数学建模选拔赛.docx
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数学建模选拔赛
摘要
人员安排对于完成工程的作用是不可忽略的，好的人员安排不仅可以让工程高速高质量的，还可以使完成工程的费用达到最小。
本文针对人员安排的实时计算的讨论，利用规划模型求解。
在求解该问题的过程中，设定了一些常量和决策变量对问题中的已知和求解结果进行表示，以方便模型的建立和求解，其中运用Lingo软件进行求解。
由于人员安排问题比较复杂，其中的变化比较多，本文仅仅只是对一些比较简单、容易求解的一些情况进行讨论和求解，比如说将项目的工作时间进行了简化（设定工程师的工作月数被划分为三个时期，每六个月为一时期）；将工程师的工作量进行了限定（工程师在六个月内只能被安排在一个项目）。
最后将模型进行了推广，考虑一些更一般的情况，但由于现有知识的限制，没有进行求解。
问题一中，问题是求解完成所有项目所需总费用的最小值的人员分配方案，此题没有考虑工程师本身的问题，且工程师在每6个月中只能被安排一个项目。
先对问题进行合理的假设，使人员安排问题转化为我们熟悉的数学规划问题，建立一个具体的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，求出了完成所有项目所需最小的总费用为396K（RMB）。
问题二中，问题二是考虑了工程师在完成这项工程的十八个月中的空闲情况，即工程师1在时期二中没有时间。
其求解方法同问题一，建立适当的的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，得出了最小的总费为406.8K（RMB）用并且讨论当总费用怎样的情况会让工程师1重新被安排到第二时期
问题三中，问题三是考虑了工程师之间关系的情况，由于工程师2和3之间存在个性冲突而不能被同时安排到同一个项目，即工程师2和3在同一时间内不能做同一的项目。
利用约束条件将其转化为数学表达式，建立适当的的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，得出了最小的总费为396K（RMB），并讨论这种情况对总费用的影响。
问题四中，问题四在问题一的基础上，考虑了外部的因素对完成工期的总费用的影响。
即考虑由于项目A能够在六个月内完成发奖金的情况，讨论其是否会对完成工期的总费用的最优解产生影响。
在求解该问题时，分别讨论项目A在时期一、二、三中完成，讨论项目在不同时期内完成对最优解的影响，最终得出项目的安排时期对最优解不造成影响的结论。
本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将问题转变成我们所熟悉的简单的线性规划问题。
然后再逐渐考虑由于工程师空闲情况、工程师之间的关系情况、外部因素对工程影响等复杂的问题，有数学数据去分析在各种情况下的人员分配最优解。
在问题的求解过程中我们运用LINGO软件对建立的规划模型求解，其求解结果非常全面，将人员安排到很具体的项目,再人工分别各个时期人员分配。
在本文的最后，将模型进行了推广，考虑到更一般的情形，使模型更符合日常生活中的人员安排。
关键词：
工程项目、时期、总费用、规划模型、Lingo
一、问题提出
问题人员安排
一位管理人员安排一些工程师完成三个项目A、B、C。
项目A、B、C分别需要18、12和30人-月来完成。
工程师1、2、3和4都可以完成这些项目。
他们的月工资分别是6K元、7K元、6.4K元和7.8K元。
假设工程师在每6个月中只能被安排一个项目，所有项目要求只能在18个月内完成。
（1）求完成所有项目的总费用最小的分配方案（分配工程师到具体项目）。
（2）假设由于早期的工作安排，工程师1在时期2内没有时间。
重复
（1）的计算，这会影响最优解吗？
多少费用会使管理人员认为应该将工程师1重新安排到时期2中？
（3）假设由于个性冲突，工程师2和3不能同时在一个项目中工作。
他们的个人矛盾会对人员的安排带来额外损失吗？
（4）如果项目A能够在6个月内完成，公司会发20K元的奖金。
这会改变最优解吗？
二、基本假设
（1）工程师在完成项目期间不能缺席，也不能由其它工程师顶替。
（2）工程师在这十八月内都有空，可以随便安排参加项目的时期。
（3）工程师之间无冲突，可以随机安排他们工作的项目。
（4）没有特殊情况影响工程进度。
（5）项目完成顺序随机。
（6）项目可以间断完成。
三、符号说明
符号意义备注
A、B、C、D表示工程师1、2、3、4
1、2、3表示项目A、B、C
TAi表示工程师1在项目i中工作时期数i=1、2、3
TBi表示工程师2在项目i中工作时期数i=1、2、3
TCi表示工程师3在项目i中工作时期数i=1、2、3
TDi表示工程师4在项目i中工作时期数i=1、2、3
sA、sB、sC、sD表示工程师1、2、3、4不足一个工期所干的月数
XAi表示工程师1在不足一个工期中干哪个项目i=1、2、3
XBi表示工程师2在不足一个工期中干哪个项目i=1、2、3
XCi表示工程师3在不足一个工期中干哪个项目i=1、2、3
XDi表示工程师4在不足一个工期中干哪个项目i=1、2、3
w表示完成所有项目所需要的费用
四、问题分析
该题为现实生活中的人员安排问题，求所需费用最小，在求解此问题时可以将其抽象为一个典型的规划问题。
由于现实问题中存在着工期问题、项目的工作量问题、所需费用最小等问题，所以在建立模型的过程中，这些问题就构成了约束条件。
根据题目要求，可以建立如下模型：
求
Min=6*6TA1+6*6*TA2+6*6*TA3+6*sA+6*7*TB1+6*7*TB2+6*7*TB3+7*sB+6*6.4*TC1+6*6.4*TC2+6*6.4*TC3+6.4*sC+6*7.8*TD1+6*7.8*TD2+6*7.8*TD3+7.8*sD;
St.
6*TA1+6*TB1+6*TC1+6*TD1+sA*XA1+sB*XB1+sC*XC1+sD*XD1>18;
6*TA2+6*TB2+6*TC2+6*TD2+sA*XA2+sB*XB2+sC*XC2+sD*XD2>12;
6*TA3+6*TB3+6*TC3+6*TD3+sA*XA3+sB*XB3+sC*XC3+sD*xD3>30;
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<18;
6*TB1+6*TB2+6*TB3+sB<18;
6*TC1+6*TC2+6*TC3+sC<18;
6*TD1+6*TD2+6*TD3+sD<18;
sA，sB，sC，sD<=6;
所有变量为整数
5、模型的建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
5.1.1问题一的分析问题一中，我们要求完成所有项目的总费用最小的分配方案（分配工程师到具体项目），即让4个工程师甲、乙、丙、丁，每人分别在三个时间段内做某个项目，使得他们在完成所有项目所得的总工资达到最小的分配方案。
根据题意我们可得到完成项目的总费用:
W=6*6TA1+6*6*TA2+6*6*TA3+6*sA+6*7*TB1+6*7*TB2+6*7*TB3+7*sB+6*6.4*TC1+6*6.4*TC2+6*6.4*TC3+6.4*sC+6*7.8*TD1+6*7.8*TD2+6*7.8*TD3+7.8*sD;
根据题中内容：
假设工程师在每6个月中只能被安排一个项目，所有项目要求只能在18个月内完成。
则其约束条件为：
6*TA1+6*TB1+6*TC1+6*TD1+sA*XA1+sB*XB1+sC*XC1+sD*XD1>18;
6*TA2+6*TB2+6*TC2+6*TD2+sA*XA2+sB*XB2+sC*XC2+sD*XD2>12;
6*TA3+6*TB3+6*TC3+6*TD3+sA*XA3+sB*XB3+sC*XC3+sD*xD3>30;
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<18;
6*TB1+6*TB2+6*TB3+sB<18;
6*TC1+6*TC2+6*TC3+sC<18;
6*TD1+6*TD2+6*TD3+sD<18;
sA，sB，sC，sD<=6;
利用我们所学有关规划模型的知识和高数知识可以建立具体的规划模型。
5.1.2问题一模型的建立根据问题的分析，建立具体的规划模型：
Min=36*TA1+36*TA2+36*TA3+6*sA+42*TB1+42*TB2+42*TB3+7*sB+38.4*TC1+38.4*TC2+38.4*TC3+6.4*sC+46.8*TD1+46.8*TD2+46.8*TD3+7.8*sD;
6*TA1+6*TB1+6*TC1+6*TD1+sA*XA1+sB*XB1+sC*XC1+sD*XD1>18;
6*TA2+6*TB2+6*TC2+6*TD2+sA*XA2+sB*XB2+sC*XC2+sD*XD2>12;
6*TA3+6*TB3+6*TC3+6*TD3+sA*XA3+sB*XB3+sC*XC3+sD*xD3>30;
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<18;
6*TB1+6*TB2+6*TB3+sB<18;
6*TC1+6*TC2+6*TC3+sC<18;
6*TD1+6*TD2+6*TD3+sD<18;
sA<=6;sB<=6;sC<=6;sD<=6;
XA1+XA2+XA3=1;XA1*XA2=0;XA1*XA3=0;
XB1+XB2+XB3=1;XB1*XB2=0;XB1*XB3=0;
XC1+XC2+XC3=1;XC1*XC2=0;XC1*XC3=0;
XD1+XD2+XD3=1;XD1*XD2=0;XD1*XD3=0;
问题一模型的求解算法与步骤详见附录一。
此规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：
Objectivevalue:
396.0000
VariableValueReducedCost
TA10.0000000.000000
TA22.0000000.000000
TA30.0000000.000000
SA6.0000000.000000
TB12.0000000.000000
TB20.0000000.000000
TB30.0000000.000000
SB6.0000000.000000
TC10.0000000.000000
TC20.0000000.000000
TC32.0000000.000000
SC6.0000000.000000
TD10.0000000.000000
TD20.0000000.000000
TD30.0000000.000000
SD6.0000000.000000
XA10.0000000.000000
XB11.0000000.000000
XC10.0000000.000000
XD10.0000000.000000
XA20.0000000.000000
XB20.0000000.000000
XC20.0000000.000000
XD20.0000000.000000
XA31.0000000.000000
XB30.0000000.000000
XC31.0000000.000000
XD31.0000000.000000
由此我们得到了我们的全局最优解，即完成所有项目的总费用396KRMB）。
最优解分配方案：
项目
工程师
1
2
3
A
0
2
1
B
3
0
0
C
0
0
3
D
0
0
1
表中的数为每个工程师干某个项目的时期数
5.1.4问题一结果的分析及验证
总费用：
w=6*6*3+6*7*3+6*6.4*3+6*7.8*1=396K（RMB）w符合最优解。
我们注意到，四个工程师中4的工资是最高的，在安排时应减少其的工期，才能尽量降低总费用。
5.2问题二模型建立与求解
5.2.1问题二的分析问题二中,由于工程师1在时期2内没有时间,求出在问题一的基础上加上这个条件后,完成所有项目所需总费用最小,我们可以列出问题的目标函数,即完成项目的总费用W=6*6TA1+6*6*TA2+6*6*TA3+6*sA+6*7*TB1+6*7*TB2+6*7*TB3+7*sB+6*6.4*TC1+6*6.4*TC2+6*6.4*TC3+6.4*sC+6*7.8*TD1+6*7.8*TD2+6*7.8*TD3+7.8*sD;
在问题一建立的模型的基础上改变一个约束条件：
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<12;
5.2.2问题二模型的建立
根据问题分析，建立出具体的规划模型为：
Min=36*TA1+36*TA2+36*TA3+6*sA+42*TB1+42*TB2+42*TB3+7*sB+38.4*TC1+38.4*TC2+38.4*TC3+6.4*sC+46.8*TD1+46.8*TD2+46.8*TD3+7.8*sD;
6*TA1+6*TB1+6*TC1+6*TD1+sA*XA1+sB*XB1+sC*XC1+sD*XD1>18;
6*TA2+6*TB2+6*TC2+6*TD2+sA*XA2+sB*XB2+sC*XC2+sD*XD2>12;
6*TA3+6*TB3+6*TC3+6*TD3+sA*XA3+sB*XB3+sC*XC3+sD*xD3>30;
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<12;
6*TB1+6*TB2+6*TB3+sB<18;
6*TC1+6*TC2+6*TC3+sC<18;
6*TD1+6*TD2+6*TD3+sD<18;
sA<=6;sB<=6;sC<=6;sD<=6;
XA1+XA2+XA3=1;XA1*XA2=0;XA1*XA3=0;
XB1+XB2+XB3=1;XB1*XB2=0;XB1*XB3=0;
XC1+XC2+XC3=1;XC1*XC2=0;XC1*XC3=0;
XD1+XD2+XD3=1;XD1*XD2=0;XD1*XD3=0;
问题二模型的求解算法与步骤详见附录二。
此规划模型我们采用Lingo软件来求解,结果如下：
Objectivevalue:
406.8000
VariableValueReducedCost
TA10.0000000.000000
TA20.0000000.000000
TA31.0000000.000000
SA6.0000000.000000
TB10.0000000.000000
TB22.0000000.000000
TB30.0000000.000000
SB6.0000000.000000
TC12.0000000.000000
TC20.0000000.000000
TC30.0000000.000000
SC6.0000000.000000
TD10.0000000.000000
TD20.0000000.000000
TD31.0000000.000000
SD6.0000000.000000
XA10.0000000.000000
XB10.0000000.000000
XC10.0000000.000000
XD11.0000000.000000
XA20.0000000.000000
XB20.0000000.000000
XC20.0000000.000000
XD20.0000000.000000
XA31.0000000.000000
XB31.0000000.000000
XC31.0000000.000000
XD30.0000000.000000
我们得到了我们的全局最优解，即完成所有项目的总费用为406.8K（RMB）。
此时工程师的安排情况如下：
项目
工程师
1
2
3
A
0
0
2
B
0
2
1
C
2
0
1
D
1
0
1
表中的数为每个工程师干某个项目的时期数
这种分配方案导致了最优解的改变,总费用增加了10.8K（RMB）。
第二时期缺少工程师1，被2.3.4三位做了。
5.2.4问题二结果的分析及验证
总的费用W=6*6*2+6*7*3+6*6.4*3+6*7.8*2=406.8K（RMB）W符合最优解。
符合最优解。
由于工期2中1的缺席，导致对丁的使用增加从而使得费用增加10.8K（RMB）。
w符合求解结果。
如果考虑通过给工程师加薪和赔偿违约金的方式召回工程师1，那么总费用不能超过10.8K（RMB），否则不给予召回。
5.3问题三模型建立与求解
5.3.1问题三的分析问题三中，由于个性冲突，工程师2和3不能同时在一个项目中工作，要求在这个条件下完成所有项目所需总费用最小的分配方案。
如果使2和3不冲突，那么他们工作的时期总数不能超过3，否则将会有一个时期同时工作一个项目。
因此加入约束条件：
TB1+TC1<=3;XB3+XC3<=1;
TB2+TC2<=3;XB2+XC2<=1;
TB3+TC3<=3;XB1+XC1<=1;
5.3.2问题三模型的建立
Min=36*TA1+36*TA2+36*TA3+6*sA+42*TB1+42*TB2+42*TB3+7*sB+38.4*TC1+38.4*TC2+38.4*TC3+6.4*sC+46.8*TD1+46.8*TD2+46.8*TD3+7.8*sD;
6*TA1+6*TB1+6*TC1+6*TD1+sA*XA1+sB*XB1+sC*XC1+sD*XD1>18;
6*TA2+6*TB2+6*TC2+6*TD2+sA*XA2+sB*XB2+sC*XC2+sD*XD2>12;
6*TA3+6*TB3+6*TC3+6*TD3+sA*XA3+sB*XB3+sC*XC3+sD*xD3>30;
6*TA1+6*TA2+6*TA3+sA<18;
6*TB1+6*TB2+6*TB3+sB<18;
6*TC1+6*TC2+6*TC3+sC<18;
6*TD1+6*TD2+6*TD3+sD<18;
TB1+TC1<=3;TB2+TC2<=3;TB3+TC3<=3;
XB3+XC3<=1;XB2+XC2<=1;XB1+XC1<=1;
sA<=6;sB<=6;sC<=6;sD<=6;
XA1+XA2+XA3=1;
XB1+XB2+XB3=1;
XC1+XC2+XC3=1;
XD1+XD2+XD3=1;
5.3.3问题三模型的求解算法与步骤详见附录三。
此规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：
Objectivevalue:
396.0000
VariableValueReducedCost
TA11.0000000.000000
TA21.0000000.000000
TA30.0000000.000000
SA6.0000000.000000
TB12.0000000.000000
TB20.0000000.000000
TB30.0000000.000000
SB6.0000000.000000
TC10.0000000.000000
TC20.0000000.000000
TC32.0000000.000000
SC6.0000000.000000
TD10.0000000.000000
TD20.0000000.000000
TD30.0000000.000000
SD6.0000000.000000
XA10.0000000.000000
XB10.0000000.000000
XC10.0000000.000000
XD10.0000000.000000
XA20.0000000.000000
XB21.0000000.000000
XC20.0000000.000000
XD20.0000000.000000
XA31.0000000.000000
XB30.0000000.000000
XC31.0000000.000000
XD31.0000000.000000
我们得到了全局最优解,完成所有项目的总费用为396K（RMB）。
此时工程师的安排情况如下：
项目
工程师
1
2
3
A
1
1
1
B
2
1
0
C
0
0
3
D
0
0
1
表中的数为每个工程师干某个项目的时期数
从运算出来的结果我们知道,乙与丙的性格冲突并未造成损失。
5.3.4问题三结果的分析及验证
总费用W=6*6*3+6*7*3+6*6.4*3+6*7.8*1=396K（RMB）W符合最优解。
由表格中的安排方案我们知道，2、3未被安排到同一个项目工作中，符合题目要求。
5.4问题四模型建立与求解
5.4.1问题四的分析问题四中，由于项目A能够在六个月内完成，则公司将发20K（RMB）的奖金，在此情况下求工资最小分配方案。
此问题在问题一的基础上增加了一个约束条件即项目A的完成时期必须在一个时期内。
在求解该问题的过程中，无论项目A在哪个时期完成，至少需要3个工程师参加工作。
就是说项目A中工程师1、2、3、4的时期不能多于1。
因此加入约束条件：
TA1<=1;
TB1<=1;
TC1<=1;
TD1<=1;
TA1+TB1+TC1+TD1=3;
5.4.2问题四模型的建立
Min=36*TA1+36*TA2+36*TA3+6*sA+42*TB1+42*TB2+42*TB3+7*sB+38.4*TC1+38.4*TC2+38.4*TC3+6.4*sC+46.8*TD1+46.8*TD2+
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