是否为恰当方程？
2）若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?
二、恰当方程的判定定理
定理判定微分方程是恰当方程的充分必要条件
例1
二、积分因子法
问题:
有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程.这时我们问:
是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢?
1积分因子
结论
问题:
如何来寻求这些积分因子?
2特殊情况下的积分因子
例2
3其它情况
4进一步分析
例3
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
1恰当方程的判定
2寻求积分因子
难点：
寻求积分因子
作
业
、
选
作
题
作业：
习题2.21
（2）（3）（5）,4
（1）（3）（5）,5,8
选择题：
假设微分方程
有形如
的积分因子,试确定其中的常数
并求解该方程.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第三周，第2次课
章节
名称
第六讲:
§2.3隐式方程
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1．隐式方程
2．隐式方程的化简
教 学 内 容 提 要
一、隐式方程
1一阶隐式方程的形式
2求解思想
1）将
看成独立的变量
2）将代数方程
所定义的曲面参数化
3）通过变量替换的方法把方程
（1）化为导数已解出的显式方程
4）用上两节已给出的方法求解.
3具体求解方法
二、几类可解的特殊的隐式方程
1可以解出y的方程
2可以解出x的方程
3不显含y的隐式方程
4不显含x的隐式方程
例1
三、其他情形
1隐式方程中可解出
，例2
2隐式方程轮不显含x,y，例3
教
学
重
点
与
难
点
重点：
隐式方程的求解
作
业
、
选
作
题
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
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【理科】
周次
第四周，第1次课
章节
名称
第七讲:
§2.4初等积分法的一些应用
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1．方程的奇解与包络
2．利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程
3．平面保守系统的轨道
4．Riccati方程的解
教 学 内 容 提 要
一、奇解
1曲线族的包络包络的性质
C-判别曲线例1
2方程的奇解
3方程的奇解判别
p-判别曲线例2
二、高阶微分方程
求解的基本思想:
1）不显含未知函数y的方程
2）不显含自变量x的方程
3）齐次方程
4）全微分方程
例3，例4
三、平面保守系统
1一个具体例子
相平面，轨道，相图
2更一般的情况
四、Riccati方程
1Riccati方程的求解
2一种特殊情况
3结果
五、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点；1方程的奇解判别
2高阶微分方程求解的基本思想:
作
业
、
选
作
题
作业：
习题2.41
（2）（3）（4）,2
（1）
（2）,3
（1）（9）,6.
选作题：
1）求解下列方程
2）试证若
是方程
的满足初始条件
的解,则
其中
在
上连续.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第五周，第2次课
章节
名称
第八讲:
§3.1存在性与唯一性
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1．深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;
2．理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;
3．掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.
教 学 内 容 提 要
一、问题的提出
解的存在性为方程的求解提供理论基础；
的存在唯一性是近似计算的前提。
二、存在唯一性定理
定理
三、矩阵函数的性质
四、定理的证明
证明共分五步完成
小结
五、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
线性系统解的存在唯一性定理
难点：
线性系统解的存在唯一性定理的证明
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.11,2,3.
选作题：
设
连续,且
其中
非负.试用逐步逼近法证明：
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第六周，第1次课
章节
名称
第九讲:
§3.2齐次线性方程组的通解结构
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理;
2.理解向量函数线性相关和线性无关的概念;
3.掌握Wronski行列式;
4.掌握Liouville公式和Liouville定理.
教 学 内 容 提 要
一、线性相关与无关的定义
二、解的叠加原理
定理的证明思路
三、Wronski行列式
四、Liouville定理
1Liouville定理的证明
2基解矩阵与标准解矩阵的定义
3初值问题的解
说明:
对Liouville定理的一点解释
五、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
1齐次线性微分方程组解的叠加原理
2Liouville公式和Liouville定理.
难点：
Wronski行列式
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.23,4.
选作题：
设
是
周期连续的,且
为基解矩阵,证明:
也是基解矩阵且存在可逆矩阵
使得
.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第六周，第2次课
章节
名称
第十讲:
§3.3非齐次线性方程组的通解
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系;
2.掌握常数变易法;
3.理解并学会使用常数变易公式.
教 学 内 容 提 要
一、通解结构
二、通解定理
三、常数变易法
通解定理的证明
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
常数变易公式及其应用
难点：
常数变易法
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.31,3
选作题：
设
是区间
上的
阶连续矩阵函数,
是区间
上的不恒为零的
维连续列向量.试证非齐次线性方程组
+
存在且至多存在n+1个线性无关的解。
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第七周，第1次课
章节
名称
第十一讲:
§3.4高阶线性方程
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。
2.掌握利用Liouville公式降阶的方法。
教 学 内 容 提 要
一、高阶方程与一阶方程组
1n阶线性微分方程的一般形式
2齐次与非齐次的情况
二、Wronski行列式定义
三、Liouville定理
四、通解结构
五、例题
六、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
高阶线性方程的解
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.41,2,3,5
选作题：
不用Liouville公式而直接用变量代换
来对方程
降阶并证明其通解表达式.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第七周，第2次课
章节
名称
第十二讲:
§3.5复值解和级数解法
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。
2.了解Cauchy定理。
3.掌握幂级数解法。
教 学 内 容 提 要
一、复值矩阵函数
复值矩阵函数的定义
复值矩阵函数的求导与积分
二、复值线性方程组
定理1，定理2
三、Cauchy定理
推论
四、幂级数解法
五、例题
六、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：
1理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系
2微分方程的幂级数解法
难点：
Cauchy定理的理解
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.51,3,4.
选作题：
用幂级数法求方程
满足初值条件
的解.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：
人民教育出版社,1963.
四川大学教案
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第九周，第1次课
章节
名称
第十三讲:
§4.1齐次问题
授课
方式
理论
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