精选浅谈排列组合中的分组问题.docx

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精选浅谈排列组合中的分组问题

浅谈排列组合中的分组问题

广东石油化工学院高州师范学院309数学

（2）班　张艳

【摘要】排列组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛应用，一直是高考的热点之一，考题一般都以实际生活为背景，以应用题的形式出现。

文章简单阐述了排列组合的基本定义、分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合数公式，重点论述介绍了排列组合题的解题方法及其解题思路。

【关键词】排列与组合加法原理乘法原理

排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此学好排列与组合至关重要。

排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，下面就介绍几类典型排列组合题的解答策略。

一、对“排列组合”的概述

1、基本定义及公式

排列：

从n个不同的元素中取出ｍ个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个排列。

组合：

从n个不同的元素中取出ｍ个元素合成一组，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个组合。

排列数与组合数公式：

Anm=n（n-1）……（n-m+1）=n!

/（n-m）！

Cmn=n（n-1）……（n-m+1）/1·2……m=n!

/m!

（n-m）!

2、排列组合题的解题依据及方法

分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第一类中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m＋n种不同的方法。

分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

①分类法：

问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法；

②位置法：

问题考虑先后次序，根据乘法原理，可用位置法；

③问题反面简单明了，可用排除法.

④转化法：

复杂排列用转化法，选取后排，转化为组合问题，利用转化公式Pmn=Cmn·pmn;

⑤粘合法：

某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组，组内外分别排列；

⑥某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，无需分离的站好实位，在空位上进行排列。

例1.有6本不同的书

⑴甲乙丙3人每人2本，有多少种不同的分法？

⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？

⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？

⑷分给甲乙丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？

⑸分成3堆，有两堆各1本，另外一堆4本，有多少种不同的分法？

解析：

对于问题⑴，首先从6本不同的书选出2本来给甲，选出的2本之间无顺序，为C62,其次，从剩下的4本书中选出2本书来给乙，为C42，最后剩下的2本给丙，为C22，整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为C62C42C22。

对于问题⑵，与问题⑴的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即分成的3组之间，一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题⑵的解决可以在问题⑴解决的基础上对3组进行消序，即C62C42C22／A33

对于问题⑶，解决方法与问题⑴一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为C61C52C33

对于问题（4）,分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3堆无顺序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）的基础上，对3组进行排序，即C61C52C33·A33

对于问题（5），这是局部均匀无序的分组分配问题，需要在对局部均匀的组进行消序即可，消序后各组之间按无序对待。

所以在之分的基础上，再对均匀的两组进行消序即可，具体解法：

（C61C51/A22）C44

例2求不同坐法的种数

（1）6男2女坐成一排，2女不得相邻；

（2）4男4女坐成一排，男女均不得相邻。

解：

（1）N1=P88-P77P22（种）

解题思路：

用粘合法结合排除法来解，先紧密排列，2女粘成一组，与6男共成七组，组内排列为P22，组外排列为P77，得2女相邻的坐法为P77P22种，再从总体P88种排除，便得到2女不得相邻的坐法的种数。

还有另一种更简单的方法，2女不得相邻，也就是必须分开，意味着题意本身就是分离排列，自然可用间隔法——6男先坐实位，再在七个空位中排列2女，即N1=P66P72（种）

总结解题方法：

解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法，也可直接用间隔法。

（学生容易得出这样的结论）

为了澄清学生的模糊认识，可适当的将问题变化一下，例2

（1）改为“5男3女坐成一排，3女都不得相邻”问两种答案

P88-P66P33与P55P63都对吗？

解：

P88-P66P33=36000，P55P63=14400

前一答案用排除法，排除了都相邻，得到的是“3女不都相邻”的坐法，其中自然包括了2女相邻的情形，因此把题意理解错误了，把不符合条件的种数也算进去了，导致失误；而间隔法在6个空位中排了3女，保证了3女都不相邻，题意理解正确，答案显然对。

解决分离排列的问题应该用间隔法，既直接又不易出错。

题目要求3女都不得相邻，而P88-P66P33=36000，这一解法仅仅排除了3女都相邻，“都相邻”并不是“都不相邻”的反面,“都不相邻”的反面除了“都相邻”之外，还有“两个相邻，另一个不相邻”。

计算“两个相邻，另一个不相邻”有多少种排法？

解析：

首先是哪两个相邻，这是组合问题，显然C32=3

然后把这两人粘合，再用间隔法，有C32P55P62P22=3×120×30×2=21600

因此，如果在粘合法结合排除法的基础上，继续做下去，仍能得出正确结果：

（P88-P66P33）-C32P55P62P22=36000-21600=14400

（2）常见的错误解答：

用间隔法，N2=P54P54（种）

这样排法，女的不相邻，男的就不一定不相邻。

男不得相邻，女也不得相邻，必须男女都坐好，即男的坐奇数位，女的坐偶数位，或者对调，正确的坐法种数为N2=2P44P4=1152（种）

例3直线与圆相离，直线上六点A1、A2、A3、A4、A5、A6,圆上四点B1、B2、B3、B4,任两点连成直线，问所得直线最多几条？

最少几条？

⑴所成直线可分为两类：

已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点，得到直线最多条数N1=C61C41+C42（条）

再加一条已知直线：

N1=C61C41+C42+1（条）

⑵所成直线条数最少时，重合的直线最多，需用排除法减去重合的直线条数。

因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复。

而重复的直线，即是由圆上取两点连成的直线（如图），排列重复，便得直线最少条数N2=C61C41-C42+1（条）

（例4涉及排列组合最值问题，要化繁为简）

二、从应用题的条件上看，可分为没有限制条件问题和有限制条件问题。

（1）若是没有限制条件的排列或组合问题，可直接根据有关公式求得结果。

（2）若是有限制条件的排列组合问题，一般都是对某个（些）元素的位置加以限制，被限制的元素，称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置，解决这类问题通常有以下三种方法：

①以元素为主，即先满足对特殊元素的要求，再考虑其它元素（元素分析法）

②以位置为主，即先满足对特殊位置的要求，再考虑其它位置（位置分析法）

③先不考虑限制条件，计算出排列数或组合数后，再减去不合要求的排列数或组合数。

例4

（1）某人去四个单位做报告，每个单位只讲一次，有多少种不同的轮讲方法？

解：

此题要分清n与m的值分别是多少：

某人去四个单位做报告，实质上就是4个单位做报告的顺序，四个单位都要讲，就是四个单位排顺序，所以n=4,m=4,是全排列问题，所以A44=4×3×2×1=24（种）

（2）某铁路段上有10个火车站，问这10个车站要准备多少种不同的普通客车票？

解：

每张客车票上印有两个站，这两个站是着铁路上的10个站中的任2个，所以火车票是10个站中任取2个站（n=10.m=2）又因火车票上的两个站，一个站是起点站，另一个站是终点站，而起点站，终点站互换以后是两张不同的火车票，所以这个问题是从10个站中任意选2个站得排列问题，所以A102=10×9=90（种）

（3）3本不同的书，5名同学去借，每人最多只能借一本，并且全部借完，那么有多少种不同借法？

解：

这个问题可以换个说法：

5名同学去借3本不同的书，就是5名同学只有3人借到，也就是5人种选出3人去拿3本不同的书，所以n=5,m=3是排列问题，所以A53=5×4×3=60（种）

以上三道题，主要分清n与m的值

例5

（1）从1，2，3，4，5五个数中，任意取出3个数字，问可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解：

此题是取出数字后要组成三位数，显然是排列问题，所以A53=5×4×3=60（个）

（2）某小组共有8人，现在要选出2人去参加某个会议，有多少种不同的选法？

解：

从8人种选出2人企业参加会议，是组合问题，所以C82=8!

/2!

6!

=28（种）

例6

（1）从0,1,2,3,4,5中任意选出4个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数

解：

0，1,2,3,4，5六个数字中0不能放在最高位，即0不能是千位数字，所以0是特殊元素，最高位（千位）是特殊位置，因此要先满足特殊位置，也就是千位数的位置，只能由1,2,3,4,5中德任意一个数字来占，有A51种，其余三个位置，由其它5个数字来占，有A53种，因为是分两步进行，所以用乘法，即A51·A53=300（个）

（2）从1,2,3,4,5中任意选出4个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位奇数

解：

此题要求是四位奇数，也就是个位数的位置上的数是奇数数字，所以个位的位置是特殊位置，1,3,5是特殊元素，所以先满足特殊位置，也就是个位的位置由1,3,5中的一个来占，有A31种不同选法，再满足其它三个位置，5个数字中个位占了一个，还有4个数字，4个数字中任选3个去占其它三个位置，有A43种不同方法，因为是分两步进行的，所以两步的种数做乘法，即A31·A43=72（个）

（3）有5种不同品牌的电视机，摆成一排展销，其中

（ⅰ）甲种品牌电视机要摆放在正中间，问有多少种不同的摆放方法？

（ⅱ）若甲种品牌电视机只能摆在两端，有多少种不同的摆放方法？

解：

（ⅰ）此题是有限制条件的问题，也就是甲种品牌电视机要求摆放在正中间，所以甲种品牌电视机为特殊元素，正中间位置为特殊位置，所以先满足特殊位置，特殊元素，即把甲种品牌电视机先放在正中间，再满足其它四个位置，所以A44=4×3×2×1=24（种）

（ⅱ）甲种品牌电视机是特殊元素，首末两个位置是特殊元素，先满足一端，先把甲种品牌电视机放在第一个位置，则有A44种不同摆法，如果甲种品牌电视机放在最后一个位置上，则有A44种不同摆法，因为把甲种电视机放在第一个位置和最后一个位置是两类方法，所以2A44=48种

例7从6名运动员中选出4人参加4×100米的接力赛，其中甲冲刺技术好，规定他跑最后一棒，乙，丙起跑技术不过硬，规定乙丙不跑第一棒，问有多少种不同的选法？

解：

因为规定甲跑最后一棒，所以从其余5人中选3人跑其它三棒，又乙丙不跑第一棒，所以第一棒由除去甲乙丙以外的3人中选1人，还有第2,3棒，则由其余4人（除去甲，除去跑第一棒的队员）中任选2人，所以A31·A42=3×4×3=36（种）

三、方法补充

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

（1）元素相同问题隔板策略（名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法）

例8有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成９个空隙。

在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn-1m-1

（2）合并单元格解决染色问题

例9如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种

分析：

颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

下面分情况讨论:

（ⅰ）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素1,3,5,24的全排列数A44

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（ⅰ）类似同理可得A44

种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格.从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C43A33种方法．

由加法原理知：

不同着色方法共有2A44+C43A33=48+24=72（种）

（3）递推法

例10一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

分析：

设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：

第一类：

是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：

an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

（4）几何问题

例11

（1）四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有3C53+3=33种.

（2）四面体的棱中点和顶点共10个

从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？

解：

C103-4C63+4-3-6C43+6+2×6=29（个）

（5）用转换法解排列组合问题

例12某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种？

解：

把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题即A52=20种

（6）概率法

例13一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？

解析：

在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为1／2，故本例所求的排法种数就是所有排法的1／2，即1／2·A66=360种.

（7）除序法

例19用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

解：

（1）

（2）

（8）错位排列

例14同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有9种.

解析：

运用公式

（1）

（2）

=n!

（1-

+

-

+…+

当n=4时a4=3（a3+a2）=9种，即三个人有两种错排，两个人有一种错排．

（9）重排问题求幂策略

例15把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:

完成此事共分六步:

把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有

种不同的排法。

解析：

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种

（10）环排问题线排策略

例168人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：

围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）!

种排法即7!

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!

种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1／n·Amn种。

（11）合理分类与分步策略

例17在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

以选上唱歌人员为标准进行研究。

⑴只会唱的5人中，没有人选上唱歌人员共有C32C22种；

⑵只会唱的5人中，只有1人选上唱歌人员有C51C31C42种,只会唱的5人中，只有2人选上唱歌人员有C51C31C42种，由分类计数原理共有C32C22+C51C31C42+C51C31C42种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

（12）构造模型策略

例18马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：

把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C53种.

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决.

（13）实际操作穷举策略

例19设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?

解:

从5个球中取出2个球与盒子对号有C52种取法，还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒，3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C52种.

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

（14）多排问题直排策略

例208人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？

解:

8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排前4个位置上的特殊元素甲乙有A42种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有A41种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有种A42A41A55种。

（这是多排问题直排策略法，一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究。

）

四、总结

排列组合历来是学习中的难点，排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。

只有对基本的解题策略熟练掌握，根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

参考文献：

［1］陈守礼，《名师授课录》，中学数学高中版，上海教育出版社，1989年9月17号，219至225页。

［2］裘新华，《全国高类成人高等学校招生考试统考教材》，数学理科，北京邮电大学出版社，2003年，297至300页。

［3］高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法，

［4］排列组合方法技巧总汇,

［5］排列组合解题技巧,