高等数学同济第七版版下册习题全解完整版.docx
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高等数学同济第七版版下册习题全解完整版
HUAsystemofficeroom【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学同济第七版版下册习题全解
y
2
D2
-1
O
iT
-2
图10-1
数，故
/,=Jj（x2+y1）3d（j=2jj（x2+y1）3dcr.
fhi）i
又由于d3关于;t轴对称，被积函数（/+r2）3关于y是偶函数，故jj（x2+j2）3dcr=2j（x2+y2）3da=2/2.
Dy1
从而得
/,=4/2.
（2）利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/（x,y）关于y是奇函数，即fix,-y）=-f（x,y）,PJ
jf/（x,y）da=0；
如果积分区域D关于：
k轴对称，而被积函数/（x，y）关于：
c是奇函数，即
/（~x,y）=-/（太，y），则
=0.
D
3.利用二重积分定义证明：
（1）jjda=（其中（7为的面积）；
（2）JJ/c/（X,y）drr=Aj|y’（a:
，y）do■（其中A：
为常数）；
on
（3）JJ/（x,y）clcr=JJ/（x,y）drr+jJ/（x,y）dcr,其中/）=/）!
U/）2A为两个
I）b\lh
尤公共内点的WK域.
证（丨）由于被枳函数./U,y）=1,故山二t积分定义得
n"
jj'ltr=Hmy^/（,rji）A=limcr=a.
A—0
（2）Ji/（x,j）（Ic7=lim^
i）1
=Alimy/（^（,i7,）A（7-,=k\\f{x,y）Aa.
A-°台{!
（3）因为函数/U，y）在闭区域/）上可积，故不论把￡?
怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/）2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y）在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为
^/（^,,17,）Act,=^/（^,,17,）Act,+^/（^,,17,）Act,.
/）（U0,",l）：
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf（x,y）i\a=jjf（x,y）da+JJ/（xfy）da.
Sa4.试确定积分区域/），使二重积分][（1-2x2-y2）dly达到最大值.
解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当￡?
是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
（1）Ju+y）2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=
1所围成；
（2）J（x+7）2如与■，其中积分区域0是由圆周（.r-2）2+（.v-l）2=
2所围成；
（3）I'mA；+y）（lor与!
"[In（X+y）]2（1（7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为
l）"
（1，0），（1，1），（2,0）;
（4）Jpn（:
r+y）dcr与In（:
t+y）]2fW，其中/）=|（.r,.v）|3，0彡、彡1.
i）i）
解
（1）在积分K域0上，故有
（x+j）3^（x+y）2.
根据二重积分的性质4，可得
J（.r+y）\lrx^J（.\+v）
0D
（2）由于积分区域0位于半平面|（a:
，V）|.V+、
（3）彡11内，故在/）|:
&（.f+y）2彡（a+y）3
（4）从『（"
（5）J（v+＞）：
drr^jj（x+y）\lfr.
（6）由于积分区域D位于条形区域1U，y）|1彡1+7彡2丨内，故知区域/）上的点满足0彡InU+y）彡1，从而有[lnU+y）]2彡lnU+.y）.因此
jj[ln（a:
+y）]2（Jo-^+y）d
（7）由于积分区域/）位于半平面丨（x，y）|.v+y彡e|内，故在Z）上有ln（x+y）彡1，从而：
In（-v+）'）]2彡In（:
c+）'）.因此
Jj^1n（.r+y）]2dcr^Jln（x+y）da.
i）a
36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（1）/=|^（文+）心，其中/）=\（x,y）1,01|；
n
（2）/=j^sin^sin^do■，其中/）=j（a:
y）|0^^^tt,0^y^tt1;
i）
（3）/=J*（A：
+y+l）d（7,其中/>={{x,y）|0^x^l,0^j^2[；
it
（4）/=J（x2+4y2+9）do，其中D=\{x,y）\x2+y2^4|.
I）
解
（1）在积分区域D上，0矣;<:
矣1,0英y矣1,从而0矣巧（*+y）矣2又￡?
的面积等于1,因此
（2）在积分区域/）上，0矣sinj:
矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：
sin2y彡1又0的面积等于tt2,W此
（3）在积分K域"上有\^x+y+\4,/）的而积等于2,因此
（4）
（5）W为在积分K域/>?
上有0矣;t2+y2苳4,所以有
9^+4r2+9^4（x2+y2）+9矣25.
34I）的酣枳等于4tt，W此
36tt^[[（x2+4/+9）（Ur^lOO-ir.
二重积分的计算法
.^1.计算下列二甩积分:
&2._出枳分ix:
域，斤i卜r）:
v列m分:
（1）J^^do■，其中/）是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；
D
（2）jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；
（3）JV+'dcr，其中/）=I（%，）
）||A；|+|J|^1!
；
D
（4）|"U2+/-x）l、y二xh:
2*所围成的闭区域.
解
（1）0可用不等式表示为
x2^y^J^,0矣x矣1（图10-2）.
于是
（2）
0^^/4-y2,-2矣7矣2（图10-3）,
D可用不等式表示为
（3）如阁I（）-4W=/\U"2其中
/>1=\（x,y）\-x-\^y^Jc+1,-1^a;^0|,
I）2=\（x,y）|*-1+
因此
Ea3.如果二重积分|/（.r,y）心办的被积函数/（x，v）是两个函数/]（O及）的乘
积，即/（X，y）=f\（x）./“y），积分区域/）={（.V,y）I（1^V^/>,r^,证叫
这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即
|*/|U）-/2（r）flatly=[J/,（.v）（l.v]-[[/：
（>）^v]-
证Jj./1（x）
.,2（/）dvdV~J[fJ\（v）■./：
t^]l^x*
在上式右端的第一次单枳分f/,（.V）
/2（.V）dv中,./,（A.）1Jfut变招:
、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T
而在这个积分中，由于f/2（y）dy为常数，故又可提到积分号外，从而得到
f2<,y）^xAy=[|/2（y）dj]-[Jn/,（x）dx]
证毕.
^4.化二重积分
/=Jf（x，y）da
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域￡>是:
（1）由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域；
（2）由x轴及半圆周/+y2=r2（y英0）所围成的闭区域；
（3）由直线y=x，；c=2及双曲线：
k=^-（*>0）所围成的闭区域；
X
（4）环形闭区域IU，y）|1+y2^4（.
解
（1）直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为（0,0）和（4,4）（图10-6）.于是
fix
/=j[dy^/（*，y）tk.
f（x,y）dy,
（2）将/）用不等式表示'fyO^y^r2-x2，-r^W/，于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分：
r
/=J（1文Jf（x,y）（\y
如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/
，则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分：
（2,2）.于是
|dxj[f（x,y）dy.
注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/）的上、下边界曲线均分别由—个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分.
需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U,y）的特点.具体例子n]'见教材下册第144页上的例2.
（4）将D按图10-8（a）和图10-8（1>）的两种不同方式则分为4块，分别得
图10-8
5.设/U，y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区
域，证明
dx|f（x,y）Ay
证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）do，因而它们相等.
^6.改换下列二次积分的积分次序：
（2）J）dj|：
f（x,y）dx
解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;k）（^，其中o=丨h，y）1°^^^r-
"
0^j^I（./>n|■改写为|Uj）|*矣y矣1，0^^I|（罔10-9）,于是
原式=丄（2）所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y）山，.K:
中/）=I|.y2^^<2y,
0^21.MI）njm为{u’y）I音矣j^7^,0^x在4）（1冬11（>-I0），W此
原式=J,i\xjy/（x,y）i\y.
（3）所给二次积分等于二重积分.其中D=:
（.v.v）|-1
U
X^J1-y2,0彡>?
彡1;又D可表示为：
（JC，）*）丨0彡y彡V1-.r2,-1=（图10-11），因此
原式=J^dxj/（x,v）dy.
（4）所给二次积分等于二重积分其中D=:
（.v.v）'2-
h
s/lx-x1%\彡.r彡2:
.又D可表示为：
（a:
v）|2-1彡.t彡1+Y1—v2,0:
（图10-12），故
原式=丄d）jf（x%y）dx.
（5）
所给二次积分等于二重积分］|/（.10）（1^,）1:
中/）=1（.v.v）|0^v^
x彡e|
又/）可表示为|（a:
，＞）
|e、彡a彡e，0彡、彡1i（|劄10-1,故
原式=L（I.、|,./X.、，.、）（l.v.
（6）m1（）-14,将积分|><:
域/）丧示为/）,U/）2，其中A）,=jU，、）|arcsin>^
^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t=2，y=和;r轴所围成，它的面密度
/x（.t,v）=x2+y2,求该薄片的质量.
解D如图10-15所示.所求薄片的质
M=jJ/Lt（x9y）dcr=^dyj（x2+y2）dx
r[+（2”）3+2,
12
|冬|10-15
8.i|灯|l|四个平而a：
=0，y=0，;t=I，v=I所闲成的柱休被平面z=0及2.r+3y+z6藏得的立休的体积.
解江力一EJ.它？
芪是；c0:
.S二苎泛7：
省。
=X.；,0矣二矣
0^；.€1.了是芒-2x-3:
.F10-]6.g-护不二歹
l=|（6-2j：
-3;.dxdv=dx6-lx-5.
d'.
Sa9.求由平面a:
=0,y=0,^+:
，
=］所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c:
，:
.：
=6-:
￡.得的」/.体的体积.
解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D=.0
^1-：
，.
，顶是曲面Z=f）-，故体积
V-（I6-^x2+y2）dx（\y
6（1-x）-x2+——f1
11
dx^（6-x~
H.r
这10.求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积.
_2^2
解由=T+'}'消去z,得;c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6-2x2-j2
区域为
D=|（x,y）|x2+〆矣2|（图10-18）.所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：
V=（6-2x2-y2）dcr—x2+2y2）dcr
=JJ（6-3^r2-3y2）da=jj（6-3p2）pdpd0
d0[（6-3p2）pdp=6tt.
注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识
y11.両出积分区域，把积分J[/（A：
，y）d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区
U
域D是：
（1）\（xyy）\X2+y2^a2I（a>0）；
（2）|{xyy）\x2+y2^2^|；
（3）|（x,y）|a2彡x2+y1彡62|，其中0（4）j（xyy）|0^j^1-x,0^x1|.
解
（1）如图10-19,在极坐标系中，0=|（p，0）|0彡p彡a，0彡（9彡2tt1，故
^j\x,y）AxAy-jj/（pcos0，psin6）pdpd0
（1^1/（pcos0，psin0）pAp.
（2）如图10-20,在极坐标系中，
l）=（p,0）
jjy（x，y）dxdy=jj/（pcos0,pain0）pdpdO
i）i）
-y*y.2coH0
=J,d^j）/（pros0,psin6）p（3）如图10-21，在极坐标系中，/）=\（p,6、彡p彡/）,0彡0彡2tt,故
=J/（pcos0,psin0）pdpd0
）\
p=b
（r
P=^\
—bl—aVO
jyhx
10-22
图10-21
解
（1）如图10-23，用直线7=*将积分区域￡>分成￡>1，102两部分：
{（p,0）
（p,e）
于是
l-X,sec6rYrcsc8
原式=[d0[_/（pcos6,psin6）pdp+Ld^l/（pcos0,psind）pdp.
（2）D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r=^x（x^0）的方程分别是p=2sec6,6=
^和0=?
因此
|（pyO）
0^p^2sece,f^6^f}.
又f（Vx2+y2）=f（p）,于是
f-Yy.2sec0
原式=d0j）/（p）pdp-
（3）D如图1（）-25所示.在极坐标系中，直线；K=1_x的方程为P=
1，圆;k=-/l-x2的方程为p=1,因此
sin0+cos6
（p，e）
原式
sin0+cos6
于是
/（pcos6,psin0）pdp.
（4）/）如图10-26所示.在极坐标系中，直线*=1的方程是/>=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c:
os2（9,即p=tan伽e（.0;从原点到两者的交点的射线是没=
（5）
rTrser0
于是
原式=[d没/（pcos6,psin6）pdp.
（6）
注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin'4如和j/,-os^,）^.|M此i己住如下的结果是有益的：
r//-I^-33ITT、j,-/…似
r了T"，n匆I[.偶数，
（2）m10-28,在极坐标系中,
TT
i13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
i
T/-rtsec0
d6j）p-pAp=yj^secJ6d6>
=-—[sec^tan6+ln（sec6+tand）]46o
=~~[+ln（J2+1）].
o
0^^tanOsec0,0^f）J-
（3）积分区域D如图10-29所示.在极坐标系中，抛物线y=X2的方程是psin没p:
cos2没，即p=tan6sec0;射线y=A；（:
t彡0）的方程是0=子，故
"=\（p,0）
寸:
是
x.|anUnt-r0j
原式=7'p，lp
tan没sec.0（\&=\sec*0]4-y/2-\.
（4）积分区域
（p,e）
j-I
[ln（1+x2+j2）do*=jjln（1+p2）pdpdd=d0fln（1+p2）pdp
n
子[（1+p2）ln（l+P2）|'-j^pdp]
于是
TT
TT
iil5.选用适当的坐标计算下列各题：
（1）其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域；dy
（2）|^/|~，其中/＞是由圆周;c2+/=】及坐标轴所围成的在第一
象限内的闭区域；
（3）J（x2+）2）如，其中/）是由直线7=：
1，7=1+61，7=61，7=30（^1＞0）所围成
D
的闭区域；
（4）|yx2+y2d（r，其中￡＞是圆环形闭区域丨Uj）丨a2矣/+y2^b2\.
解
（1）Z）如图10-30所示?
根据/）的形状，选用直角坐标较宜.
D=\（xyy）
r2
（2）根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
（p,0）
（77-2）.
7T
（3）D如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜采用先对^后对y的积分次序.于是
jj（x2+j2）dcr=Jdy（x2r2）d.\
/-2tt
x2+y2da=||ppdpdO=[dOp2Jp
lay2-a2y-f-—Idy=14o4.
b-cr）.
2ttm—（b'-a
Sal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（0矣0莓j）与直线0=;所
围成，它的面密度为M（x，y）=x2+y2.求这薄片的质量.
解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二车:
积分（[
]10-32）.即
mK）-3：
Jj]u（x，;y）da
^x2+j2）da
由于曲顶柱体关于面对称，故
V=2ff（x2+y2）（lid）
^facoa0
2J]p2P^P^O二2丄丄p\\p
注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也能减少错误
^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：
（1）J（x-y）2sin2（x+y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是/）
（7T，0）,（2tt,7t），（7T，27T）和（0，TT）;
（2）Jx2d.vdy，其中是由两条双曲线w=1和X）=2,直线）=.r和y=4a所1）
围成的在第一象限内的闭区域；
（3）（fe5d.rdy，其中￡?
是由.v轴、）■轴和直线.r+.r=l所围成的闭区域；
解
（1）令^=欠-/，1；=无+7，贝|】：
1：
=-~2~'在这变换下，的边界I-
y=-it,xy=it,x-y=tt,x+y=3ir依次与u=一ttr=ttu=tt；=3tt对应.后者构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）'的边界.于是
D'=\{U,v）|一71'$“$77,77<"$311:
（图10-35）.
V
371
D'
71
一
-71O
n14
（b）
3（.'，，V）i\m\i
yLu
1
卜］
IT
\JL
sin2v'
T
.y.
L2
4^-
2dwsin2f；dy
\/uv-在这变换下，D的边界xy=1，y=^，叮=2,
1
■Ju
d（x,y）
2y~uv
2
d（u,v）
fv
■Ju
2Ju
2Jv
fj^2y2dxdy
-h2-
-—dudv=2v
2.
）=4x依次与u=\Jv=\,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D对应的闭区域"的边界.于是D1=\（u,v）|1彡a彡2，1彡i;彡4丨（图10-36）又
阁10-36
（3）^u=x+y,v=yx==则在这变换下，/）的边界7=0，％=0,
%y-\依次与r=（），a=^，w=1对应.后者构成wO;平面上与D对应的刚K域/J的边界，于是
D'=\（uyv）\0^V^u,0^u^\\.
又y=f|^|='—丨
因此\^ef^（\xAy=JJe7dudv=^（Jw丄eTdf’=丄u（e-1）cJm
i）o'
=+（e-".
{
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