高考数学理科真题及答案全国卷I.docx
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高考数学理科真题及答案全国卷I
中国大方题库网2001年全国普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若
,则θ在
(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限
(2)过点A(1,-1),B(-1,1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是
(A)(x-3)2+(y+1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4
(C)(x-1)2+(y-1)2=4(B)(x+1)2+(y+1)2=4
(3)设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是
(A)1(B)2(C)4(D)6
(4)若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是
(A)(0,
)(B)(0,
](C)(
,+∞)(D)(0,+∞)
(5)极坐标方程
的图形是
(6)函数
的反函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)若
,则
(A)ab(A)ab<1(D)ab>2
(9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=
BB1,则AB与C1B所成的角的大小为
(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°
(10)设f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题:
①若f(x)单调速增,g(x)单调速增,则f(x)-g(x))单调递增;
②若f(x)单调速增,g(x)单调速减,则f(x)-g(x))单调递增;
③若f(x)单调速减,g(x)单调速增,则f(x)-g(x))单调递减;
④若f(x)单调速减,g(x)单调速减,则f(x)-g(x))单调递减;
其中,正确的命题是
(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④
(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:
①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则
(A)P3>P2>P1(B)P3>P2=P1(C)P3=P2>P1(D)P3=P2=P1
(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表承它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为
(A)26
(B)24
(C)20
(D)19
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
,则这个圆锥的侧面积是_________.
(14)双曲线
的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF⊥PF2,则点P到x轴的距离为_________。
(15)设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=_.
(16)园周上有几个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________.
三.解答题:
本大题共6小题共74分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
(I)求四棱锥S-ABCD的体积;
(11)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(18)(本小题满分12分)
已知复数z1=i(1-i)3
(I)求argz1及|z1|
(II)当复数z满足|z|=l,求|z-z1|的最大值.
(19)(本小题满分12分)
设抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
(20)(本小题满分12分)
已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n
(I)证明nipim<mipin;
门)证明(1+m)n>(1+n)m.
(21)(本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少
.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
.
(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出an,bn的表达式;
(II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22)(本小题满分14分)
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1;,x2∈[0,
],都有
f(x1+x2)=f(x1)f(x2).
(I)求f(
)及f(
);
(II)证明f(x)是周期函数;
(III)记an=f(2n+
),求
.
数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
(1)B
(2)C(3)B(4)A(5)C
(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C
(11)D(12)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分.满分16分.
(13)2π(14)
(15)1(16)2n(n-1)
三.解答题.
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.
解:
(I)直角梯形ABCD的面积是
M底面=
(BC+AD)AB=
……2分
∴四棱推S-ABCD的体积是
……4分
(II)延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱……6分
∵AD∥BC,BC=2AD
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面ASB⊥面ESC,EB是交线,
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,
故SB是CS在面SEB上的射影,
∴CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角.……10分
即所求二面角的正切值为
。
……12分
(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
证明一:
因为抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F(
),所以经过点F的直线AB的方程可设为
x=my+
代人抛物线方程得
y2-2pcmy-p2=0
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,y2是该方程的两个根,所以
y1y2=-p2
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-
上,所以点C的坐标
为(-
,y2),故直线CO的斜率为
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
证明二:
如图,
记x轴与抛物线准线l的交点为E,
过A作AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC.……2分
连结AC,与EF相交手点N,则
……6分
根据抛物线的几何性质,|AF|=|AD|,|BF|=|BC|……8分
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.……12分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解.(I)第1年投入为800万元.第2年投入为800×(1-
)万元,……,第n年投入为
800×(1-
)n-1万元.
所以,n年的总收入为
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+
)万元,……,第n年旅游
业收人为400×(1+
)n-1万元.
所以,n年内的旅游业总收入为
(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此
答:
至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入…12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图象,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力,满分14分.
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