71任意角的概念与弧度制711 角 的推 广.docx

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71任意角的概念与弧度制711角的推广

7．1　任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广

知识点一　角的概念的推广

（一）教材梳理填空

1．角的概念

一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．

2．角的分类

名称

定义

图形

正角

一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角

负角

一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角

零角

一条射线没有作任何旋转形成的角

（二）基本知能小试

1．判断正误

（1）小于90°的角都是锐角.（　　）

（2）终边与始边重合的角为零角．（　　）

（3）大于90°的角都是钝角．（　　）

（4）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．下列说法正确的是（　　）

A．最大的角是180°　　　B．最大的角是360°

C．角不可以是负的D．角可以是任意大小

解析：

选D　由任意角的概念，知D正确．

3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.

解析：

图

（1）中的角是一个正角，α＝390°.

图

（2）中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.

答案：

390°　－150°　60°

知识点二　象限角

（一）教材梳理填空

　象限角及终边相同的角

条件

在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上

象限角

角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角

终边相同的角

所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为

[微提醒]　角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．

（二）基本知能小试

1．判断正误

（1）终边相同的角一定相等．（　　）

（2）－30°是第四象限角．（　　）

（3）第二象限角是钝角．（　　）

（4）225°是第三象限角．（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．与610°角终边相同的角可表示为（其中k∈Z）（　　）

A．k·360°＋230°　　　　B．k·360°＋250°

C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°

解析：

选B　∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.

3．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．

解析：

与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.

答案：

240°　－120°

题型一　与任意角有关的概念辨析

[学透用活]

解读任意角的概念

三个要素：

顶点、始边、终边．

（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．

（2）对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．

[典例1]　

（1）下列说法正确的是（　　）

A．第一象限的角一定是正角

B．三角形的内角不是锐角就是钝角

C．锐角小于90°

D．第二象限的角一定大于第一象限的角

（2）期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了（　　）

A．360°　　　　　　　　B．720°

C．－360°D．－720°

[解析]　

（1）－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.

（2）因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.

[答案]　

（1）C　

（2）D

[方法技巧]

判断角的概念问题的关键与技巧

关键

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念

技巧

判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可

[对点练清]

1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A．A＝BB．B＝C

C．A＝CD．A＝D

解析：

选D　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.

2．写出图

（1），

（2）中的角α，β，γ的度数．

解：

题干图

（1）中，α＝360°－30°＝330°；

题干图

（2）中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋（－β）＝360°＋60°＋150°＝570°.

题型二　象限角及终边相同的角

[学透用活]

[典例2]　在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．

（1）－736°；

（2）405°.

[解]　

（1）∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．

∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．

（2）∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．

∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．

[方法技巧]

（1）把任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．要注意：

正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．

（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．　　

[对点练清]

1．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最小的正角；

（2）最大的负角；（3）－360°～720°之间的角．

解：

因为－1845°＝－45°＋（－5）×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．

（1）最小的正角为315°.

（2）最大的负角为－45°.

（3）－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.

2．在直角坐标系中写出下列角的集合：

（1）终边在x轴的非负半轴上；

（2）终边在y＝x（x≥0）上．

解：

（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：

0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．

（2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个：

45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．

题型三　区间角的表示

[学透用活]

[典例3]　已知，如图所示．

（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．

[解]　

（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；

终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

（2）由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

[方法技巧]

表示区间角的三个步骤

第一步：

先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．

第二步：

按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.

第三步：

起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．　　

[对点练清]

1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？

解：

在0°～360°范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围可表示为：

150°≤β≤225°，

则所有满足条件的角β为

{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．

2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合如何表示？

解：

由题干图可知满足题意的角的集合为

{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}

＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|（2k＋1）·180°＋60°≤β≤（2k＋1）·180°＋105°，k∈Z}

＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，

即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.

[课堂一刻钟巩固训练]

一、基础经典题

1．下列各角中，与60°角终边相同的角是（　　）

A．－300°　　　　　　B．－60°

C．600°D．1380°

解析：

选A　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.

2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在（　　）

A．x轴正半轴上B．y轴正半轴上

C．x轴或y轴上D．x轴正半轴或y轴正半轴上

解析：

选C　令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.

3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：

①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④（M∪N）⊆P.

其中正确的是________（填序号）．

解析：

因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ

N，①错误；N∩M＝M，②正确；M⊆P，③正确；（M∪N）

P，④错误．

答案：

②③

4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.

解析：

因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋（－270°）＝－150°.

答案：

－150°

二、创新应用题

5．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最小的正角；

（2）最大的负角．

解：

因为1030°＝2×360°＋310°，

所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．

（1）故所求的最小正角为310°.

（2）取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.

三、易错防范题

6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.

解析：

因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．

答案：

{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}

[易错矫正]　用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．

[课下双层级演练过关]

A级——学考水平达标练

1．（多选题）以下说法，其中正确的有（　　）

A．－75°是第四象限角　　B．265°是第三象限角

C．475°是第二象限角D．－315°是第一象限角

解析：

选ABCD　由终边相同角的概念知：

A、B、C、D都正确．

2．将－885°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式是（　　）

A．－165°＋（－2）×360°B．195°＋（－3）×360°

C．195°＋（－2）×360°D．165°＋（－3）×360°

解析：

选B　－885°＝195°＋（－3）×360°，0°≤195°<360°，故选B.

3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为（　　）

A．150°B．210°

C．30°D．330°

解析：

选B　与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.

4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上

解析：

选B　因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°（k∈Z），所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°（k∈Z），所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.

5．下列说法正确的是（　　）

A．三角形的内角一定是第一、二象限角

B．钝角不一定是第二象限角

C．终边相同的角之间相差180°的整数倍

D．钟表的时针旋转而成的角是负角

解析：

选D　A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．

6．12点过

小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．

解析：

时钟上每个大刻度为30°，12点过

小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.

答案：

82.5°

7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.

解析：

与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，

因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，

所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.

又α为锐角，所以α＝40°或80°.

答案：

40°或80°

8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.

解析：

当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.

∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．

答案：

{－126°，－36°，54°，144°}

9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

（1）－75°；

（2）855°；（3）－510°.

解：

作出各角，其对应的终边如图所示：

（1）由图①可知：

－75°是第四象限角．

（2）由图②可知：

855°是第二象限角．

（3）由图③可知：

－510°是第三象限角．

10．写出图中阴影部分（不含边界）表示的角的集合．

解：

在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°且小于45°，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．

B级——高考水平高分练

1．若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α在（　　）

A．第一或第三象限B．第一或第二象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

解析：

选A　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．

2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在（　　）

A．x轴的非负半轴上　　　B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上

解析：

选A　∵α＝β＋k·360°，k∈Z，

∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．

3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：

（1）重合：

________________；

（2）关于x轴对称：

________________.

解析：

根据终边相同的角的概念，数形结合可得：

（1）α＝k·360°＋β（k∈Z），

（2）α＝k·360°－β（k∈Z）．

答案：

（1）α＝k·360°＋β（k∈Z）　

（2）α＝k·360°－β（k∈Z）

4.如图所示，写出终边落在直线y＝

x上的角的集合（用0°到360°间的角表示）．

解：

终边落在y＝

x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝

x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，

于是终边落在y＝

x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}

＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A

出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求θ，并判断θ所在象限．

解：

根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，

∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，

即θ＝

，k∈Z.

又180°＜2θ＋45°＜270°，

即67.5°＜θ＜112.5°，

∴67.5°＜

＜112.5°，k∈Z，

∴k＝3或k＝4，

∴所求θ的值为

或

.

∵0°＜

＜90°，90°＜

＜180°，

∴θ在第一象限或第二象限．