全国高中数学联赛预赛试题及答案.docx

1、全国高中数学联赛预赛试题及答案全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的 . ）1.定义集合运算 : ABz | zxy, xA, yB .设A2,0 ，B0,8，则集合 AB 的所有元素之和为（）A.16B.18C. 20D.222.已知 an是等比数列， a22, a51a2 a3an annN，则 a1a21的取值范围是 （）4A. 12,16B.8,16C.8, 32D.16,323333.5 名志愿者随进入3 个不同的奥运场馆参加接待工作， 则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（

2、）A.315D.505B.C.81158 已知 a 、 b 为非零的不共线的向量，设条件M : b ab ；条件 N : 对一切 xR ，不等式a xba b 恒成立则 M 是 N 的（）必要而不充分条件充分而不必要条件充分而且必要条件既不充分又不必要条件5设函数 f ( x) 定义在 R 上，给出下述三个命题： 满 足 条 件 f (x2) f ( 2 x)4的函数图象关于点2,2对称；满足条件f ( x 2)f (2x) 的函数图象关于直线x2 对称；函数f ( x2) 与 f (x 2)在同一坐标系中，其图象关于直线x2 对称 .其中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.36.连结球

3、面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于2 7和43 ，M、 N 分别为 AB 、 CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦 AB 、 CD 可能相交于点 MN 的最大值为 5其中真命题为（ ）A. B.M弦 AB 、 CD 可能相交于点 MN 的最小值为 1C. D. N7. 设asin(sin 20080 )， bsin(cos20080 )， ccos(sin20080 ) ，dcos(cos20080 ), 则a, b, c, d的大小关系是（）acbdc db a b da dc acb8. 设函数f ( x)x33x 2

4、6 x 14 ，且f (a)1，f (b)19 ，则ab（）A.2B.1C.0D. 2二、填空题（本大题共6 个小题，每小题8 分，共48 分.请将正确的答案填在横线上. ）9 在平面直角坐标系中，定义点P x1 , y1、 Q x2, y2之间的“直角距离”为d ( P,Q)x1x2y1y2 . 若 C x, y到点 A1,3 、B 6,9的“直角距离”相等，其中实数 x 、y 满足0x 10、0y 10 ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为10.已知集合x, y | x2y 22008，若点P(x, y) 、点P ( x , y )满足xx且y y，则称点P 优于P.如果集合中的点Q

5、 满足：不存在中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为11. 多项式1xx 2x1003的展开式在合并同类项后，x150 的系数为.（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形 , 其侧棱垂直于底面 . 已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为3，则这个球的体积为.813. 将一个 44 棋盘中的 8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法 . （用数字作答）14. 某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点 Pk xk , yk处，其中 x11, y11，当 k2 时，xk xk1k15k21

6、555;ykyk1k1k2.55其中， a 表示实数 a 的整数部分，例如2.62， 0.60.按此方案，第 2008 棵树种植点的坐标为.三、解答题（本大题共 4小题，共 62 分. 要求有必要的解答过程 . ）15（本小题满分 14 分） 设实数 a,b,ba，求证：ba其中等号当且仅当 a, b或 a,b成立，,为正实数 . 6（ 本小题满分 14 分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛， 采用五局三胜制 （即先胜三局者获冠军） 对于每局比赛，甲获胜的概率为 2 ，乙获胜的概率为 1 如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷3 3门”试求此项赛事爆出冷门的概率17. （本小题满分16 分） 已知

7、函数f ( x)ln 1 x x 在区间 0, n nN 上的最小值为 bn ，令an ln 1 n bn ， pka1a3a2k 1 k N，a2 a4a2 k求证： p1p2pn2an1 1.18. （本小题满分 18 分）过直线 l : 5x 7 y70 0x 2y2上的点 P 作椭圆1的切线 PM 、PN ，259切点分别为 M 、 N ，联结 MN .（ 1）当点 P 在直线 l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点 Q ；（ 2）当 MN l 时，定点 Q 平分线段 MN .参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时 ,请依据本评分标准 . 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分

8、.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分 .一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的 . ）1.解： 集合 AB 的元素： z1 2 00 ， z22 816 ， z30 0 0 ， z4 0 8 0 ，故集合 AB 的所有元素之和为16.选 A .a51112.解 :设 an的公比为 q ，则 q34a22，进而 q.82所以，数列an an1 是以 a1a28为首项，以 q 21为公比的等比数列 .48 114n32a1a2a2 a3an an 11 4n.

9、1314显然， 8a1 a2a1 a2a2 a3an an 132选 C.3.3.解： 5 名志愿者随进入3 个不同的奥运场馆的方法数为35243 种 . 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1 类 ，一个场馆去3 人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为C31C53 A2260 种；第 2 类，一场馆去1 人，剩下两场馆各2 人，此类的方法数为 C31 C51 C4290种 .故每个场馆至少有一名志愿者的概率为P609050243.选 D.81 解：设 OAa， OBb ，则 xb 表示与 OB 共线的任一向量，axb 表示点 A到直线 OB 上任一点 C 的距离AC ，而 ab 表

10、示点 A 到 B 的距离 .当 bab 时， ABOB. 由点与直线之间垂直距离最短知， AC AB ，即对一切 x R ，不等式 a xb a b 恒成立反之，如果AC AB 恒成立，则 AC min AB ，故 AB 必为点 A 到 OB 的垂直距离， OB AC ，即 b a b .选 C.5 解：用 x 2 代替 f (x 2) f (2 x) 4 中的 x ，得 f ( x) f ( 4 x) 4 . 如果点 x, y 在y f ( x) 的图象上，则 4 y f (4 x) ，即点 x, y 关于点 2,2 的对称点 4 x,4 y 也在y f ( x) 的 图象 上 . 反 之

11、亦 然， 故 是 真 命 题 . 用 x 2 代 替 f (x 2) f (2 x) 中 的 x ， 得f ( x) f (4 x) .如果点 x, y 在 y f ( x) 的图象上， 则 y f (4 x) ，即点 x, y 关于点 x 2 的对称点 4 x, y 也在 y f ( x) 的图象上，故是真命题 .由是真命题，不难推知也是真命题 .故三个命题都是真命题6.解：假设 AB、的弦 CD 的中点 N.选 D.CD 相交于点 N ，则 AB 、 CD 共面，所以 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，而过圆的弦 AB 的长度显然有 AB CD ，所以是错的容易证明，当以 AB 为直径

12、的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为，故对当以AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为 1，故对 .显然是对的显然是对的 .故选7. 解：因为 2008 0536001800280 ，所以，asin(sin 280 )sin(sin 280 )0 ； bsin(cos280 )sin(cos280 ) 0 ；ccos(sin 280 )cos(sin280 )0 ； dcos(cos280 )cos(cos280 )0 又 sin 280cos28 0 ，故 badc.故选 B.8. 解：由 f ( x)x33x26x14x33 x1

13、10，令 g( y)y33 y ，则 g( y) 为奇1函数且单调递增 .而 f (a)a1 33a1101,f (b)b1 33 b11019 ,所以 g(a1)9, g(b1)9, g (b1)9 ,从而 g(a1)g (b1) ,即 a 1b 1 ,故 a b2.选 D.二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分.请将正确的答案填在横线上 . ）9 解： 由条件得x1y3x6y9当 y9 时，化为x16x6，无解；当 y3时，化为x16x 6，无解；当 3y9 时，化为2 y 12x6x1若 x 1，则 y 8.5 ，线段长度为； 若 1 x 6 ，则 x y 9.5

14、，线段长度为 5 2 ；若 x 6 ，则 y 3.5 ， 线 段 长 度 为 综 上 可 知 ， 点 C 的 轨 迹 的 构 成 的 线 段 长 度 之 和 为1 52 4 5 2 1填5 2 110. 解: P 优于P，即P 位于P的左上方， “不存在中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为x, y | x2y 22008, x0且 y0.填x, y| x 2y 22008, x0且 y0 11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程s tr 150的不超过去100 的自然数解的组数 . 显然，方程的自然数解的组数为C1522 .下面求方程的超过

15、100 自然数解的组数 . 因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设s100 . 将方程化为( s101)t r49记 ss 101 ，则方程 str 49 的自然数解的组数为C512.因此， x150 的系数为 C1522C31C5127651. 填 7651 .12. 解：因为底面周长为 3，所以底面边长为1 ，底面面积为S3 3.28又因为体积为 9 ，所以高为3. 该球的直径为12324 R 34.2 ，球的体积 V833填 4.313.解：第一行染 2 个黑格有 C42 种染法 . 第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染

16、法；（ 2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C42 种染法， 第四行的染法随之确定；（ 3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4 种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1 个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2 种，第四行的染法随之确定 .因此，共有染法为61 64 290 种. 填 90.14. 解：令 f ( k )k1k255，则f (k 5)k 5 1k 5 21k 11 k 2k 1k 2f (k )555555故 f ( k ) 是周期为 5的函数 .计算可知： f(2)0 ； f (3)0 ； f (4)0 ； f (5)

17、0 ； f (6) 1.所以，x2008x200715 f (2008) ； x2007x20061 5 f (2007) ； x2x1 1 5 f ( 2) .以上各式叠加，得x2008x120075f ( 2)f (3)f ( 2008)x120075 401 f (2)f (3)f (6)f (2)f (3)x1200754013；同理可得 y2008 402 .所以，第 2008 棵树的种植点为 3,402 . 填 3,402 .三、解答题（本大题共4 小题，共 62 分. 要求有必要的解答过程 . ）15证明： 由对称性，不妨设at ，则因a b，可得a b ，令bta.（ 3 分）b设 f (t )1t，则对 t 求导，得 f (t )1.（ 6 分）t12tt易知，当 t,1时， f (t ) 0， f (t ) 单调递减；当 t1,时， f(t) 0 ， f (t ) 单调递增 . （9 分）故 f (t ) 在 t或 t处有最大值且f及 f两者相等 .故 f (t ) 的最大值为，即 f (t )1.（ 12分）tt由 at ，得 ba，其中等号仅当 a, b或 a, b成立 .bab（14 分）6 解：如果某方以 3 : 1或 3 : 0 获胜，则将未比的一局