浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题3 圆的基本性质解析版.docx

浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题3 圆的基本性质解析版.docx

《浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题3 圆的基本性质解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题3 圆的基本性质解析版.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浙教版九年级下册数学期末高效复习专题3圆的基本性质解析版

期末高效复习　

专题3　圆的基本性质

题型一　点与圆的位置关系

例1　[2019·大冶校级月考]若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　A　）

A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上

C．点A在⊙O内D．不能确定

【解析】∵⊙O的半径为5cm，OA＝6cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O外．

变式跟进

1．[2019·宜昌]在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图1所示（图中小正方形的边长均相等）．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（　A　）

图1

A．E，F，GB．F，G，H

C．G，H，ED．H，E，F

【解析】∵OA＝＝，∴OE＝2＜OA，∴点E在⊙O内；OF＝2＜OA，∴点F在⊙O内；OG＝1＜OA，∴点G在⊙O内；OH＝＝2＞OA，∴点H在⊙O外．

题型二　垂径定理及其推论

例2　如图2，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（　D　）

A．5　B．6C．7D．8

图2　　例2答图

【解析】连结OA，如答图所示．

∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，

∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，

在Rt△AOM中，OM＝

＝＝3，

∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.

【点悟】　已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．

变式跟进

2．如图3，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，且AE∶BE＝1∶4，则AB的长度为（　A　）

A．10　B．5C．12D.

图3　　第2题答图

【解析】如答图，连结OC，设AE＝x，∵AE∶BE＝1∶4，∴BE＝4x，∴OC＝2.5x，∴OE＝1.5x，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，Rt△OCE中，OE2＋CE2＝OC2，∴（1.5x）2＋42＝（2.5x）2，∴x＝2，∴AB＝10.

3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB为7.2m，拱顶与水面的距离CD的长为2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

图4第3题答图

解：

如答图，连结ON，OB.

∵OC⊥AB，∴D为AB中点，

∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m.

又∵CD＝2.4m，

∴设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r－2.4）m.

在Rt△BOD中，由勾股定理得r2＝（r－2.4）2＋3.62，解得r＝3.9.

∵CD＝2.4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，∴CE＝2.4－2＝0.4（m），

∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5（m），

在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96（m2），∴EN≈1.72（m）．

∴MN＝2EN＝2×1.72＝3.44m＞3，

∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．

题型三　圆周角定理的综合

例3　[2019·市南区一模]如图5，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD＝58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为__61°__．

图5

【解析】∵∠AOD＝58°，∴∠ACD＝∠AOD＝29°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝29°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－29°＝61°.

【点悟】　

（1）在同圆（或等圆）中，圆心角（或圆周角）、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；

（2）注意圆中的隐含条件（半径相等）的应用；（3）圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等．

变式跟进

4．如图6，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB＝__45°__．

图6　　第4题答图

【解析】如答图，连结OA，OB.根据正方形的性质，得∠AOB＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB＝45°.

5．[2019·永嘉二模]如图7，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.

（1）求证：

EC平分∠BED；

（2）当EB＝ED时，求证：

AE＝CE.

图7　　第5题答图

证明：

（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，

∴∠DEB＝90°.∵OC⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠BEC＝45°，

∴∠DEC＝45°.∴∠BEC＝∠DEC，

即EC平分∠BED；

（2）如答图，连结BC，OE，

在△BEC与△DEC中，

∴△BEC≌△DEC，∴∠CBE＝∠CDE.

∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝∠CBE.

∴∠AOE＝∠COE，∴AE＝CE.

题型四　弧长的计算

例4　如图8，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中，，，，圆心依次按A，B，C…循环，它们依次相连结．若AB＝1，则曲线CDEF的长是__4π__（结果保留π）．

图8

【解析】的长是＝，的长是＝，的长是＝2π，则曲线CDEF的长是π＋π＋2π＝4π.

变式跟进

6．一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为__120°__．

【解析】设扇形的圆心角为n°，根据题意得π＝，解得n＝120，∴扇形的圆心角为120°.

题型五　扇形的面积计算

例5　[2019·河南]如图9，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积是－π．

图9　　例5答图

【解析】如答图，连结OC，AC，△OAC是等边三角形，扇形OBC的圆心角是30°，阴影部分的面积等于扇形OBC的面积减去弓形OC的面积．S扇形OBC＝＝π，S弓形OC＝－×22＝π－，S阴影＝π－＝－π.

【点悟】　求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．

变式跟进

7．若扇形的半径为3cm，扇形的面积为2πcm2，则该扇形的圆心角为__80__°，弧长为__π__cm.

【解析】由＝2π，解得n＝80，由2π＝l×3，解得l＝π.

8．如图10，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E，若DE＝1，∠C＝30°，则图中阴影部分的面积是π－．

图10

【解析】∵∠C＝30°，DE＝1，∠DEC＝90°，∴DC＝2，∵OD∥BC，∴∠ODA＝30°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝

∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∴OA＝，∴S阴影＝－×2×＝π－.

题型六　圆锥

例6　[2019·西湖区校级三模]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且半径为6的扇形，则这个圆锥的底面半径为（　B　）

A．2　B．2C．2.5D．3

【解析】设这个圆锥的底面半径为r，根据题意，得2π·r＝，解得r＝2.

【点悟】　

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形；

（2）圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；（3）圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径．

变式跟进

9．一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角为150°的扇形，则圆锥的母线长为（　B　）

A．9cm　B．12cmC．15cmD．18cm

【解析】设圆锥的母线长为l，根据题意得2π×5＝，解得l＝12.即圆锥的母线长为12cm.

过关训练

1．一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12cm，母线长为13cm，则圣诞帽的侧面积为（　B　）

A．312πcm2B．156πcm2

C．78πcm2D．60πcm2

【解析】圆锥的底面周长是12×2π＝24π，则圆锥的侧面积是×24π×13＝156π（cm2）．

2．[2019·连云港三模]一个滑轮起重装置如图1所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为（π取3.14，结果精确到1°）（　C　）

图1

A．115°B．60°

C．57°D．29°

【解析】根据题意得15＝，解得n＝≈57°，∴OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为57°.

3．一个隧道的横截面如图2所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD＝6，则隧道的高（ME的长）为（　D　）

图2

A．4B．6

C．8D．9

【解析】∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：

EM⊥CD，又CD＝6，则有CM＝CD＝3，设OM是x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，即52＝32＋x2，解得x＝4，∴EM＝5＋4＝9.

4．[2019·大庆模拟]如图3是圆内接正方形ABCD，分别将，，，沿边长AB，BC，CD，DA向内翻折，已知BD＝2，则阴影部分的面积为__4－π__．

图3

【解析】由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的倍，∴阴影部分的面积＝（）2－[π－（）2]＝4－π.

5．[2019·贵港]如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中扫过部分（阴影部分）的面积是____（结果保留π）．

图4

【解析】∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴AB＝2，S扇形BAD＝＝，S扇形CAE＝＝，则S阴影＝S扇形DAB＋S△ABC－S△ADE－S扇形ACE＝π－＝.

6．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5所示，已知水杯的半径是4cm，水面宽度AB是4cm.

（1）求水的最大深度（即CD）是多少？

（2）求杯底有水部分的面积（阴影部分）．

图5

解：

（1）∵OD⊥AB，AB＝4cm，

∴BC＝AB＝×4＝2（cm），

在Rt△OBC中，∵OB＝4cm，BC＝2（cm），

∴OC＝＝＝2（cm），

∴DC＝OD－OC＝4－2＝2（cm）．

∴水的最大深度（即CD）是2cm；

（2）∵OC＝2，OB＝4，∴OC＝OB，

∴∠ABO＝30°，∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠AOB＝120°，

∵S△AOB＝AB·OC＝×4×2＝4，

S扇形OAB＝＝π，

∴S阴影＝S扇形－S△AOB＝cm2.

7．[2019·苏州一模]如图6，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E.

（1）求证：

△ABD≌△ECB；

（2）若∠ABD＝30°，BE＝3，求的长．

图6

解：

（1）证明：

∵∠A＝90°，CE⊥BD，

∴∠A＝∠BEC＝90°.

∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠EBC.

∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，

∴BD＝BC.在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB；

（2）∵△ABD≌△ECB，∴AD＝BE＝3.

∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝6，

∵BC∥AD，∴∠A＋∠ABC＝180°，

∴∠ABC＝90°，∴∠DBC＝60°，

∴的长为＝2π.

8．[2019·高密模拟]如图7，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，