全国高中数学联赛预赛试题及答案.docx
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全国高中数学联赛预赛试题及答案
全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，
只有一项是符合题目要求的.）
1.定义集合运算:
A
B
z|z
xy,x
A,y
B.设A
2,0，B
0,8
，则集合A
B的所
有元素之和为（
）
A.16
B.18
C.20
D.22
2.已知an
是等比数列，a2
2,a5
1
a2a3
anan
n
N
，则a1a2
1
的取值范围是（
）
4
A.12,16
B.
8,16
C.
8,32
D.
16,32
3
3
3
3.5名志愿者随进入
3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为
（
）
A.
3
1
5
D.
50
5
B.
C.
81
15
8
４．已知a、b为非零的不共线的向量，设条件
M:
ba
b；条件N:
对一切x
R，不等式
axb
ab恒成立．则M是N的（
）
Ａ．必要而不充分条件
Ｂ．充分而不必要条件
Ｃ．充分而且必要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
5．设函数f（x）定义在R上，给出下述三个命题：
①满足条件f（x
2）f（2x）
4
的函数图象关于点
2,2
对称；②满足条件
f（x2）
f（2
x）的函数图象关于直线
x
2对称；③函数
f（x
2）与f（
x2）
在同一坐标系
中，其图象关于直线
x
2对称.其中，真命题的个数是
（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦
.半径为4的球的两条弦
AB、CD的长度分别等于
27和4
3，
M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点
③MN的最大值为5
其中真命题为（）
A.①③④B.①②③
M
②弦AB、CD可能相交于点
④MN的最小值为1
C.①②④D.②③④
N
7.设
a
sin（sin20080）
，b
sin（cos20080）
，c
cos（sin20080），
d
cos（cos20080）
则
a,b,c,d
的大小关系是（
）
Ａ．
Ｃ．
a
c
b
d
cd
ba
Ｂ．b
Ｄ．d
ad
ca
c
b
8.设函数
f（x）
x3
3x2
6x14，且
f（a）
1，
f（b）
19，则
a
b
（
）
A.2
B.1
C.0
D.2
二、填空题（本大题共
6个小题，每小题
8分，共
48分.
请将正确的答案填在横线上
.）
9．在平面直角坐标系中，定义点
Px1,y1
、Qx2
y2
之间的“直角距离”为
d（P,Q）
x1
x2
y1
y2.若Cx,y
到点A1,3、
B6,9
的“直角距离”相等，其中实
数x、
y满足
0
x10、0
y10，则所有满足条件的点
C的轨迹的长度之和为
．
10.已知集合
x,y|x2
y2
2008
，若点
P（x,y）、点
P（x,y）
满足
x
x
且
yy
，则称点
P优于
P
.
如果集合
中的点
Q满足：
不存在
中的其它点优于
Q，则
所有这样的点
Q构成的集合为
．
11.多项式
1
x
x2
x100
3
的展开式在合并同类项后，
x150的系数为
.
（用数字作
答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六
棱柱的体积为
9，底面周长为
3，则这个球的体积为
.
8
13.将一个4
4棋盘中的8
个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有
不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：
第
k棵树种植在点Pkxk,yk
处，其中x1
1,y1
1，当k
2时，
xkxk
1
k
1
5
k
2
1
5
5
5
;
yk
yk
1
k
1
k
2
.
5
5
其中，a表示实数a的整数部分，例如
2.6
2
，0.6
0.
按此方案，第2008棵树种植点的坐
标为
.
三、解答题（本大题共4
小题，共62分.要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数a,b
b
a
，求证：
b
a
其中等号当且仅当a
b
或a
b
成立，
为正实数.
１6（．本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对
于每局比赛，甲获胜的概率为2，乙获胜的概率为1．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷
33
门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17.（本小题满分
16分）已知函数
f（x）
ln1xx在区间0,nn
N上的最小值为bn，令
anln1nbn，pk
a1a3
a2k1kN
，
a2a4
a2k
求证：
p1
p2
pn
2an
11.
18.（本小题满分18分）过直线l:
5x7y
700
x2
y
2
上的点P作椭圆
1的切线PM、PN，
25
9
切点分别为M、N，联结MN.
（1）当点P在直线l上运动时，证明：
直线
MN恒过定点Q；
（2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN.
参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分
标准适当档次给分.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，
只有一项是符合题目要求的.）
1.解：
集合A
B的元素：
z120
0，z2
28
16，z3
000，z4080，故
集合A
B的所有元素之和为
16.
选A.
a5
1
1
1
2.
解:
设an
的公比为q，则q
3
4
a2
2
，进而q.
8
2
所以，数列
anan
1是以a1a2
8为首项，以q2
1
为公比的等比数列.
4
81
1
4n
32
a1a2
a2a3
anan1
14
n
.
1
3
1
4
显然，8
a1a2
a1a2
a2a3
anan1
32
选C.
3
.
3.
解：
5名志愿者随进入
3个不同的奥运场馆的方法数为
35
243种.每个场馆至少有一名志愿者
的情形可分两类考虑：
第
1类，一个场馆去
3人，剩下两场馆各去
1
人，此类的方法数为
C31
C53A22
60种；第2类，一场馆去
1人，剩下两场馆各
2人，此类的方法数为C31C51C42
90
种.
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
P
60
90
50
243
.选D.
81
４．解：
设OA
a，OB
b，则xb表示与OB共线的任一向量，
a
xb表示点A到直线OB上
任一点C的距离
AC，而a
b表示点A到B的距离.
当b
a
b时，AB
OB.由点与直线之
间垂直距离最短知，ACAB，即对一切xR，不等式axbab恒成立．反之，如果
ACAB恒成立，则ACminAB，故AB必为点A到OB的垂直距离，OBAC，即bab.
选C.
5．解：
用x2代替f（x2）f（2x）4中的x，得f（x）f（4x）4.如果点x,y在
yf（x）的图象上，则4yf（4x），即点x,y关于点2,2的对称点4x,4y也在
yf（x）的图象上.反之亦然，故①是真命题.用x2代替f（x2）f（2x）中的x，得
f（x）f（4x）.如果点x,y在yf（x）的图象上，则yf（4x），即点x,y关于点x2的
对称点4x,y也在yf（x）的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故
三个命题都是真命题
6.解：
假设AB、的弦CD的中点N
.选D.
CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆
的弦AB的长度显然有ABCD，所以②是错的．容易证明，当以AB为直径
的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，
MN最大为５，故③对．当以
AB为直径的圆
面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，
MN最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.
故选Ａ．
7.解：
因为20080
5
3600
1800
280，所以，
a
sin（
sin280）
sin（sin280）
0；b
sin（
cos280）
sin（cos280）0；
c
cos（
sin280）
cos（sin280）
0；d
cos（
cos280）
cos（cos280）
0．
又sin280
cos280，故b
a
d
c.故选B.
8.解：
由f（x）
x3
3x2
6x
14
x
3
3x
1
10，令g（y）
y3
3y，则g（y）为奇
1
函数且单调递增.
而f（a）
a
13
3
a
1
10
1
f（b）
b
13
3b
1
10
19,
所以g（a
1）
9
g（b
1）
9
g（
b
1）
9,从而g（a
1）
g（
b
1）,
即a1
b1,故ab
2.选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.
请将正确的答案填在横线上.）
9．解：
由条件得
x
1
y
3
x
6
y
9
①
当y
9时，①化为
x
1
6
x
6
，无解；
当y
3时，①化为
x
1
6
x6
，无解；
当3
y
9时，①化为
2y12
x
6
x
1
②
若x1，则y8.5，线段长度为１；若1x6，则xy9.5，线段长度为52；若x6，
则y3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为
1524521．填521．
10.解:
P优于
P
，即
P位于
P
的左上方，“不存在
中的其它点优于
Q”，即“点
Q的左上方不
存在
中的点”
.故满足条件的点的集合为
x,y|x2
y2
2008,x
0且y
0
.填
x,y
|x2
y2
2008,x
0且y
0．
11.解：
由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
st
r150
①
的不超过去
100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为
C1522.
下面求方程①的超过
100自然数解的组数.因其和为
150，故只能有一个数超过
100，不妨设
s100.将方程①化为
（s
101）
tr
49
记s
s101，则方程s
t
r49的自然数解的组数为
C512.
因此，x150的系数为C1522
C31C512
7651.填7651.
12.解：
因为底面周长为3，所以底面边长为
1，底面面积为
S
33
.
2
8
又因为体积为9，所以高为
3
.该球的直径为
12
3
2
4R3
4
.
2，球的体积V
8
3
3
填4
.
3
13.解：
第一行染2个黑格有C42种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，
这时第三行有
C42种染法，第四行的染法随之
确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有
4种，而在第一、第二这
两行染好后，第三行染的黑格必然有
1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有
2种，第四
行的染法随之确定.
因此，共有染法为
6
16
42
90种.填90.
14.解：
令f（k）
k
1
k
2
5
5
，则
f（k5）
k51
k52
1
k1
1k2
k1
k2
f（k）
5
5
5
5
5
5
故f（k）是周期为5
的函数.
计算可知：
f
（2）
0；f（3）
0；f（4）
0；f（5）
0；f（6）1.
所以，
x2008
x2007
1
5f（2008）；x2007
x2006
15f（2007）；⋯；x2
x115f
（2）.
以上各式叠加，得
x2008
x1
2007
5
f
（2）
f（3）
f（2008）
x1
2007
5401f
（2）
f（3）
f（6）
f
（2）
f（3）
x1
2007
5
401
3
；
同理可得y2008402.
所以，第2008棵树的种植点为3,402.填3,402.
三、解答题（本大题共
4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）
15．证明：
由对称性，不妨设
a
t，则因
ab
，可得
ab，令
b
t
a
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
b
设f（t）
1
t
，则对t求导，得f（t）
1
.⋯⋯⋯⋯（6分）
t
1
2
t
t
易知，当t
1
时，f（t）0，f（t）单调递减；当t
1,
时，f
（t）0，f（t）单调
递增.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
9分）
故f（t）在t
或t
处有最大值且
f
及f
两者相等.
故f（t）的最大值为
，即f（t）
1
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12
分）
t
t
由a
t，得b
a
，其中等号仅当a
b
或a
b
成立.
b
a
b
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
14分）
１6．解：
如果某方以3:
1或3:
0获胜，则将未比的一局
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