精品《圆的基本性质》的知识点及典型例题.docx

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《圆的基本性质》的知识点及典型例题

第三章《圆的基本性质》的知识点及典型例题

知识框图

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的

求不规则阴影部分的面积

求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积

求半径、弦长、弦心距

弧可分为劣弧、半圆、优弧

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧

圆

概念

圆周角定理及2个推论

证明多边形的形状；证明两线垂直

证明弧度之间的数量关系；

证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系

1、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

2、垂径定理：

垂直于弦的直径，并且平分

垂径定理的逆定理1：

平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2：

平分弧的直径

3、圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的

圆心角定理的逆定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：

在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求

，那么所求的是弧长

4、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的

圆周角定理推论1：

半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

圆周角定理推论2：

在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等

5、拓展一下：

圆内接四边形的对角之和为

6、弧长公式：

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长

的计算公式为

=

7、扇形面积公式1：

半径为R，圆心角为n°的扇形面积为。

这里面涉及3个变量：

，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。

我们中需要记住一个公式即可。

扇形面积公式2：

半径为R，弧长为

的扇形面积为

8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的

9、圆锥的侧面积：

；圆锥的全面积：

10、圆锥的母线长

，高h，底面圆半径r满足关系式

11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长

，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为

12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为

考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）

考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式

考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理

考点四、求圆心角、圆周角

考点五、求阴影部分的面积

考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状

考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题

考点八、方案设计题，求最大扇形面积

考点九、将圆锥展开，求最近距离

练习

一、选择题

1、下列命题中：

①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，半径不是弦。

正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿

的路径运动一周．设

为

，运动时间为

，则下列图形能大致地刻画

与

之间关系的是（）

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（）

A.2

aB.

abC.3

a2+

abD.

a（2a+b）

4、如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）

A.4

cmB.

C.

D.

5、如图所示，长方形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于E点。

取BC的中点为F，过F作一直线与AB平行，且交

于G点。

求∠AGF=（）

（A）110︒（B）120︒（C）135︒（D）150︒。

6、如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7、如图，弧BD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧BD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）

A．15B．20C．15+

D．15+

8、如图，已知⊙O的半径为5，点

到弦

的距离为3，则⊙O上到弦

所在直线的距离为2的点有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9、如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=

，DE=

，下列中图象中，能表示

与

的函数关系式的图象大致是

ABCD

10、如图5，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1－h2|等于（）

A、5B、6

C、7D、8

11、如上图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）

A．

B．

C．

D．

12、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作

，

如图所示，若AB=4，AC=2，

，则

的值是（）

A.

B.

C.

D.

二、填空题

1、如图，⊙O是等腰三角形

的外接圆，

，

，

为⊙O的直径，

，连结

，则

，

．

2、如图，

为⊙O的直径，点

在⊙O上，

，则

．

3、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC。

AB=5，AC=4，则BD=

4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为

上一点，若∠CEA=

，则∠ABD=°.

5、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为

6、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是

和

，则∠BAC的度数为__________________

7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为

8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为

9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm．

10、如图，

是

的直径，弦

．若

，则

．

第11题

11、如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.

设∠ACP=x，则x的取值范围是

12、、如图，

是

的直径，

是

上的点，则

13、以半圆O的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D。

若AD=4，DB=6，那么AC的长为

14、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

15、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。

如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？

小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm、∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。

也请你算一算雨刷CD扫过的面积为

cm2（π取3.14）

三、解答题

1、如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若OA=5，OC=3，求AB的长

2、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB边放在地面（直线l）上。

（1）请直接写出AB，AC的长；

（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度。

（3）若没有墙，像

（2）那样翻转，将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置为第一次翻转，又将△A1BC1按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B1C1（A2C1在l上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度．

3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C。

（1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径R

4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中

上一点，延长DA至点E，使CE＝CD.

（1）求证：

AE＝BD

（2）若AC⊥BC，求证：

AD+BD=

CD．

5、已知一个圆锥的高h=3

，侧面展开图是半圆，求：

（1）圆锥的母线长与底面半径之比；

（2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）；

（3）圆锥的全面积．

6、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H

（1）如果⊙O的半径为4，CD=4

，求AC的长

（2）若点E为为

的中点，连接OE、CE，求证：

CE平分∠OCD

（3）在

（1）的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？

并说明理由。

7、①、如下图所示，点P在⊙O外，过点P作两射线，分别与⊙O相交于点A、B、C、D，猜想

的度数、

的度数与∠P之间的数量关系，并进行证明。

②、当点P在圆内时，猜想

的度数、

的度数与∠APC之间的数量关系，并进行证明。

文字叙述：

顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；

顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。

8、在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形。

（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm。

当滤纸片重叠部分为三层，且每层为

圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；

（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层