届一轮复习人教版 曲线运动 运动的合成与分解学案.docx

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届一轮复习人教版曲线运动运动的合成与分解学案

第

章　曲线运动　万有引力与航天

[全国卷三年考点考情]

说明：

斜抛运动只作定性分析．

第一节　曲线运动　运动的合成与分解

（对应学生用书第58页）

[教材知识速填]

知识点1　曲线运动

1．速度的方向

质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．

2．运动的性质

做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．

3．曲线运动的条件

易错判断

（1）曲线运动一定是变速运动．（√）

（2）曲线运动的速度大小可能不变．（√）

（3）曲线运动的加速度可以为零．（×）

知识点2　运动的合成与分解

1．基本概念

（1）运动的合成：

已知分运动求合运动．

（2）运动的分解：

已知合运动求分运动．

2．分解原则

根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解．

3．遵循的规律

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．

4．合运动与分运动的关系

（1）等时性：

合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．

（2）独立性：

一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．

（3）等效性：

各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．

易错判断

（1）合运动不一定是物体的实际运动．（×）

（2）合运动的速度一定大于分运动的速度．（×）

（3）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．（×）

[教材习题回访]

考查点：

曲线运动的特点

1．（教科版必修2P4T2）（多选）一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是（）

A．质点速度方向时刻在改变

B．质点加速度方向时刻在改变

C．质点速度方向一定与加速度方向相同

D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向

[答案]　AD

考查点：

运动的独立性

2．（人教版必修2P7T2改编）（多选）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图411所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（）

图411

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

[答案]　BC

考查点：

曲线运动的条件

3．（人教版必修2P6演示实验改编）小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图412中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________（填轨迹字母代号），磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________（填轨迹字母代号）．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________（选填“在”或“不在”）同一直线上时，物体做曲线运动．

图412

[答案]　b　c　不在

考查点：

运动的合成与分解

4．（人教版必修2P4演示实验改编）如图413甲所示，在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2．5cm、7．5cm、12．5cm、17．5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．

甲乙

图413

（1）请在图乙中画出蜡块4s内的运动轨迹；

（2）求出玻璃管向右平移的加速度大小；

（3）求t＝2s时蜡块的速度大小v．

[解析]　

（1）蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出的轨迹如图所示．

（2）由于玻璃管向右为匀加速平移，根据Δx＝at2可求得加速度，由题中数据可得：

Δx＝5．0cm，相邻时间间隔为1s，则a＝＝5×10－2m/s2．

（3）由运动的独立性可知，竖直方向的速度为

vy＝＝0．1m/s

水平方向做匀加速直线运动，2s时蜡块在水平方向的速度为vx＝at＝0．1m/s

则2s时蜡块的速度：

v＝＝m/s．

[答案]

（1）见解析图　

（2）5×10－2m/s2　（3）m/s

（对应学生用书第59页）

运动的合成及运动性质分析

1．合力方向与轨迹的关系

无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．

2．合力方向与速率变化的关系

3．合运动的性质判断

加速度（或合外力）

加速度（或合外力）与速度方向

[题组通关]

1．（多选）一个质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图414所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中的（）

【导学号：

84370149】

图414

A．F1的方向B．F2的方向

C．F3的方向D．F4的方向

CD　[曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧，但和速度永远不可能达到平行的方向，所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向，不可能沿着F1的方向、F2的方向，C、D正确，A、B错误．]

2．（2016·全国Ⅰ卷）（多选）一质点做匀速直线运动．现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（）

A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同

B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直

C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同

D．质点单位时间内速率的变化量总是不变

BC　[质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，选项B、C正确．]

小船渡河问题

1．船的实际运动

是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

2．小船渡河时间

只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．

3．三种速度

v船（船在静水中的速度）、v水（水的流速）、v合（船的实际速度）．

4．两个极值、三种情况

渡河时间最短

当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝

渡河位移最短

如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d

如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于

[多维探究]

考向1　水速不均匀的小船渡河问题

1．一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图415甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则（）

【导学号：

84370150】

甲乙

图415

A．船渡河的最短时间为75s

B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线

C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直

D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5m/s

A　[当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝＝s＝75s，故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短路程渡河，必须是小船合速度始终与河岸垂直，故C错误；根据速度的合成可知，船在河水正中间时速度最大，为5m/s，其余位置小于5m/s，故D错误．]

考向2　避险求极值问题

2．（2018·河北石家庄一模）如图416所示，一条小船位于200m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）

图416

A．m/sB．m/s

C．2m/sD．4m/s

C　[要使小船避开危险区沿直线到达对岸，则有合运动的最大位移为m＝200m．可知小船能安全到达河岸的合速度方向，设此速度与水流速度的夹角为θ，如图所示，即有tanθ＝＝，所以θ＝30°；又已知水流速度，则可得小船在静水中最小速度为v船＝v水sinθ＝×4m/s＝2m/s，故选C．]

考向3　最短时间与最短航程的分析

3．有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同．则甲、乙两船渡河所用时间之比为（）

【导学号：

84370151】

A．B．

C．D．

[题眼点拨]　①“最短时间”对应船头正对河岸；②“最短航程”对应船头斜向上游．

C　[当v1与河岸垂直时，甲船渡河时间最短；乙船船头斜向上游开去，才有可能航程最短，由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同（此地点并不在河正对岸），可见乙船在静水中速度v2比水的流速v0要小，要满足题意，则如图所示．

设河宽为d，甲用时t1＝，乙用时t2＝．

则＝①

cosθ＝②

tanθ＝③

由②③式得＝sinθ，

将此式代入①式得＝．]

一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2．5m/s．若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：

（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

解析：

（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，小船的运动轨迹如图甲所示．

甲

此时渡河时间最短，为t＝＝s＝36s，渡河合速度v＝＝m/s，渡河位移x＝vt＝90m．

（2）欲使船渡河航程最短，应使合速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，小船的运动轨迹如图乙所示，

乙

有v2cosα＝v1

合速度v合＝v2sinα

解得α＝60°，v合＝m/s

所以当船头偏向上游与河岸成60°角时航程最短．

最短航程x′＝d＝180m

渡河时间t′＝＝s＝24s．

答案：

（1）船头垂直于河岸　36s　90m　

（2）船头偏向上游与河岸成60°角　24s　180m

[反思总结]　分析“渡河”问题的技巧

（1）

（2）关键

正确区分分运动和合运动，船的划行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．

绳（杆）端关联速度分解问题

“关联速度”常见情景示例

情景图示

（注：

A沿斜面下滑）

分解图示

定量结论

vB＝vAcosθ

vAcosθ＝v0

vAcosα＝vBcosβ

vBsinα＝vAcosα

基本思路

定合速度（物体实际运动）―→分析运动规律―→定分速度方向―→平行四边形定则求解

[母题]（多选）如图417所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时（）

图417

A．人拉绳行走的速度为vcosθ

B．人拉绳行走的速度为

C．船的加速度为

D．船的加速度为

[题眼点拨]　①“不计绳与轮间摩擦”说明人的拉力大小等于绳对船的拉力；②“船的速度为v”可知船的速度产生了两个效果：

一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮转动．

AC　[将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcosθ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcosθ－f＝ma，得a＝，C对，D错．]

[母题迁移]

迁移1　绳关联物体速度的分解

1．某人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，人以速度v0匀速向下拉绳，当物体A到达如图418所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是（）

【导学号：

84370152】

图418

A．B．

C．v0cosθD．v0sinθ

[题眼点拨]　“人以速度v0匀速向下拉绳”，说明物体A沿绳的速度大小不变．

A　[将A的速度以运动效果分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图所示，拉绳的速度等于A沿绳方向的分速度，根据平行四边形定则得，实际速度v＝，选项A正确．]

如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（）

A．vsinθB．vcosθ

C．vtanθD．

A　[由题意可知，线与光盘交点参与两个运动，一是沿着线方向的运动，二是垂直线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsinθ；而线的速度即为小球上升的速度，故A正确．]

迁移2　杆关联物体速度的分解

2．如图419所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度vB的大小为（）

图419

A．vAB．vA/sinα

C．vA/tanαD．vAcosα

C　[A球以vA的速度沿斜槽滑下时，可分解为一个使杆压缩的分运动，设其速度为vA1，一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为vA2，而B球沿槽上滑的运动为合运动，设其速度为vB，可分解为一个使杆伸长的分运动，设其速度为vB1，vB1＝vA1，一个使杆转动的分运动，设其速度为vB2．由图可知：

vB1＝vBsinα＝vA1＝vAcosα，则vB＝vA/tanα．]