多面体欧拉公式的发现教学设计.docx
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多面体欧拉公式的发现教学设计
《多面体欧拉公式的发现》教学设计
黄石三中吴娅
内容提要
本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。
我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。
在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。
欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。
同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。
作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。
它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。
正文：
一、教学目标
（一）认知目标
简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。
（二）能力目标
1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。
2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。
3．使学生了解欧拉公式的证明思路。
4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。
（三）情感目标
1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。
2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。
3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。
教学目标一览表
目标范畴
知识点
学习水平
了解
发现
感知
体会
知道
抽象
导出
想象
证明
掌握
探究
发展
理解
认
知
1、欧拉公式的发现
√
√
√
√
√
2、欧拉公式的证明及应用
√
√
√
√
√
√
√
能
力
1、从具体的多面体得到若干欧拉公式的猜想
√
√
√
2、从拓扑的角度认识简单多面体的本质
√
√
√
√
√
3、欧拉公式的证明思路
√
√
√
√
√
情
感
1、体验数学大师运用思想方法的过程，激发对科学的热爱和对理想的追求
√
2、问题探究学习的兴趣
√
√
3、体验学习的成就感
√
√
二、课型：
课题研究课
三、教学重难点
重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。
四、教材分析
本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。
这个课题的重要性不在于定理本身及它的应用，而在于定理的发现及证明体现了数学定理发现、猜想、论证再应用的一般规律。
研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程。
同时通过欧拉定理的学习给学生一些初步的拓补学知识，为今后进一步学习近、现代数学科学知识创造有利条件。
五、教学对象分析
本次课是学生学完了空间直线和平面、简单几何体后的一个研究性课题，学生已具有一定的空间想象能力。
从具体的几何体出发，可以发现规律，得到欧拉公式的猜想。
在初中学生已学习了多边形内角和公式，为欧拉公式的证明奠定了基础，但由于欧拉公式的证明中要将几何体压缩到一个平面，原多面体各面的大小、各棱的长短发生改变，但V（顶点数）、F（面数）、E（棱数）三个数未变，是学生首次碰到这种变形，理解难度大，此时，通过多媒体教学，可使学生非常形象地体会。
课本上已设计好的问题，也便于学生自主探究、合作、交流等学习方法的实施。
六、教学指导思想
《多面体欧拉公式的发现》这节课的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。
新课程标准的目标中提到“了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习，探究活动，体验数学发现和创造的历程。
”本节课让学生体验了数学定理猜想、论证再应用的一般规律。
人本主义心理学的主要特点是：
尊重学生人格，强调学生个性，发展学生创新精神，在授课时调动他们的直接经验，激发他们新的学习兴趣，在学习过程中自我发现，自我解决。
这种利用网络等信息渠道进行探究性学习，不但充分运用了自主性学习、合作性学习、研究性学习、创造性学习等学习方法，而且给学生提供一个形象直观的、动态逼真的、慢放调控的思维推理过程，有利于培养学生形象思维和抽象思维能力。
七、教学媒体设计一览表
媒体类别
使用顺序
媒体内容
媒体作用
使用时间
资料来源
使用方式
课件
1
介绍数学家欧拉
丰富背景资料，提高学习兴趣
2′
自制
边操作边讲解
课件
2
五个多面体及表格
通过对具体图形的观察，发现对欧拉公式的猜想
4′
图片扫描
边操作边讲解
课件
3
三个多面体及表格
验证猜想
4′
图片扫描
边操作边讲解
课件
4
多面体充气变形过程
提供形象直观、动态逼真的变化过程，培养学生形象思维和抽象思维能力
3′
自制
学生操作
课件
5
多面体压缩变形过程
提供形象直观
6′
自制
边操作边讲解
课件
6
例题
提高课堂效率
5′
自制
边操作边讲解
课件
7
巩固与练习
检测、延伸课堂教学内容
6′
自制
边操作边讲解
八、教学过程设计及分析
教学过程
设计思路与多媒体应用分析
一、课题导入
媒体出示：
欧拉，瑞士著名的数学家，是数学史上最多产的数学家，一生中写下了886篇书籍和论文；他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支，比如：
在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，有许多以他名字命题的定理，他是18世纪数学界最杰出的人物之一，人们称18世纪为欧拉时代。
师：
今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现规律并给予理论上的推理证明等研究活动。
二、自主探究
（一）发现规律
师：
请大家观察以下多面体对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表如图，请大家完成表格，并观察你能发现什么规律？
媒体出示：
丰富背景资料，提高学生学习数学的兴趣和参与程度。
让学生利用具体问题运用具体素材，发现命题，完成猜想。
同时，产生强烈的求知欲和高涨的学习热情。
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
生：
V+F－E=2
（二）验证规律
师：
以上结论V+F－E=2是由五个多面体得到，那么这个关系式对于其它的多面体是否也成立呢？
请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证。
（由于学生所见多面体的局限，大部分同学想到的都是凸多面体，都能得到V+F－E=2）
师：
请同学们继续观察一些其他图形的情况，并将所得数据填入表中
媒体出示：
表2
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
（1）
（2）
（3）
（在数图
（2）的面数时很多同学发生错误，借助多媒体，学生从不同的角度观察图
（2））
让学生展开丰富的想象，去验证规律成立的条件。
教师引导学生动手实验，得到V+F－E=2并非对所有的多面体成立，借助多媒体，提高课堂效率。
师：
观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律。
生：
（1）符合，
（2）（3）不符合
师：
一起来设想问题1和问题2中的图形。
在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形，那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？
生：
问题1中的
（1）~（5）和问题2中的
（1）个图形表面经过连续变形能变成一个球面。
师：
问题2中的图形
（2）、（3）在连续变形中，其表面最后会变成什么图形？
生：
问题2中第
（2）个图形，表面经过连续变形能变为环面，问题2中第（3）个图形，可为为两个对接球面。
问题2中第（3）个图形，可变为两个对接球面。
师：
这种想象是否正确，请同学们在多媒体上操作，观察多面体的充气变形过程。
媒体出示：
师：
像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体，请大家判断我们前面所学的几何体，哪些是简单多面体？
生：
棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体。
师：
至此，在问题1、2、3的基础上，我们能得到什么猜想？
生：
简单多面体的顶点数V，面数F和棱数E之间存在关系V+F－E=2
师：
这个规律最早是由欧拉发现的，我们将它叫做欧拉公式。
以上3个问题的解决让我们体会了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程，那么如何证明欧拉公式呢？
请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想。
教师引导学生得出简单多面体的概念，由于多面体的连续变形是学生第一次接触，借助多媒体提供形象生动的变形过程，学生亲自操作，对概念的理解更深刻，更难忘。
给学生提供活动的时空，充分体现学生的主体地位。
学生在自主探究、自由想象和充分交流的过程中，充分感受
到成功和失败的情感体验，深刻地领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的重要作用。
同时又培养了学生的空间想象能力，逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神。
（三）证明规律
师：
谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？
生：
将立体图形转化为平面图形。
把多面体想像成用橡皮膜做成的，即课本P58图9-85的多面体，将它的底面ABCDE剪开，各侧面拉开铺平，得到相应的平面多边形。
这个变化过程只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V、F、E这三个数没变，再依据由两个图形中的各面多边形内角和相等即得V+F－E=2。
媒体出示：
师：
非常好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到困难。
（学生思考整理问题，请其它同学帮忙解答或师生共同完成）
由于不同的人对同一问题有不同的体验和理解。
人们从来不能确切地知道别人的认知结构怎样，但交流能起到十分重要的作用，学生可以通过交流和协作得到相互启发，从而不断完善自己的认知结构
师：
由此上证明过程的推导，同学们还能得到哪些求简单多面体棱数的办法。
回顾反思，总结规律
（四）欧拉公式的应用
生：
棱数等于各面多边形边数和的一半，还等于各顶点数与共顶点的棱数之积的一半。
例：
1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。
C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。
这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，计算C60分子中形状为五边形或六边形的面各有多少？
（教师请学生分析，教师适当点拔媒体出示解答过程）
检验学生对欧拉公式的掌握情况，使学生明白数学既来源于实际又服务于实际。
三、课时小结：
（一）这节课学习的主要内容是什么？
（二）这节课揭示了什么数学思想？
（三）有哪些求简单多面体棱数的方法？
（四）请同学们总结在探索与交流中的体会。
引导学生对所学知识进行小结，有利于学生对已有的认知结构进行编码处理，对学习过程进行反思，为在今后的学习中进行有效调控打下良好的基础。
四、思考
（一）求证：
如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数。
（二）已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其它顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
（三）证明：
没有棱数为7的简单多面体。
使学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。
九、教学过程流程图：
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