北京市海淀区届高三下学期期中练习数学理试题.docx
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北京市海淀区届高三下学期期中练习数学理试题
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科）2014.4
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合
A.B.C.D.
2.复数在复平面内对应的点的坐标为
A.B.C.D.
3.下列函数图象中，满足的只可能是
ABCD
4.已知直线的参数方程为（为参数），则直线的普通方程为
A.B.C.D.
5.在数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有
A.4种B.5种C.6种D.9种
7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为
A.1B.2C.3D.4
8.已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.记曲线关于曲线的关联点的个数为，则
A．B．C．D．
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.
10.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______.
11.如图，切圆于，，，则的长为_______．
12.已知圆与抛物线的准线相切，则_______．
13.如图，已知中，，，，则_____________.
14.已知向量序列：
满足如下条件：
，且（）.
若，则________；中第_____项最小.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数，过两点的直线的斜率记为.
（Ⅰ）求的值；
（II）写出函数的解析式，求在上的取值范围.
16.（本小题满分13分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
甲公司某员工A
乙公司某员工B
3
9
6
5
8
3
3
2
3
4
6
6
6
7
7
0
1
4
4
2
2
2
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：
元），求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
17.（本小题满分14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.
（Ⅰ）求证：
AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．
（Ⅲ）在线段上是否存在点使得平面？
若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知曲线.
（Ⅰ）若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；
（Ⅱ）对任意实数，曲线总在直线:
的上方，求实数的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知是椭圆上两点，点M的坐标为.
（Ⅰ）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；
（Ⅱ）当两点不关于轴对称时，证明：
不可能为等边三角形.
20.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：
与：
，其中，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，
则称与互为正交点列.
（Ⅰ）求：
的正交点列；
（Ⅱ）判断：
是否存在正交点列？
并说明理由；
（Ⅲ）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？
并证明你的结论.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（理科）2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.9610.11.212.13.14.9；3（本题第一空3分，第二空2分）
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15．解：
（Ⅰ）---------------------------2分
------------------------------3分
.-------------------------------5分
（Ⅱ）------------------------------6分
------------------------------7分
------------------------------8分
------------------------------10分
因为，所以，------------------------------11分
所以，-----------------------------12分
所以在上的取值范围是-----------------------------13分
16.解：
（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33.--------------------------------2分
（Ⅱ）设为乙公司员工B投递件数，则
当=34时，=136元，当>35时，元，
的可能取值为136,147,154,189,203-------------------------------4分
{说明：
X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}
的分布列为：
136
147
154
189
203
--------------------------------------9分
{说明：
每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
--------------------------------------11分
（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分
17．（Ⅰ）因为平面平面，交线为，
又在中，于，平面
所以平面.--------------------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得.
由题意可知，又.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
--------------------------4分
不妨设，则.
由图1条件计算得，，，
则-------5分
.
由平面可知平面DCB的法向量为.-----------------------------------6分
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.------------------------------------8分
平面DCB的法向量为
所以，
所以二面角的余弦值为------------------------------9分
（Ⅲ）设，其中.
由于，
所以，其中--------------------------10分
所以--------------------------11分
由，即---------------------------12分
解得.-----------------------------13分
所以在线段上存在点使，且.-------------14分
18．解
（Ⅰ），-----------------------------------2分
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：
，
所以且.----------------------------------4分
解得，-----------------------------------5分
（Ⅱ）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，
即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分
令，----------------------------------------7分
①若a=0，则，
所以实数b的取值范围是；----------------------------------------8分
②若,，
由得，----------------------------------------9分
的情况如下：
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以的最小值为，-------------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是；
综上，实数b的取值范围是．--------------------------------------13分
法2：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，即
∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分
令，则等价于∀，恒成立，
令，则，-----------------------------------------7分
由得，----------------------------------------9分
的情况如下：
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以的最小值为，------------------------------------------12分
实数b的取值范围是．--------------------------------------------13分
19．解：
（Ⅰ）设,，---------------------------------------1分
因为为等边三角形，所以.--------
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