小学奥数36个经典78.docx

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小学奥数36个经典78

第7讲牛吃草问题

牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

下面给出几例牛吃草及其相关问题．

1.草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?

（这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．）

【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；

23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；

所以需要12×6÷6=12（周），于是2l头牛需吃12周．

评注：

我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．

一般方法：

先求出变化的草相当于多少头牛来吃：

（甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙）÷（时间甲-时间乙）；

再进行如下运算：

（甲牛头数-变化草相当头数）×时问甲÷（丙牛头数-变化草相当头数）=时间丙．

或者：

（甲牛头数-变化草相当头数）×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．

2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：

第三块草地可供50头牛吃几周?

【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个（2公顷+2公顷周长的草）.36×12=432头牛吃一周吃4个（2公顷+2公顷12周长的草）．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．

对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷（4÷2）=36周吃完2公顷．

所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36×（10÷2）÷20=9周．

于是50头牛需要9周吃10公顷的草．

3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把

的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

【分析与解】一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即

群牛，1天，吃了1块1天新长的.

又因为，

的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外

的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，

③=2

阴影部分面积.于是，整个为

块地.那么需要

群牛吃新长的草，于是

=现在

.所以需要吃：

天.

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【分析与解】我们注意到：

牛、马45天吃了原有+45天新长的草①

牛、马90天吃了

2原有+90天新长的草⑤

马、羊60天吃了原有+60天新长的草②

牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③

马90天吃了原有+90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

所需时间为l÷

=36天.

所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

5.有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是

公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．

所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷（18÷4）=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．

所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．

第8讲不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：

对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].

解不定方程的4个步骤：

①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．

本讲讲解顺序：

③

包括1、2、3题

④

②

①包括4、5题

③

包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．

复杂不定方程：

⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．

整数分拆问题：

11、12、13、14、15．

1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】设这个两位数为

，则数字和为

，这个数可以表达为

，有

即

，亦即

．

注意到

和

都是0到9的整数，且

不能为0，因此

只能为1、2、3或4，相应地

的取值为2、4、6、8．

综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．

2．设A和B都是自然数，并且满足

那么A+B等于多少?

【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔

支，乙级铅笔

支．

有7

+3

=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：

将系数与常数对3取模（系数7，3中，3最小）：

得

=2（mod3），所以

可以取2，此时

取12；

还可以取2+3=5，此时

取5；

即

、

对应

为14、10

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，

列方程如下：

由

（2）

（1）得

③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：

剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．

另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．

因此剩余部分的管子最少是2厘米．

6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工

人，孩子

人，则女职工3

-

人（注意，为何设孩子数为

人，而不是设女职工为

人），

那么有

=216，化简为

=216，即

=72．

有

.

但是，女职工人数为

必须是自然数，所以只有

时，

满足．

那么男职工数只能为12名

7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：

O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别

，

根，则0.7

+0.8

=3.4

3.6，…

即7

+8

=34，36，37，38，39

将系数，常数对7取模，有

≡6，l，2，3，4（mod7），于是

最小分别取6,1,

2，3，4．

但是当

取6时，8×6=48超过34，

无法取值．

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．

所以，2分，10

+2分应该为平信的邮费，

最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．

于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?

其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：

18

……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7

克重．

设3克的砝码

个，5克的砝码

个，则

．

当

=0时，有

，无自然数解；

当

=1时，有

，有

=2，

=1，此时7克的砝码取17个，所以共

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

当

>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取

砝码情形．

所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?

【分析与解】设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、（10-b-c-d-e）

件，则有

=60．

=310，显然

只能取0，1，2．

Ⅰ

有