解三角形测试题.docx
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解三角形测试题
解三角形测试题
2018年10月06日138****0940的高中数学组卷
一•选择题（共25小题）
1.已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且丨+:
二「,
bcy/SsirC
则b的值为（）
A.二B.2二C.竺二D.-
2
2.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若
--:
-：
.'r..1.-：
■■」_'+「.「「，则角A等于（）
A.一B.一C.—D.卫丄
6336
3.△ABC中的内角A、B、C的对边分别别为a、b、c,若
（a-c）（sinA+sinC）=sinB，则/C=（）
A.一B.一C.—D.—
3462
4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知厂一■■-.：
，且;「二,
则厶ABC的面积为（）
A.一-丨B.C.4D.2
5.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,6若（b-c）（sinB+sinC）=a
（sinA+sinC）,则角B等于（）
A.B.C.D.—
6336
则的值为（）
bsinB
A」B.匚C•:
D.三
2223
9.△ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边且/A=60,若-.；|亠JU
且2sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（）
A.-一B.12C.10+一D.5+—10.已知锐角厶ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A则_H
b
bcosA+acosB=3,则厶ABC外接圆的半径为（）
A.2二B.2匚C.4
D.6
12.已知△ABC的内角
A,B,C的对边分别为a,b,c,满足Q-，且
cosAcosB
b="sinB，贝Ua=（
A.-B.C.
335
）
D.-
3
13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为乙
且"■，则c的最小值是（）
cosB2a+b
A.2B.~C.二D.414.已知锐角三角形ABC角AB、C的对边分别为a、b、c,若b2=a（a+c）,
■
则」：
的取值范围是（）
则C=（）
16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc，且sinB=；cosC，则下列结论中正确的是（）
A.A二三B.c=2a
6
C.C=_D.AABC是等边三角形
2
17.在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B-sin2C
-sin2A=；sinAsinC，则角B的大小为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
18.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,2b,c成等比数列，
a2=b2+c2-be,贝U的值为（）
c
A.-B.二C.-D.』
42168
19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知•-=±acosA-一ccosB+一
且b=2,则a的最小值为（
A三B.三C.
55
20.在△ABC中，角A,B,
cos2442
'用DT-
.
C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的
取值范围为（）
A.（0,]B.[,一―）C.[,]
33263
21.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、则厶ABC的外接圆直径为（）
A.4：
B.5C.5=D.6-
口=（c-a,b）,若n丄口，则角C的大小为（
24.已知△ABC的一个内角为120°,且三边长构成公差为2的等差数列，则△
ABC的面积为（）
A.；B・；C.30「D.157
25.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若△ABC的面积为二c,则ab的最小值为（）
2
A.24B.12C.6D.4
二.解答题（共2小题）
26.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos（B
-）.
（I）求角B的大小；
（U）设a=2,c=3,求b和sin（2A-B）的值.
27.在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB.
（1）证明a2+b2-c2=ab；
（2）求角C和边c.
2018年10月06日138****0940的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共25小题）
1.已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且…—+-」二二亠"「,bc
则b的值为（）
A.二B.2二C.空二D.-
2
［解答】解:
•.•一：
二+=__:
一一,
bc'
•••ccosB+bcosC=-bc=-,
V3cV3
•由正弦定理可得：
sinCcosB+sinBcosC=n“，可得：
sinA=」…-L,V3V3
•••A为锐角，sinA工0,
•••解得：
b=I
故选：
A.
:
■I'..11;':
；.I■：
..11：
，则/C=（）
A.二B.二C.D.
3462
【解答】解：
根据题意，△ABC中，…三，.11：
.■；「:
.I■..ii
由正弦定理可得：
（a-c）（a+c）=（；a-b）b,
变形可得：
a2+b2-c2=「;ab,
在cosC==-,
2ab2
则C亠；
6
故选：
C.
4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知严止％-心養，且--―,
则厶ABC的面积为（）
A.一-丨B.一-】C.4D.2
【解答】解：
由正弦定理',
sinBsinCc2
又c>b,且B€（0,n）,
所以:
6
所以厂—,
故选：
A.
5.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,6若（b-c）（sinB+sinC）=a
（sinA+sinC）,则角B等于（）
【解答】解：
根据题意，△ABC中，若（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA+sinC）,
贝9有（b—c）（b+c）=a（a+c）,
即b—c2=a2+ac，变形可得a2+c2—b2=—ac,
22i2
贝UcosB=_，=—,
2ac2
则B=一;
3
故选：
C.
6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若'川=,
2a+b2
则/C=（）
A<'B<'C'D'
【解答】解：
由:
=■
结合..',可得
sinAsiru>
:
:
:
i11.A"II.?
〕
•C€（0,
故选：
C.
7.在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=,'=2sinAsinB,
3cosC
且b=6,则c=（）
A.2B.3C.4D.6
兀
【解答】解：
△ABC中,A=,b=6,
•a2=b2+c2—2bccosA,
即a2=36+C-6c①;
■2
又-'L-j..=2sinAsinB,cosC
即cosC='=<：
，
2ab2ab
22
•••a+36=4c②;
由①②解得c=4或c=-6（不合题意，舍去）;
c=4.
故选：
C.
8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=ac,a+bc=c+ac,
则的值为（）
bsinB
A.丄B.返C.唾D.込总
2223
【解答】解:
vb2=ac,a2+bc=c2+ac,
222
bc=c+b-a
k2,22k1
•cosA==：
」,
2bc2bc2「
vA€（0,n）,可得：
sinA=^,
2
vb2=ac,
___一可得:
—=—
ab'bsinBasinB
故选：
D.
9.△ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边且/A=60,若:
H斗
且2sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（）
A.二B.12C.10+二D.5+-
【解答】解：
在△ABC中，角A=60,
I2sinB=3sinC，故由正弦定理可得2b=3c,
再由Saabc=-=-bc?
sinA,可得bc=6,
22
--b=3,c=2.
再由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc?
cosA=7,解得：
a=匸.
故三角形的周长a+b+c=5+二,
故选：
A.
10.已知锐角厶ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2AJ则■
b
【解答】解：
根据题意，锐角△ABC中,若B=2A则有B=2A<90°,即Av45
又由Cv90°，则A+B=3A>90°，即A>30°,
综合可得：
30°vAv45
若B=2A则
-九_二1二上二］1「上.一二一〔4二:
.=.二二.-.上=丨tanA
bsinBsin2A2cosA2
又由30°vAv45°,
则仝vmv-
6b2?
即二兰的值范围是（•，I）；故选：
D.
11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosC=1:
4
bcosA+acosB=3,则厶ABC外接圆的半径为（）
A.2=B.2「C.4D.6
【解答】解：
根据题意，设△ABC外接圆的半径为R,
则有J===2R贝Ua=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
sinAsinBsinC
△ABC中,bcosA+acosB=3
则bcosA+acosB=2R（sinBcosA+sinAcosB）=2Rsin（B+A=2RsinC=c，艮卩c=3,
又由cosC=，则sinC=•,
44
则有2R==丄=12,即R=6;
sinC丄
4
故选：
D.
12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足一二—=，且
cosAcosB
b="sinB，贝Ua=（
）
A.「B.
2
C.
D.-
3
3
5
3
【解答】解
:
2a.
=，可得：
2acosB=3ccosA-2bcosA,
cosA
cosB
•••由正弦定理可得：
2sinAcosB=3sinCcosA-2sinBcosA，可得3sinCcosA=2
（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC,
sinC工0,可得：
cosA=,
3
•-sinA="-丄一：
广-,
又Tb=sinB,
故选：
A.
13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为；
且"'■■l：
，：
，则c的最小值是（）
cosB2a+b
A.2B.~C.「D.4
•整理可得：
cosBsinC+sinBcosC=-2sinAcosC,
•由已知及正弦定理，可得:
cosB2sinA+sinB
•••由A+B+Cn，得sinA=sin（B+C,可得sinA=-2sinAcosC,
■/sinA丰0,
cosC二—亠
2
•••OvC3
•△ABC的面积为S\=丄absinC=——ab=;，解得ab=4,
24
•••由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab,
•••a2+b2>2ab,当仅当a=b时取等号，
•c2>3ab=12，即c>2二，故c的最小值是2二.故选：
C.
14.已知锐角三角形ABC角AB、C的对边分别为a、b、c,若b2=a（a+c）,
则十的取值范围是（）
【解答】解：
由b2=a（a+c）,
利用余弦定理，可得：
c-a=2acosB,
利用正弦定理边化角，得：
sinC-sinA=2sinAcosB,
TA+B+Cn,
•sin（B+A）-sinA=2sinAcosB,•sin（B-A）=sinA,
tABC是锐角三角形，
•B-A=A即B=2A
ITTT
•OvBv,vA+B那么：
71AJI
VAV■，
则—T=sinA"，
故选：
B.
则c=（）
【解答】解：
•••△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
2.22
△ABC的面积为''',
4
-c-1,.a+b-c
…*△ABC■百absinC，
2,k2_2
•••sinC=-——:
=cosC,
2ab
•••OvCvn,•C=.
4
故选：
C.
16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc，且sinB=tIcosC，则下列结论中正确的是（）
IT
A.A=B.c=2a
6
C.C=D.AABC是等边三角形
2
【解答】解：
在△ABC中，由a2=b2+c2-bc,
222
另E么cosA='「二,
2bc2
•A=60.
sinB="*=cosC,
•sin（120-C）=■:
cosC
可得：
cosC^sinC=cosC
即tanC=■:
•C=60.
•△ABC是等边三角形.
故选：
D.
-sin2A=二sinAsinC，则角B的大小为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解答】解：
在△ABC中，根据sin2B—sin2C—sin2A二二sinAsinC，禾U用正弦定理可得b2-c2-a2=7ac,
222/~
即c2+a2-b2=-；ac,.°.cosB="=——，二B=150°,
2ac2
故选：
D.
18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,a2=b2+c2-be,贝U的值为（）
c
Abcd
'~~'~8~
【解答】解：
△ABC中,a,2b,c成等比数列，•••4b2=ac,
由正弦定理得，4sin2B=sinAsinC,
a2=b2+c2-bc,
.222.
•b+c-a=bc,
22
由余弦定理得cosA，-J,2bc2bc2
）,
•••A€（0,n）,•sinA=^,
2
•」三亠：
上=.-：
i：
「h=「？
…•「：
I'=1=逬
csinC4sinC428
故选：
D.
19.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
若a,2b,c成等比数列,
-[acosA-]ccosB+,
且b=2,则a的最小值为（）
A「B.「C.D.「
【解答】解：
•••JacosA--ccosB+」，且b=2,
2442
•——-=acosA——ccosB+,可得：
2cosC=5acosA—ccosB,即：
bcosC=5acosA
2442?
'
-ccosB,
二sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得：
sin（B+C=sinA=5sinAcosA,
•••A为三角形内角，sinA>0,可得：
cosA=,
•••由余弦定理可得:
a=「_•：
.「一__上=」宁=!
.'|',
.••可得：
当c=•时，a的最小值为仝.
55
故选：
A.
20•在△ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的
取值范围为（）
A.（0,—]B.[,二）C.[，一]D.（,一]
3326343
22
【解答】解a2+b2=2c2,：
c2^,
22p22
•••由余弦定理得:
cosC=」「=「一》小=「（当且仅当a=b时取等号），
2ab4ab2
•••ovc<_L
3
故选：
A.
21.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a=1,B=45,S^abc=2,则厶ABC的外接圆直径为（）
A.4二B.5C.5^D.6匚
【解答】解：
Ta=1,B=45,S^ab（='acsinB==y「宁二'=2,
2乙u4
•可得：
c=4■:
vb2=a2+c2-2accosB=1+32-8「X」=33-8=25,可得：
b=5,
2
b5厂
•2R=H〒=5.
故选：
C.
n=（c-a,b）,若it丄门，则角C的大小为（）
A.一B^—C.一D.—
3366
【解答】解；’••向量7=（a+c,a-b）,n=（c-a,b）,且匚丄；
•i■r=0,即（a+c）（c-a）+（a-b）b=0,
整理化简可得，a2+b2-c2=ab,
在厶ABC中，由余弦定理可得，
2丄「22k厲
cosC=「=：
J,
2ab2ab2
又•••0vAvn,
•••A==
3
故选：
A.
23.锐角△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边，若a2+b2=5c2，贝UcosC的
取值范围为（）
郞普）D•［苏“
【解答】解：
不妨将c看作定值，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴,
建立直角坐标系，
则A（—,0）,B（,0）,设C（x,y）,
x2+y2=c2;
4
•••点C在以（0,0）为圆心,c为半径的圆上,
二
又厶ABC是锐角三角形,当C在y轴上时,
2o2r
aC=bC=〒；+：
¥：
=c2,
当CBLAB时，代入B（£,0）,•••C（£,）,
22
•••BC==c,
AC=c2+2c2=3c2,即卩AC=_；c,
•cosC==丄^（取不到），
AC3
则cosC的取值范围为［-,「），
53
故选：
C.
24.已知△ABC的一个内角为120°,且三边长构成公差为2的等差数列，则△
ABC的面积为（）
A.严甘二B•手门C.30二D.15二
【解答】解：
设三角形的三边分别为x-2,x,x+2,
则cos120。
」’=-1,
2x（x^2）2
解得x=5,
所以三角形的三边分别为：
3,5,7
则厶ABC的面积S=x3X5sin120°=-.
24
故选：
A.
25.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若△
ABC的面积为c,则ab的最小值为（）
A.24B.12C.6D.4
【解答】解：
•••a2+b2-c2-ab=0,
•••丄absinC=^^c,
22
•lab?
〔二〔c,
222
•c=1ab,
2
代入已知式子可得a2+b2-（ab）2-ab=O,
4
222
•（ab）+ab=a+b>2ab,
4
整理可得（ab）2-4ab>0,
解关于ab的不等式可得ab>4,或ab<0（舍去）,
当且仅当a=b=2时取到等号，
•ab的最小值为4,
故选：
D.
•解答题（共2小题）
）.
（I）求角B的大小;
（U）设a=2,c=3,求b和sin（2A-B）的值.
又B€（0,n）,•B』.
3
（口）在厶ABC中,a=2,c=3,B#,
由余弦定理得b=一..「--=",由bsinA=acos（B-亍），得sinA=-—
•••avc,：
cosA二-,
V7
•••sin2A=2sinAcosA=
7
cos2A=2cos2A-1=,
7
•sin（2A—B）=sin2AcosB-cos2AsinB=「=一
727214
27.在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2（sin2A
2
—sinC）=（a—b）sinB.
（1）证明a2+b2—c2=ab；
（2）求角C和边c.
【解答】证明：
（1）v在厶ABC中，角ABC对应边a、b、c,外接圆半径为
1,
sinAsinBminC
•sinA==,sinB=^,sinC=
•由正弦定理得：
.=2R=2
222
■/2（sin2A—sin2C）=（a—b）sinB,
•2（1:
）=（a-b）?
化简，得：
a2+b2—c2=ab,
故a2+b2—c2=ab.
解：
（2）va2+b2—c2=ab,
解得cJ,
•c=2sinC=2?
2.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若
：
■；''..11..:
.：
H'.ii：
:
则角A等于（）
A.一B.工C.—D.二
6336
【解答】解:
•三I'••I上’；•.：
.：
：
!
'.ii：
:
（a-b）（a+b）=c（c+b）,
•a2-c2-b2=-;be,
由余弦定理可得cog］」=「，•A是三角形内角,•A=
故选：
D.
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