高考数学必做100题必修1含详细答案解析.docx

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高考数学必做100题必修1含详细答案解析

2010年高考数学必做100题（必修1）

一、解答题（共16小题，满分192分）

1．（12分）试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数y=x2﹣x+2的函数值的集合；

（2）y=x﹣3与y=﹣3x+5的图象的交点集合．

2．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|5＜x＜10}，求CR（A∪B）、CR（A∩B）、（CRA）∩B、A∪（CRB）．

3．（12分）设全集U={x∈N*|x＜9}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}．

（1）求A∪B，A∩B，CU（A∪B），CU（A∩B）；

（2）求CUA，CUB，（CUA）∪（CUB），（CUA）∩（CUB）；

4．（12分）设集合A={x|（x﹣4）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣1）（x﹣4）=0}．

（1）求A∪B，A∩B；

（2）若A⊆B，求实数a的值；

（3）若a=5，则A∪B的真子集共有　　个，集合P满足条件（A∩B）⊈P⊈（A∪B），写出所有可能的集合P．

5．（12分）已知函数

．

（1）求f（x）的定义域与值域（用区间表示）

（2）求证f（x）在

上递减．

6．（12分）已知函数

，求f

（1）、f（﹣3）、f（a+1）的值．

7．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2x．

（1）证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；

（2）当x∈[2，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

8．（12分）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．

（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；

（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．

9．（12分）已知函数

（b≠0，a＞0）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）若f

（1）=

4，求a，b的值．

10．（12分）对于函数

．

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．

11．（12分）

（1）已知函数f（x）图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点．

（2）已知二次方程（m﹣2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于（﹣1，0）和（0，2），求m的取值范围．

12．（12分）某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？

13．（12分）家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式

，其中Q0是臭氧的初始量．

（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

14．（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a•bx+c（a、b、c为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

说明理由．

15．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．

16．（12分）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？

2010年高考数学必做100题（必修1）

参考答案与试题解析

一、解答题（共16小题，满分192分）

1．（12分）试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数y=x2﹣x+2的函数值的集合；

（2）y=x﹣3与y=﹣3x+5的图象的交点集合．

【分析】本题考查的是集合的表示问题．在解答时：

（1）利用配方的方法对函数进行处理，然后放缩法即可获得函数值的范围，进而用描述法即可写出集合；

（2）首先通过将两个方程联立，即可解得两直线的交点坐标，然后用列举法即可写出所要的集合，注意元素是点．

【解答】解：

（1）由题意可知：

∴

，

故所求集合为

．

（2）由题意：

联立

，

解得

，

故所求集合为{（2，﹣1）}．

【点评】本题考查的是集合的表示问题．在解答的过程当中充分体现了函数配方的思想以及联立方程解方程组的知识，同时描述法、列举法表示集合在本题中也得到了充分的体现．值得同学们体会和反思．

2．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|5＜x＜10}，求CR（A∪B）、CR（A∩B）、（CRA）∩B、A∪（CRB）．

【分析】由题意知CR（A∪B）={x|x＜3或x≥10}，CR（A∩B）={x|x≤5或x≥7}，（CRA）∩B={x|7≤x＜10}，A∪（CRB）={x|x＜7或x≥10}．

【解答】解：

CR（A∪B）={x|x＜3或x≥10}，

CR（A∩B）={x|x≤5或x≥7}，

（CRA）∩B={x|7≤x＜10}，

A∪（CRB）={x|x＜7或x≥10}．

【点评】本题考查集合的基本运算，难度不大，解题时要多一份细心．

3．（12分）设全集U={x∈N*|x＜9}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}．

（1）求A∪B，A∩B，CU（A∪B），CU（A∩B）；

（2）求CUA，CUB，（CUA）∪（CUB），（CUA）∩（CUB）；

【分析】由全集U={x∈N*|x＜9}可知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，利用交集、并集、补集的定义分别进行求解．

【解答】解：

（1）由全集U={x∈N*|x＜9，}可知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

根据并集的定义可得A∪B={1，2，3，4，5，6}，根据交集的定义可得A∩B={3}，

根据补集的定义可得CU（A∪B）={7，8}，CU（A∩B）={1，2，4，5，6，7，8}．

（2）根据补集的定义可得CUA={4，5，6，7，8}，CUB={1，2，7，8}，

根据并集的定义可得（CUA）∪（CUB）={1，2，4，5，6，7，8}，根据交集的定义可得（CUA）∩（CUB）={7，8}．

【点评】本题考查了集合的交、并、补集的混合运算，属于计算型基础题．

4．（12分）设集合A={x|（x﹣4）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣1）（x﹣4）=0}．

（1）求A∪B，A∩B；

（2）若A⊆B，求实数a的值；

（3）若a=5，则A∪B的真子集共有　7　个，集合P满足条件（A∩B）⊈P⊈（A∪B），写出所有可能的集合P．

【分析】

（1）已知集合A={x|（x﹣4）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣1）（x﹣4）=0}，根据一元二次不等式的解法，分别求出集合A，B，然后再根据交集合并集的定义求出A∪B，A∩B；

（2）因为A⊆B，说明A是B的子集，根据子集的定义进行求解．

（3）把a=5，代入集合A，然后求出集合A∪B，从而算出其子集，并写出所有可能的集合P．

【解答】解：

（1）①当a=4时，A={4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={4}；（2分）

②当a=1时，A={1，4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；（4分）

③当a≠4且a≠1时，A={a，4}，B={1，4}，故A∪B={1，a，4}，A∩B={4}．（6分）

（2）由

（1）知，若A⊆B，则a=1或4．（8分）

（3）若a=5，则A={4，5}，B={1，4}，

故A∪B={1，4，5}，此时A∪B的真子集有7个．（10分）

又∵A∩B={4}，

∴满足条件（A∩B）⊈P⊈（A∪B）的所有集合P有{1，4}、{4，5}．（12分）

【点评】此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．

5．（12分）已知函数

．

（1）求f（x）的定义域与值域（用区间表示）

（2）求证f（x）在

上递减．

【分析】求定义域时要满足分母不能是0，即4x+1≠0

求函数f（x）的值域用分离常数法，想办法把分子上的x消掉，即，

=

证明一个函数递减时可用定义法来证．

【解答】解：

（1）要使函数有意义，则4x+1≠0，解得

．（2分）

所以原函数的定义域是（﹣∞，﹣

）∪（﹣

，+∞）（3分）

，（5分）

所以值域为（﹣∞，﹣

）∪（﹣

，+∞）．（6分）

（2）在区间

上任取x1，x2，且x1＜x2，

则

（8分）

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0（9分）

又

，∴4x1+1＞0，4x2+1＞0，（10分）

∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），（11分）

∴函数f（x）在

上递减．（12分）

【点评】函数的定义域、值域和单调性是考查的重点内容，尤其是证明函数单调性的定义法要掌握．

6．（12分）已知函数

，求f

（1）、f（﹣3）、f（a+1）的值．

【分析】根据分段函数的表达式，判断x的范围，代入相应的解析式即可求解f

（1），f（﹣3）

要求f（a+1），需要讨论a+1≥0，a+1＜0两种情况讨论，分别代入可求

【解答】解：

f

（1）=5，（3分）

f（﹣3）=21，（6分）

．（12分）

【点评】本题考查分段函数的求值，含有参数的函数值的求解，需要分类讨论．

7．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2x．

（1）证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；

（2）当x∈[2，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

【分析】

（1）由定义法证明即可，作差，变形，判断符号，得出结论．

（2）由

（1）的结论知函数在[2，5]上是增函数，最值在两端点处取到．

【解答】解：

（1）证明：

在区间[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则有（1分）

f（x1）﹣f（x2）=（﹣x12+2x1）﹣（﹣x22+2x2）=（x2﹣x1）•（x1+x2﹣2），（3分）

∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，（4分）

∴x2﹣x1＞0，x1+x2﹣2＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0（5分）

∴f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在[1，+∞）上是减函数．（6分）

（2）由

（1）知f（x）在区间[2，5]上单调递减，

所以f（x）max=f

（2）=0，f（x）min=f（5）=﹣15（12分）

【点评】考查定义法证明函数的单调性及利用函数的单调性求函数的最大值与最小值．

8．（12分）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．

（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；

（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．

【分析】

（1）要求函数f（x）+g（x）的定义域，我们可根据让函数解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组即可得到函数f（x）+g（x）的定义域；

（2）要判断f（x）+g（x）的奇偶性，我们根据奇偶性的定义，先判断其定义域是否关于原点对称，然后再判断f（﹣x）+g（﹣x）与f（x）+g（x）的关系，结合奇偶性的定义进行判断；

（3）若f（x）﹣g（x）＞0，则我们可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．

【解答】解：

（1）f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x）．

若要上式有意义，则

，

即﹣1＜x＜1．

所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}

（2）设F（x）=f（x）+g（x），

则F（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）

=loga（﹣x+1）+loga（1+x）=F（x）．

所以f（x）+g（x）是偶函数．

（3）f（x）﹣g（x）＞0，

即loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，

loga（x+1）＞loga（1﹣x）．

当0＜a＜1时，上述不等式等价于

解得﹣1＜x＜0．

当a＞1时，原不等式等价于

，

解得0＜x＜1．

综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；

当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

【点评】求函数的定义域时要注意：

（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：

①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．

9．（12分）已知函数

（b≠0，a＞0）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）若f

（1）=

4，求a，b的值．

【分析】

（1）直接根据函数的解析式求得f（﹣x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．

（2）先根据f

（1）求得a和b的关系式，进而根据log3（4a﹣b）=1求得a和b的另一个关系式，联立方程，求得a和b．

【解答】解：

（1）f（x）定义域为R，

，故f（x）是奇函数．

（2）由

，则a﹣2b+1=0．

又log3（4a﹣b）=1，即4a﹣b=3．

由

，解得a=1，b=1．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断．解题的关键是看f（﹣x）与f（x）的关系．

10．（12分）对于函数

．

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．

【分析】

（1）设x1＜x2，化简计算f（x1）﹣f（x2）的解析式到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．

（2））假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），由此等式解出a的值，若a无解，说明不存在实数a使f（x）为奇函数，若a有解，说明存在实数a使f（x）为奇函数．

【解答】解：

（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=a﹣

﹣（a﹣

）=2×

，（3分）

∵x1＜x2，∴

，（5分）

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（6分）

（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）（7分）

即

，（9分）

解得：

a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数．（12分）

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于基础题．

11．（12分）

（1）已知函数f（x）图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点．

（2）已知二次方程（m﹣2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于（﹣1，0）和（0，2），求m的取值范围．

【分析】

（1）要判断函数零点的个数，我们可以根据图象中的数据，分析f（a）•f（b）＜0的区间有多少个，然后根据零点存在判定定理即可给出答案．

（2）如果二次方程（m﹣2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于（﹣1，0）和（0，2），则对应的二次函数在区间（﹣1，0）和

（0，2）各有一个零点，根据零点存在定理，f（﹣1）•f（0）＜0且f（0）•f

（2）＜0，解不等式组，即可求出满足条件m的取值范围．

【解答】解：

（1）由f（﹣2）•f（﹣1.5）＜0，f（﹣0.5）•f（0）＜0，f（0）•f（0.5）＜0，

得到函数在（﹣2，﹣1.5）、（﹣0.5，0）、（0，0.5）内有零点．

（2）设f（x）=（m﹣2）x2+3mx+1，则f（x）=0的两个根分别属于（﹣1，0）和（1，2）．

所以

，

即

，

∴

．

【点评】连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点．如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论．

12．（12分）某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？

【分析】根据题意设出销售单价定为x元，根据所给的表格看出销售单价和日均销售量之间的关系，列出日均销售利润，注意题目中自变量的取值范围，根据二次函数在定区间中的最值问题，得到结果．

【解答】解：

由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个．

设销售单价定为x元，则每个利润为（x﹣40）元，日均销量为[48﹣2（x﹣50）]个．

由于x﹣40＞0，且48﹣2（x﹣50）＞0，得40＜x＜74．

则日均销售利润为y=（x﹣40）[48﹣2（x﹣50）]=﹣2x2+228x﹣5920，40＜x＜74．

∴当

，y有最大值．

∴为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理．

【点评】本题与课本上函数的应用一章的例题相似，它体现的是解函数应用题时应该注意点问题，特别是自变量的取值问题．

13．（12分）家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式

，其中Q0是臭氧的初始量．

（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

【分析】

（1）本题中的函数关系是一个指数型函数模型，由于其指数为负数，初值为正数，由指数型函数的特征知其是一个减函数．

（2）知函数值变成了原来的一半求自变量，将函数值代入得到关于自变量的方程，解指数方程求年数，本方程在求解时因为未知数在指数上，故应采取两边取对数的方法将指数方程转化为一次方程求x的值．

【解答】解：

（1）∵Q0＞0，

，e＞1，∴

为减函数．（3分）

∴随时间的增加，臭氧的含量是减少．（6分）

（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则

，

即

，（8分）

两边取自然对数得，

，（10分）

解得x=400ln2≈278．（11分）

∴278年以后将会有一半的臭氧消失．（12分）

【点评】本题考查指数型函数，利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质，以及解指数型方程，解此类方程时一般是用两边取对数的方法把指数方程转化为一元一次方程或者是一元二次方程求值．

14．（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a•bx+c（a、b、c为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

说明理由．

【分析】先设二次函数为y=px2+qx+r由已知得出关于a，b，c的方程组，从而求得其解析式，得出x=4时的函数值；又对函数y=a•bx+c由已知得出a，b，c的方程，得出其函数式，最后求得x=4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好．

【解答】解：

设二次函数为y=px2+qx+r由已知得

解之得

所以y=﹣0.05x2+0.35x+0.7，

当x=4时，y1=﹣0.05×42+0.35×4+0.7=1.3（4分）

又对函数y=a•bx+c由已知得

解之得

，

∴

当x=4时，

（8分）

根据四月份的实际产量为1.37万元，而|y2﹣1.37|=0.02＜0.07=|y1﹣1.37|

所以函数

作模拟函数较好（12分）

【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求函数的解析式及比较出优劣．考查了待定系数法等数学方法．

15．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．

【分析】在求f（t）的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．

【解答】解：

（1）当0＜t≤1时，

如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，

又

，∴

，

∴

（2）当1＜t≤2时，

如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，

又

，∴

∴

（3）当t＞2时，

综上所述

【点评】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点．

16．（12分）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？

【分析】

（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．

（2）由

（1）的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．

【解答】解：

（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），故其解析式为y=4t，0≤t≤1；

当t≥1时，函数的解析式为

，

此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得

，解得a=3

故函数的解析式为

，t≥1．

所以

．

（2）由题意，令f（t）≥0.25，即

，

解得

，

∴

．

∴服药一次治疗疾病有效的时间为

个小时．

【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．