三角形各性质总结.docx
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三角形各性质总结
等腰三角形
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。
在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：
等角对等边）。
在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。
（简称：
三线合一）。
主要特点
1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
等边三角形
1、定义
2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：
若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。
2、性质
1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。
2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
3、判定
⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
等腰直角三角形
1、定义
有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。
显然，它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
2、关系
等腰直角三角形的边角之间的关系：
⑴三角形三内角和等于180°。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三。
⑸在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
⑹有两个角是45°，剩下的一个是直角，90°。
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：
角平分线，中线，高，中位线。
⑴三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
⑵三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
⑶三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。
⑸三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
备注：
①三角形的内心、重心都在三角形的内部.
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）。
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
基本简介
等腰直角三角形的边角之间的关系：
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：
角平分线，中线，高，中位线.
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
注意！
①三角形的内心、重心都在三角形的内部.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边
中点。
）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
相关线段
中线：
顶点与对边中点的连线，平分三角形。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：
AB=根号（AC^2+BC^2），如：
一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）
三角形角平分线
主要特点
三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！
（即内心）。
■定理1：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
■逆定理：
在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：
在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：
DC=AB：
BC
作法
在角AOB中，画角平分线
方法一：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
角平分线作法
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
方法二：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
三线合一
定义
在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为三线合一。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）
2证明
已知：
△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。
求证：
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
等腰三角形ABC（AB=AC）
.
在△ABD和△ACD中：
{BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
AB=AC（等腰三角形的性质）
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
得证
3应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
4逆定理
①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
如图，①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线
（1）若以①②为条件，求证AB=AC。
理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC
（2）若以②③为条件，求证AB=AC。
理由如下：
∵AD是BC中线，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求证AB=AC。
理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC
综上所述，逆命题成立。
垂直平分线
性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
证明方法
图式
可以通过全等三角形证明。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图：
直线MN即为线段AB的垂直平分线。
注意：
要证明一条直线为一条线段的垂直平分线，应满足两个点到这条线段的两个端点的距离相等且这两个点都在要求证明的直线上才可以证明
通常来说，垂直平分线会与全等三角形联合使用。
逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2作图方法
1：
折纸法（折叠法）2：
度量法3：
尺规作图法
3判定
①利用定义：
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
4尺规作法
方法一
在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
方法二
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点（两交点交于线段的两侧）。
2、连接这两个交点。
原理：
等腰三角形的高垂直平分底边。
方法三
利用等腰三角形的性质：
1、三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线相互重合。
）
2、等角对等边（如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
）3、等边对等角（在同一三角形中,如果两条边相等,则两个边的对角相等,即等边对等
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