初三数学知识点.docx
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初三数学知识点
初三数学知识点：
第一章、图形与证明
1.1等腰三角形的性质和判定：
定理：
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
定理：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线
合一”）
定理：
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的过也相等（简称“等角对
等边”）
推论：
等边三角形的每个内角都等于60o
3个角都相等的三角形是等边三角形
1.2直角三角形全等的判定
定理：
斜边和一条直角过对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL”）
定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
定理：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
定理：
矩形的4个角都是直角
矩形的对角线相等
定理：
菱形的4条边都相等
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
注：
菱形的面积S=底·高=
1
2
对角线·对角线
正方形具有矩形和菱形的所有性质
定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
反证法：
先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，从
而证明了命题的结论一定成立。
定理：
对角线相等的平行四边形是矩形
有3个角是直角的四边形是矩形
定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4边都相等的四边形是菱形
推论：
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
在证明四边形为正方形时，可以说明它既是矩形又是菱形
1.4等腰梯形的性质和判定
定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
定理：
等腰梯形同一底上的两底角相等
等腰梯形的对角线相等
1.5中位线
定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
注：
梯形的面积公式：
S=
1
2
（上底+下底）·高=中位线·高
注：
关于中点四边形：
原四边形ABCD中点四边形EFGH
任意平行四边形
AC=BD菱形
AC⊥BD矩形
AC=BD、AC⊥BD正方形
第二章、数据的离散程度
2.1极差
计算公式：
极差=最大值－最小值
在日常生活中，极差常用来描述一组数据的离散程度
2.2方差与标准差
方差计算公式：
21
22
sxxxxxn
12
n
x
2
标准差：
方差的算术平方根，即
s
2
s
方差和标准差也是用来描述一组数据的离散程度，即方差或标准差越小，数据的波动
越小，这组数据越稳定。
性质：
一组数据x1，x2，,，xn的平均数为x，方差为
2
s，标准差为s，
则
（1）数据x1a，x2a，,，xna的平均数为xa，方差为
2
s，标准差为s，
（2）数据bx1，bx2，,，bxn的平均数为bx，方差为
b，标准差为bs，2s
2s
2
（3）数据bxa
1，bx2a，,，bxna的平均数为bxa，方差为
b，标准差为2s2
2s2
bs，
第三章、二次根式
3.1二次根式
定义：
一般地，式子a（a0）叫做二次根式
性质：
（1）a（a0）是非负数
2
（2）当a0时，aa
（3）
2
a
a
a
a
a
a
0
0
注：
对字母取值范围的考察。
1.6二次根式的乘除
公式：
（1）ababa0,b0
（2）ababa0,b0
aa
（3）a0,b0
b
b
aa
（4）a0,b0
b
b
（5）分母有理化也是进行二次根式除法的常用方法
若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互
为有理化因式（阅读材料）
化简二次根式实际上就是使二次根式满足：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母；
（3）分母中不含有根号
满足上述三个条件的二次根式叫最简二次根式。
1.7二次根式的加减
同类二次根式定义：
经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式
一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。
第四章、一元二次方程
3.2一元二次方程
2
2x2x定义：
像2
x、2x1924、x0这样，只含有一个未知数，且未知
数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程
2bxc
任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：
ax0（a、b、c
是常数，a0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
3.3一元二次方程的解法
一、解法：
1、直接开平方法
2、配方法
2bxc2ac
3、公式法：
一般地，对于方程ax0（a0），当b40时，它
的根是
x
b
2
b
2a
4ac
4、因式分解法：
平方差公式、完全平方公式、十字相乘法
二、根的判别式：
b24ac
2bxc
2
一元二次方程ax0（a0）的根的情况可由b4ac
来判定：
2ac
当b40时，方程有两个不相等的实数根；
2ac
当40
b时，方程有两个相等的实数根；
2ac
当40
b时，方程没有实数根；
三、一元二次方程根与系数的关系（阅读材料）
2bxc2ac
在一元二次方程ax0（a0）中，当b40时，那么它的两个
根是
2
bb4ac
x
1，
2a
2
bb4ac
x
2，可以得到：
2a
b
x1x2，
a
x1x2
c
a
1.8用一元二次方程解决问题
1、熟悉书中几种常见类型
2、用一元二次方程解决问题的关键是找出问题中的相等关系，列出方程。
第五章、中心对称图形
（二）：
圆
3.4圆
1、定义：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合
2、点与圆的位置关系：
如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
点P在圆内，则dr；
点P在圆上，则dr；
点P在圆外，则dr；反之亦成立。
3、了解书中对圆中各部分名称的介绍（P108）
3.5圆的对称性
一、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
二、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.6圆周角
定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
定理：
直径（或半圆）所对的圆周角是直角。
90o的圆周角所对的弦是直径。
1.9确定圆的条件
结论：
不在同一条直线上的三点确定一个圆
三角形的外接圆（三角形的外心）：
三角形的外心是三角形中3边垂直平分线的交点，
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。
注：
直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半
1.10直线与圆的位置关系
一、三种位置关系：
相交、相切、相离
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与⊙O相交，则dr；
直线l与⊙O相切，则dr；
直线l与⊙O相离，则dr；反之亦成立。
二、圆的切线的性质及判定
定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
两种方法：
连半径，证垂直；作垂直，证半径
定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
三角形的内切圆（三角形的内心）：
三角形的内心是三角形中3条角平分的交点，三
角形的内心到三角形各边的距离相等。
注：
求三角形的内切圆的半径通常用面积法，特殊地，直角三角形内切圆的半径
=
a
b
2
c
（其中c为斜边）
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线
平分两条切线的夹角。
1.11圆与圆的位置关系
五种位置关系：
外离、外切、相交、内切、内含
如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离，则dRr；
两圆外切，则dRr；
两圆相交，则RrdRrRr；
两圆内切，则dRr；
两圆内含，则dRrRr；反之亦成立。
阅读材料：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
1.12正多边形与圆
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形
的中心。
一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
注：
与正多边形有关的计算
1.13弧长及扇形的面积
1、圆周长：
C2R
弧长：
l
n
R
180
2、圆面积：
S
2
R
扇形面积：
2
nR1
S或SlR
3602
1.14圆锥的侧面积和全面积
S
圆锥侧=S
1
扇形=2rlrl
2
圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积
注：
一个常用公式：
n
360
r
R
（其中，n、R分别指扇形的圆心角度数、扁形半径，
r指围成的圆锥的底面圆半径）
第六章、二次函数
3.7二次函数
2
一般地，形如yaxbxc
（a、b、c是常数，a0）的函数称为二次函数，
其中x是自变量，y是x的函数。
3.8二次函数的图象和性质
2ka
1、顶点式：
yaxh0的顶点是（h,k），对称轴是xh
当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
①当xh时，y随x的增大而减小；
②当xh时，y随x的增大而增大；
③当xh时，y的值最小，最小值为k。
当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
①当xh时，y随x的增大而增大；
②当xh时，y随x的增大而减小；
③当xh时，y的值最大，最大值为k。
注：
掌握平移规律：
抛物线平移时，开口方向不变，关键是抓住顶点的变化。
2bxca
2、一般式：
yax0的顶点是
b
2a
4ac
4a
2
b
，其它性质同上。
3.9二次函数与一元二次方程
2bxca
如果二次函数yax0的图象与x轴有两个公共点x1,0、x2,0，
2bxc
那么一元二次方程ax0有两个不相等的实数根xx1、xx2；
2bxca
如果二次函数yax0的图象与x轴有一个公共点，那么一元二次
2bxc方程0
ax有两个相等的实数根；
2bxca
如果二次函数yax0的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方
程ax2bxc0没有实数根。
2bxc
反之，根据一元二次方程ax0的根的情况，可以知道二次函数
2bxca
yax0的图象与x轴的位置关系。
阅读材料：
掌握二次函数与一元二次不等式的关系
1.15二次函数的应用
能根据具体问题中的数量关系，探求实际问题中的最值问题
能解决由“形（函数图象）”到“数（函数关系式）”的实际问题，并进行有效调控，
可以使有关实际问题得到理想的解决。
“数学建模”是考查的重点。
第七章、锐角三角函数
3.10正切
定义：
tanA
A的对边
A
的邻边
a
b
3.11正弦、余弦
定义：
Aa
的对边
sinA，
斜边
c
cosA
A的邻边
斜边
b
c
3.12特殊角的三角函数
304560
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
13
7.5解直角三角形
7.6锐角三角函数的简单应用
几类常见题：
1、仰角、俯角
垂直高度
2、坡度：
itan（其中为坡角）
水平宽度
3、方向角：
第八章统计的简单应用
8.1货比三家
8.2中学生的视力情况调查
第九章概率的简单应用
3.13抽签的方法合理吗
3.14概率帮你做估计
3.15保险公司怎样才能不亏本
另：
一次函数的性质：
1、正比例函数：
ykx（k0）
ykx所经过象限增减性
k一、三象限y随x的增大而增大
0
k二、四象限y随x的增大而减小
0
2、一次函数：
ykxb（k0）
ykxb所经过象限增减性
k0
b0一、二、三
b0一、三、四
y随x的增大而增大
k0
b0一、二、四
b0二、三、四
y随x的增大而减小
反比例函数的性质：
k
y所在象限增减性
x
k一、三象限在每一象限内，y随x的增大而减小
0
0
k二、四象限在每一象限内，y随x的增大而增大
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