秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13.docx

秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13.docx

《秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13

12．2三角形全等的条件

基础知识归纳

1．判定两个三角形全等的条件

（1）①简称：

边边边．

②符号表示：

SSS．

③语言叙述：

三边对应相等的两个三角形全等．

④图形说明，如图．

（2）①简称：

边角边．

②符号表示：

SAS．

③语言叙述：

两边和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

④图形说明，如图．

在△ABC与△A1B1C1中，

∵AB=A1B1，∠A=∠A1，AC=A1C1，

∴△ABC≌△A1B1C1．

（3）①简称：

角边角．

②符号表示：

ASA．

③语言叙述：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

④图形说明，如图．

在△ABC与△A1B1C1中，

∠B=∠B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△ABC≌△A1B1C1．

（4）①简称：

角角边．

②符号表示：

AAS．

③语言叙述：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

④图形说明，如图．

在△ABC与△A1B1C1中，

∠B=∠B1，∠A=∠A1，BC=B1C1，

∴△ABC≌△A1B1C1．

（5）①简称：

斜边、直角边．

②符号表示：

HL．

③语言叙述：

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．

④图形说明，如图．

在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，

∵AC=A1C1，BC=B1C1，

∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1．

2．三角形作图

（1）利用基本作图作三角形

①已知三边作三角形；

②已知两边及其夹角作三角形；

③已知两角及夹边作三角形；

④已知一直角边及斜边作三角形．

（2）三角形作图的依据

根据三角形全等的条件．

（3）三角形作图的主要步骤

①已知：

将条件具体写下来，并画出已知的图．

②求作：

要写出求作什么样的三角形，这个三角形符合什么要求．

③分析：

寻找作图方法的途径，只在演算纸上写．

④作法：

根据分析所得的作图方法，用尺规作出正式图形，并写出每一步的过程，并在图中保留基本作图痕迹．

3．三角形的特征

三角形具有的稳定性是其最大特点．

重点知识讲解

1．判定两个三角形全等的常用思路

（1）已知两边

（2）已知一边一角

（3）已知两角

2．判定两个三角形全等要注意的问题

（1）寻找三角形全等的三个条件时，要注意“对应”二字．

如图，在△ABC与△DEF中，虽然AB=DE，∠C=∠D，∠B=∠F．

但由于AB与DE不是对应边，所以△ABC与△DEF不全等．

（2）寻找三角形全等的三个条件时，至少得寻找到一组对应边相等．

（3）注意隐含条件的运用，如公共边、公共角、对顶角、直角等．

易混知识辩析

边角边与边边角

（1）边角边是指两边和它们的夹角对应相等，边边角是指两边和其中一边的对角对应相等．

（2）前者可用来作为三角形全等的判定条件，而后者却不能，举例如下：

如图，在△ABC与△ABD中，

AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，

但△ABC与△ABD不全等．

经验与方法技巧

1．利用三角形全等判断线段（或角）相等的一般方法

（1）把要判断的线段（或角）作为三角形的边（或内角）的两个三角形找出来．

（2）证明这两个三角形全等．

（3）根据全等三角形的性质得出要判断的线段（或角）相等．

2．三角形作图小结

已知

条件

已知线段a,b,c，求作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．

作法：

（1）作线段AB=c；

（2）分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于C点；

（3）连结AC，BC，则△ABC即为求作的三角形．

图形:

作图依据：

边边边

（SSS）

已知

条件

已知线段a,b∠α，求作△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=α．

使作法：

（1）作∠DCF=a；

（2）在射线CD，CF上分别截取CB=a，CA=b；

（3）连结AB，则△ABC即为所求作的三角形．

图形:

作图依据：

边角边

（SAS）

已知

条件

已知线段，求作△ABC，使BC=a，∠B=α，∠C=β．

作法：

（1）作线段BC=a；

（2）以点B为顶点，以BC为一边作角∠DBC=，以点C为顶点，以CB为一边作∠BCF=，设BD与CF交于点A；

（3）连结AB，AC，则△ABC即为所求作的三角形．

图形:

作图依据：

角边角

（ASA）

已知

条件

已知线段，求作Rt△ABC，使直角边CB=a，斜边BA=b．

作法：

（1）作∠NCM=90°；

（2）在射线CN上截取CB=a；

（3）以点B为圆心，以b半径画弧，交CM上一点A，连结AB，则△ABC即为所求的三角形．

图形:

作图依据：

直角边、斜边（HL）

典型例题

例1如图所示，AD=AB，AF=AG，BF=DG．试判断∠BAG与∠FAD的关系，并说明理由．

解析∠BAG=∠FAD的．

理由：

在△ABF与△ADG中，

∵AB=AD，AF=AG，BF=DG，

∴△ABF≌△ADG（SSS）．

∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，

即∠BAG=∠FAD．

评注由于∠BAG与∠FAD分别是由∠1与∠3，∠2与∠3组成，且∠3是公共角，所以可以考虑判断∠1=∠2．由条件的三组对应边相等，不难发现∠1与∠2所在的两个三角形全等．

例2已知：

如图所示，AB=CD，AB∥CD，CE=AF，判断△ABE与△CDF是否全等．为什么？

解析△ABE≌△CDF．

理由：

∵CE=AF，

∴CE+AC=AF+AC，

即AE=CF．

∵AB∥CD，∴∠1=∠2．

在△ABE和△CDF中，∵AE=CF，∠1=∠2，AB=CD．

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

评注易发现AE=CF，∠1=∠2，则不难判断△ABE与△CDF的全等关系．

例3已知：

如图所示，AB=AC，BD⊥AC于点D，CF⊥AB于点F，BF=CD吗？

说明理由．

解析BF=CD．

理由：

∵BD⊥AC，CF⊥AB，

∴∠ADB=∠AFC=90°．

在△ABD和△ACF中，

∵∠ADB=∠AFC，∠A=∠A，AB=AC，

∴△ABD≌△ACF（AAS）．

∴AD=AF．又∵AC=AB，

∴AC-AD=AB-AF，

即BF=CD．

评注①当不能直接证明所求证的线段（或角）所在的三角形全等时，常用的思路是利用证相等线段（或角）的和或差所在三角形全等来间接证明．②本题中应该注意隐含条件公共角∠A的应用．

例4已知：

如图所示，线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AM=m．

作法

（1）以b，，m为边作△ACM．

（2）延长CM至B，使MB=CM．

（3）连结BA．

∴△ABC就是所求作的三角形，如图1所示．

评注如图2所示，在草稿纸上先画一个假想的“效果图”，那么BC=a，AC=b，中线AM=m，而MC=BC=，于是△AMC可以“搞定”，接着以△AMC作为基础可以构建出△ABC．

（1）

（2）

教材例题习题的变形题

例1（P100例3）如图所示，已知点D，E分别在AB，AC上，BE与CD相交于O点，AB=AC，∠B=∠C，图中还有哪些相等的线段？

并说明理由．

解析相等的线段有：

BD=CE，AD=AE，OD=OE，OB=OC．

理由：

在△ACD和△ABE中，

∠A=∠A（公共角），AC=AB，∠C=∠B，

∴△ACD≌△ABE（ASA）．

∴AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，

即BD=CE．

在△BOD和△COE中，

∠B=∠C，∠1=∠2（对顶角相等），BD=CE，

∴△BOD≌△COE（AAS）

∴OB=OE，OB=OC．

评注判定三角形全等时要注意挖掘题中的隐含条件，如本例中的公共角∠A，对顶角∠1与∠2．

例2（P102例4）已知：

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，且AC=BD，AC，BD相交于O点，OD与OC相等吗？

为什么？

解析OD=OC．

理由：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠D=∠C=90°．

在Rt△ADB和Rt△BCA中，

AB=AB，BD=AC，

∴△ADB≌△BCA（HL），∴AD=BC．

在△AOD和△BOC中，

∠D=∠C，∠1=∠2（对顶角相等），AD=BC．

∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OD=OC．

评注在判断OD=OC时，易发现可由△AOD≌△BOC得到，但在这两个三角形中没有相等的对应边，故可由△ADB≌△BCA中寻找到AD=BC．

例3（P105习题11）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AB=DE，AC=DF，判断AB与DE，AC与DF的位置关系．

解析AB∥DE，AC∥DF．

理由：

∵BF=CE，

∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，

∴在△ABC与△DEF中，

AB=DE，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

∴∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，

∴AC∥DF，AB∥DE．

评注不难发现从角的角度来判断两直线平行较为方便，而所需的角恰好在两个三角形中，故由三角形全等即可得到所需的条件．

学科内综合题

例1已知：

如图所示，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF，由以上条件，你能说明BE平行且等于DF吗？

解析在△ABC和△CDA中，AB=CD，BC=AD，AC=AC（公共边），

∴△ABC≌△CDA（SSS），

∴∠1=∠2．

在△ABE≌△CDF中，

AE=CF，∠1=∠2，AB=CD，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF，∠3=∠4．

又∵∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°，

∴∠5=∠6，∴BE∥DF，∴BEDF.

评注本题综合利用了全等三角形的判定条件及其性质、平行线的判定条件，由于BE和DF分别在△ABE和△CDF中，所以可考虑证△ABE≌△CDF．

例2如图，已知△ABC和△ADE，DE分别交BC，AC于点M，N，∠1=∠2=∠3，AC=AE，试判断BC与DE的数量关系，并说明理由．

解析BC=DE．

理由：

∵∠1=∠3（已知），

∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC（等式的性质），即∠BAC=∠DAE．

在△ANE和△MNC中，

∴∠E=180°-∠3-∠ANE，

∠C=180°-∠2-∠MNC（三角形内角和为180°）．

又∵∠2=∠3（已知），

∠ANE=∠MNC（对顶角相等），

∴∠E=∠C（等量代换），

在△ABC与△ADE中，

∠BAC=∠DAE（已证），

AC=AE（已知），∠C=∠E（已证），

∴△ABC≌△ADE（ASA）．

∴BC=DE（全等三角形对应边相等）．

评注在证明三角形全等时，要灵活运用已知条件，将它们转化为所需条件，为证明三角形全等作准备．如本题中，将∠1=∠3转成∠BAC=∠DAE；将∠2=∠3，利用三角形内角和及对顶角相等转化成∠C=∠E．

例3如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，若CD，C′D′分别是高，并且AC=A′C′，CD=C′D′，∠ACB=∠A′C′B′，那么