高考数学文大一轮复习检测42平面向量基本定理及坐标表示含答案.docx

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高考数学文大一轮复习检测42平面向量基本定理及坐标表示含答案

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

　　　　　　　　[学生用书P89]）

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），

λa＝（λx1，λy1），|a|＝．

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），

||＝．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

1．辨明三个易误点

（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．

（2）注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.

（3）要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

2．有关平面向量的两类本质

平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．

向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．

1.下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底（　　）

A．e1＝（－2，4），e2＝（1，－2）

B．e1＝（4，3），e2＝（－3，8）

C．e1＝（2，3），e2＝（－2，－3）

D．e1＝（3，0），e2＝（4，0）

　B　[解析]对于A，e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B.

2.向量a，b满足a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），则b为（　　）

A．（－3，4）　　　　　　　　B．（3，4）

C．（3，－4）D．（－3，－4）

　A　[解析]由a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），得2b＝（－1，5）－（5，－3）＝（－6，8），所以b＝（－6，8）＝（－3，4），故选A.

3．（2015·高考全国卷Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　）

A．（－7，－4）B．（7，4）

C．（－1，4）D．（1，4）

　A　[解析]法一：

设C（x，y），则＝（x，y－1）＝（－4，－3），

所以从而＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）．故选A.

法二：

＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），

＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）．

故选A.

4．已知向量a＝（1，2），b＝（－2，3），若ma－nb与2a＋b共线（其中m，n∈R且n≠0），则＝（　　）

A．－2B．2

C．－D．

　A　[解析]因为ma－nb＝（m＋2n，2m－3n），2a＋b＝（0，7），ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即＝－2，故选A.

5.已知A（－2，－3），B（2，1），C（1，4），D（－7，t），若与共线，则t＝________．

[解析]　＝（2，1）－（－2，－3）＝（4，4），

＝（－7，t）－（1，4）＝（－8，t－4）．

因为与共线，

所以4（t－4）－4×（－8）＝0.

即4t＋16＝0，所以t＝－4.

[答案]－4

　平面向量基本定理及其应用[学生用书P89]

[典例引领]

（1）已知a＝（1，1），b＝（1，－1），c＝（－1，2），则c等于（　　）

A．－a＋b　　　　　　B．a－b

C．－a－bD．－a＋b

（2）（2017·江西南昌二模）如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝（　　）

A．a＋bB．a＋b

C．a＋bD．a＋b

【解析】　

（1）设c＝λa＋μb，

所以（－1，2）＝λ（1，1）＋μ（1，－1），

所以

所以

所以c＝a－b.

（2）如图，连接BP，则＝＋＝b＋，①

＝＋＝a＋－，②

①＋②，得2＝a＋b－，③

又＝＝（－）＝，④

将④代入③，得2＝a＋b－，

解得＝a＋b.

【答案】　

（1）B　

（2）C

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．　

[通关练习]

1．（2017·潍坊模拟）在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝（　　）

A．a＋bB．－a＋b

C．a－bD．－a－b

　A　[解析]由题意知＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b，故选A.

2．（2017·绵阳模拟）在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

[解析]法一：

因为B，P，N三点共线，

所以∥，

设＝λ，即－＝λ（－），＝＋，①

又＝，所以＝2，

所以＝m＋＝m＋，②

结合①②，由平面向量的基本定理可得＝m，

＝，得m＝.

法二：

因为B，P，N三点共线，

所以＝t＋（1－t）＝t＋（1－t），所以，解得m＝t＝.

[答案]

　平面向量的坐标运算[学生用书P90]

[典例引领]

　已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

（3）求M、N的坐标及向量的坐标．

【解】　由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）．

（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）

＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．

（2）因为mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），

所以解得

（3）设O为坐标原点，因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）．

所以M（0，20）．又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），

所以N（9，2）．所以＝（9，－18）．

平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，并注意方程思想的应用．

[通关练习]

1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4，3），＝（1，5），则等于（　　）

A．（－2，7）　　　　　　　　　B．（－6，21）

C．（2，－7）D．（6，－21）

　B　[解析]＝3＝3（2－）＝6－3＝（6，30）－（12，9）＝（－6，21）．

2．（2017·开封月考）平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），C（－1，c）（c＞0），且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ，μ的值分别是________．

[解析]因为||＝2，

所以||2＝1＋c2＝4，

因为c＞0，所以c＝.

因为＝λ＋μ，

所以（－1，）＝λ（1，0）＋μ（0，1），

所以λ＝－1，μ＝.

[答案]－1，

　平面向量共线的坐标表示（高频考点）[学生用书P90]

平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题．

高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：

（1）利用两向量共线求参数；

（2）利用两向量共线的条件求向量坐标；

（3）三点共线问题．

[典例引领]

　已知a＝（1，0），b＝（2，1）．

（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

（2）若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

【解】　

（1）因为a＝（1，0），b＝（2，1），

所以ka－b＝k（1，0）－（2，1）＝（k－2，－1），

a＋2b＝（1，0）＋2（2，1）＝（5，2），

因为ka－b与a＋2b共线，

所以2（k－2）－（－1）×5＝0，

所以k＝－.

（2）＝2（1，0）＋3（2，1）＝（8，3），

＝（1，0）＋m（2，1）＝（2m＋1，m）．

因为A，B，C三点共线，

所以∥，

所以8m－3（2m＋1）＝0，

所以m＝.

（1）向量共线的两种表示形式

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），①a∥b⇒a＝λb（b≠0）；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

（2）两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线（平行），可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程（组），求出未知数的值．　

[题点通关]

角度一　利用两向量共线求参数

1．（2017·广州一模）设向量a＝（x，1），b＝（4，x），若a，b方向相反，则实数x的值为（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．±2

C．2D．－2

　D　[解析]由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2），此时a，b方向相反，符合题意．

角度二　利用两向量共线的条件求向量坐标

2．已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．

[解析]法一：

由O，P，B三点共线，可设＝λ＝（4λ，4λ），则＝－＝（4λ－4，4λ）．

又＝－＝（－2，6），由与共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝，所以＝＝（3，3），

所以P点的坐标为（3，3）．

法二：

设点P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4，4），且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，

所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，

所以P点的坐标为（3，3）．

[答案]（3，3）

角度三　三点共线问题

3．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是（　　）

A．k＝－2B．k＝

C．k＝1D．k＝－1

　C　[解析]若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），所以1×（k＋1）－2k＝0，解得k＝1.

　　　　　　　　　[学生用书P261（独立成册）]）

1．已知向量a＝（，1），b＝（0，－2）．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是（　　）

A．（，－1）　　　　　　　　　B．（－1，－）

C．（－，－1）D．（－1，）

　D　[解析]因为a＝（，1），b＝（0，－2），

所以a＋2b＝（，－3）＝－（－1，），

故向量c可以是（－1，）．

2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（　　）

A．x＝，y＝

B．x＝，y＝

C．x＝，y＝

D．x＝，y＝

　A　[解析]由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝.

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