A.动能较大的是AB.动能较大的是BC.动能一样大D.无法判定
4.如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为u（最大静摩擦力近似于滑动摩擦力），物块与转轴相距R，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，则在该过程中，摩擦力对物体做的功为（）
A.0B.2
C.2
D.
/2
5.质量为1kg的物体以某一初速度在水平面上开始滑行，其动能随位移变化的图象如图所示，则物体在水平面上滑行的时间为（）
A.2.5sB.4sC.10sD.25s
6.在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v—t图像如图所示，设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则（）
A.F：
f＝3：
1B.F：
f＝4：
1C.W1：
W2＝1：
1D.W1：
W2＝1：
3
7.如图所示，摆球质量为m，摆线长为l，若将小球拉至摆线与水平方向夹30°角的P点处，然后自由释放，试计算摆球到达最低点时的速度和摆线中的张力大小。
8.一根轻直杆，可绕O点在竖直平面内转动，杆的两端分别固定质量为m1和m2的小球（m1＞m2），它们离O点的距离分别为L1和L2（L1＞L2），使杆从水平位置自静止转动，求m1到最低点时的角速度（不计空气阻力和摩擦阻力）
9.一封闭的弯曲的玻璃管处于竖直平面内，其中充满某种液体，内有一密度为液体密度一半的木块，从管的A端由静止开始运动，木块和管壁间动摩擦因数μ＝0.5，管两臂长AB＝BC＝L＝2m，顶端B处为一小段光滑圆弧，两臂与水平面成α＝37°角，如图所示。
求：
（1）木块从A到达B时的速率；
（2）木块从开始运动到最终静止经过的路程。
参考解答
（一）动能定理
1.动能定理的推导：
例1：
一个物体在平面上加速运动，请用牛顿第二定律推导动能定理
解：
由图可知
W＝FS③
由
，知
，代入③式得
又∵F＝ma
∴
（二）动能定理的解题步骤：
（三）典型例题：
1.利用动能定理求解力（变力）做功：
如果所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能的增量也比较容易计算时，巧用动能定理就可以灵活求出这个变力所做的功。
（1）灵活选取适当过程，运用动能定理
例1：
质量过为4kg的铅球，从离沙坑1.8m的高处自由落下。
铅球落进沙坑后陷入0.2m深而停止运动，求沙坑对铅球的平均阻力（g取10m／s2）。
解析：
本题铅球在前一段做自由落体运动，后一段做匀减速运动。
对前一段可用机械能守恒求解，后一段可用动能定理求解。
但如果我们把从开始下落到最终停止看成一个过程，运用动能定理列式，将很快得到结果：
由W＝ΔEk
可得：
mg（h+s）－fs＝0－0＝0
f＝（h+s）mg/s＝（1.8+0.2）×4×10／0.2＝400N
此题我们用动能定理列式时，把两段过程处理成一个过程，求解就便捷得多了．
（2）结合隔离法，运用动能定理
例2：
总质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进，质量为m的末节车厢中途脱钩，当司机发觉时，机车已行驶L距离，于是他立即关闭油门，撤去牵引力。
设车运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力为定值，当列车的两部分都停止运动时，它们的距离是多少?
解析：
此题牵涉机车和车厢这两个研究对象，它们又分别经历着不同的变速运动过程．如果从动力学、运动学角度去分析求解将非常麻烦．我们运用隔离法针对每一个研究对象运动的全过程分析其受力，画出其运动的示意图如图所示，并分别列出它们动能定理的表达式：
未脱钩时，整列车匀速前进，有：
F＝KMg
（1）
脱钩后，两车分别做加速、减速运动
对机车：
KL－K（M－m）gs1＝0－（M－m）v02/2
（2）
对车厢：
－Kmgs2＝0－mv02/2（3）
将
（1）代入
（2）后再将等式两边分别与（3）相除，化简，得：
Δs＝s1－s2＝ML/（M－m）
（3）结合运动分解，运用动能定理
例3：
如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。
人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。
问在这个过程中，人对重物做了多少功？
解析：
人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用W＝Fscosθ求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解．
当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：
重力做功的数值为：
当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度v1和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度v1和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：
v1＝vcosθ
以重物为研究对象，根据动能定理得：
（4）动能定理与牛顿运动定律的比较
用牛顿运动定律解题涉及到的有关物理量比较多，如F、a、m、v、s、t等．对运动过程的细节变化也要掌握得比较充分，才可列式求解。
而运用动能定理解题涉及到的物理量只有F、s、m、v。
它对运动过程的细节及其变化也不要求了解，只需考虑始末两状态的动能和外力做的功，它还可把不同运动过程合并成一个全过程来处理，使解题过程简便。
当然，如果题目中要求了解加速度a、运动时间t等细节，那就需要从动力学、运动学的角度去分析，不能直接求解了。
例4：
如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。
已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s。
求小滑块与接触面间的动摩擦因数（设滑块与各部分的动摩擦因数相同）。
解析：
滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为μ，斜面倾角为α，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得：
得μ＝h/s
由此题可见，用动能定理求解，回避了加速度a，不必考虑细节，解题过程简单很多。
（5）用动能定理求解圆周运动中变力做功
求解某个变力所做的功，可以利用动能定理，通过动能改变量和其余力做功情况来确定。
例5：
如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用。
当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R。
当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R／2。
在此过程中，拉力对小球做了多少功？
解析：
此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功。
根据F＝mv2／R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功。
由F＝mv12／R4F＝mv22／0.5R得WF＝mv22／2－mv12／2＝FR/2
2.利用动能定理求解多过程问题：
例6：
质量m＝1.5kg的物块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从水平面上A点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t＝2.0s停在B点，已知A、B两点的距离s＝5.0m，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20，求恒力F多大？
（g＝10m/s2）
解析：
设撤去力F前、后物体的位移分别为s1、s2，物块受到的滑动摩擦力
撤去力F后物块的加速度大小为
。
最后2秒内，物体的位移为
＝
故力F作用的位移
对物块运动的全过程应用动能定理：
。
例7：
如图所示，在一个固定盒子里有一个质量为m的滑块，它与盒子底面的摩擦系数为μ，开始滑块在盒子中央以足够大的初速度v0向右运动，与盒子两壁碰撞若干次后速度减为零，若盒子长为L，滑块与盒壁碰撞没有能量损失，求整个过程中物体与两壁碰撞的次数。
解析：
以滑块为研究对象，滑块在整个运动过程中克服摩擦阻力做功消耗了滑块的初始动能。
设碰撞n次后动能变为EK，依动能定理有：
则
①
此时的动能EK不足以使滑块再次碰撞
所以0＜EK≤μmgL
将①代入②解得：
+
故n为
上的整数。
点评：
滑块与盒子两壁多次作用，往复在盒子底部滑动，把动能消耗掉，实际该过程，摩擦力的方向会变来变去，但不管怎么变，摩擦力总是做负功，此题要注意摩擦力做功的大小是摩擦力乘以物体通过的路程而不是位移。
点评：
本题应用牛顿第二定律也可求解，但比较繁琐，应用动能定理求解则简洁得多，求解时一定要注意，两个力作用的位移是不同的。
3.活用动能定理巧求物体加速度。
例8：
如图所示，两个物体的质量分别为m1、m2，m1＞m2/2，滑轮和细线的质量不计，细线不可伸长，不计滑轮转轴处的摩擦，开始用手托着m1，求放手后两个物体的加速度分别是多大？
解析：
把m1、m2作为一个系统，设m1下降h时，则m2上升h/2，m1的下落速度为v，m2的上升速度为v/2，应用动能定理得
因m1匀加速下落，由
＝2ah得m1下落的加速度
点评：
用动能定理求物体加速度的方法的实质是，把求物体加速度的问题利用动能定理转化为求速度和位移的关系式，这种方式对于多个物体组成的，多个物体间具有相互作用，且各个物体均做直线运动的一些较复杂的物体，显得十分复杂。
4.活用动能定理巧求解变质量问题：
例9：
如图长为l的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，已知链条与水平面间静摩擦系数为μ0，滑动摩擦系数为μ。
求：
（1）满足什么条件时，链条将开始滑动？
（2）若下垂部分长度为b时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？
解析：
（1）以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为ρ，沿铅垂向下取Oy轴，设链条下落长度y＝b0时，处于临界状态
当y＞b0时，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
（2）以整个链条为研究对象，链条在运动过程中重力的功等于重力势能的减少量（可选桌面为零势能面）
根据动能定理有：
点评：
对于变质量问题，高中知识一般不容易讨论，但如果能整体从能量的观点用动能定理解题，有时往往比较简单。
5.活用动能定理巧求机械能守恒问题。
例10：
如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝5.0m，轨道在C处与水平地面相切。
在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s。
取重力加速度g＝10m/s2。
解析：
设小物体的质量为
经
处时的速度为
，由
到
经历的时间为
，由动能定理可得：
①
②
③
由①②③式并代入数据得
＝1m④
点评：
应用机械能守恒来解该题一要分析系统是否符合机械能守恒条件，二是恰当选取参考平面，使解题过程较为复杂，而无论物体或系统机械能守恒与否，动能定理都适用，并不用选取参考平面，显然运用动能定理解析机械能守恒问题，反而干净利索。
6.利用动能定理解决能量守恒问题：
例11：
如图，在水平恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高为h2的B处，若在A处的速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离为多大？
解析：
A到B的过程中，物体受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。
三个力做功分别为Fs，0和－mg（h2－h1），所以动能定理写为：
7.利用动能定理求解机车启动或功率问题：
例12：
输出功率保持10kW的起重机起吊500kg的重物，当货物升高到2m时速度达到最大值，此最大速度是多少?
此过程用了多长时间?
（g取10m／s2）
解析：
起重机以恒定的功率吊起重物的过程是加速度不断减小、速度不断增大的过程.当货物的速度达到最大时，起重机的牵引力与货物的重力相平衡，即：
F＝mg＝5×103N，vm＝P／F＝2m／s．
求解这一段运动时间不能用匀变速运动的公式，我们可以货物为研究对象运用动能定理求解：
Pt－WG＝mv2/2,t＝（mv2/2+mgh）/P＝1.1s
例13：
某地强风的风速是20m/s，空气的密度是
＝1.3kg/m3。
一风力发电机的有效受风面积为S＝20m2，如果风通过风力发电机后风速减为12m/s，且该风力发电机的效率为
＝80%，则该风力发电机的电功率多大？
解析：
风力发电是将风的动能转化为电能，讨论时间t内的这种转化，这段时间内通过风力发电机的空气是一个以S为底、v0t为高的横放的空气柱，其质量为m＝
Sv0t，它通过风力发电机所减少的动能用以发电，设电功率为P，则
代入数据解得P＝53kW
8.动能定理的图象问题：
例14：
质量m＝1kg的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4m时，拉力F停止作用，运动到位移是8m时物体停止，运动过程中
－S的图线如图所示。
求：
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？
（g取
）
（3）拉力F的大小。
解：
（1）从图线可知初动能为2J
（2）在位移4m处物体的动能为10J，在位移8m处物体的动能为零，这段运动过程中物体克服摩擦力做功设摩擦力为f，则
（3）物体从开始到移动4m这段过程中，受拉力F和摩擦力f的作用，其合外力为
，根据动能定理
【试题答案】
1.B2.A3.A4.D5.B6.BC
7.解：
A球从P点做自由落体运动至B点，速度为
，方向竖直向下在B点，由于绳绷紧，小球速度为
，方向垂直于OB，则
小球从B点沿圆弧运动至最低点C，
则
则
在C点
8、解：
设撤去力F前、后物体的位移分别为s1、s2，物块受到的滑动摩擦力
撤去力F后物块的加速度大小为
。
最后2秒内，物体的位移为
＝
故力F作用的位移
对物块运动的全过程应用动能定理：
。
8解法I：
以系统（包括地球）为对象，只有两个球的重力做功，机械能守恒，取m1到最低点时所在的平面为参考平面，由机械能守恒得：
得
解法II：
以杆和两个小球（物体组）为对象，重力是外力，根据动能定理：
与解法I结果相同，且比解法I的方程简捷。
9.解：
木块受四个力作用，如图所示其中重力和浮力的合力竖直向上，大小为F＝F浮－mg，而F浮＝ρ液Vg＝2ρ木Vg＝2mg，故F＝mg．在垂直于管壁方向有：
FN＝Fcosα＝mgcosα，
在平行管方向受滑动摩擦力Ff＝μN＝μmgcosθ，比较可知，Fsinα＝mgsinα＝0.6mg，Ff＝0.4mg，Fsinα＞Ff．故木块从A到B做匀加速运动，滑过B后F的分布和滑动摩擦力均为阻力，做匀减速运动，未到C之前速度即已为零，以后将在B两侧管间来回运动，但离B点距离越来越近，最终只能静止在B处。
（1）木块从A到B过程中，由动能定理有：
FLsinα－FfL＝1/2
mυ
代入F、Ff各量得υB＝
＝2
＝2.83m/s.
（2）木块从开始运动到最终静止，运动的路程设为s，由动能定理有：
FLsinα－FfS＝EK＝0
代入各量得s＝
＝3m
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