中考考前冲刺二次函数十大必做综合型压轴题无解析.docx
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中考考前冲刺二次函数十大必做综合型压轴题无解析
2019中考考前冲刺
二次函数必做十大综合型压轴题
一.二次函数+不等式
1.(2018浙江省嘉兴市)已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(
,y1),D(
,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
二.二次函数+动点最值问题
2.(2018重庆市)如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=﹣x2+4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).
(1)求线段AB的长;
(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点,过点P作AB的垂线交AB于点H,点F为y轴上一点,当△PBE的面积最大时,求PH+HF+
FO的最小值;
(3)在
(2)中,PH+HF+
FO取得最小值时,将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′,过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.
三.二次函数+等腰三角形存在性问题
3.(2018重庆市)抛物线y=﹣
x2﹣
x+
与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)如图1,连接CD,求线段CD的长;
(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+
EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标;
(3)如图3,点H是线段AB的中点,连接CH,将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置,再将△O2B2C绕点B2旋转一周,在旋转过程中,点O2,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3C1分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么,在△O2B2C的整个旋转过程中,是否存在恰当的位置,使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的线段O2M的长;若不存在,请说明理由.
四.二次函数+三角形相似问题(分类讨论)
4.(2018•黄冈)已知直线l:
y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x.
(1)求证:
直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=﹣2时,求△OAB的面积.
五.二次函数+动点+面积最值问题
5.(2018江苏省盐城市)如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.
(1)若点P的横坐标为﹣
,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;
(Ⅱ)直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?
若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
六.二次函数+坐标存在性问题(多解)
6.(2018江苏省扬州市)如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,线段PQ的中点坐标为 ;
(2)当△CBQ与△PAQ相似时,求t的值;
(3)当t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD=
∠MKQ?
若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.
七.二次函数+参数范围问题
7.(2018江苏省镇江市)如图,二次函数y=x2﹣3x的图象经过O(0,0),A(4,4),B(3,0)三点,以点O为位似中心,在y轴的右侧将△OAB按相似比2:
1放大,得到△OA′B′,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,A′,B′三点.
(1)画出△OA′B′,试求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
(2)点P(m,n)在二次函数y=x2﹣3x的图象上,m≠0,直线OP与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点Q(异于点O).
①求点Q的坐标(横、纵坐标均用含m的代数式表示)
②连接AP,若2AP>OQ,求m的取值范围;
③当点Q在第一象限内,过点Q作QQ′平行于x轴,与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于另一点Q′,与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M,N(M在N的左侧),直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′.△Q′P′M∽△QB′N,则线段NQ的长度等于 .
八.二次函数+新概念探究性问题
8.(2018江西省南昌市)小资与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:
求解体验:
(1)已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点(﹣1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟:
我们定义:
对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y′,则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.
(2)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y′,若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.
问题解决:
(1)已知抛物线y=ax2+2ax﹣b(a≠0)
①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2(b≠0),两个抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a、b的值及衍生中心的坐标;
②若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1;其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,其顶点为A2;…;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn;其顶点为An…(n为正整数)求AnAn+1的长(用含n的式子表示).
九.二次函数+参数范围+三角形面积综合问题
9.(2018辽宁省大连市)如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣
<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:
抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
十.双抛物线+三角形存在性问题
10.(2018辽宁省沈阳市)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:
y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;
(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;
(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.