实际问题与一元一次方程.docx
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实际问题与一元一次方程
实际问题与一元一次方程
------油菜种植的计算
教学目标：
1、知识与技能：
探索实际问题中的数量关系，能根据等量关系列出方程，解释问题的合理性．
2、过程与方法：
能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设恰当的未知数，列方程表示问题中的相等关系，体会建立数学模型的思想。
3、情感与态度：
培养学生勤于思考、乐于探究、敢于发表自己观点的学习习惯，从实际问题中体验数学的价值，提高分析问题、解决问题的能力。
教材分析：
在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，本节课主要进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。
本节课主要讲授油菜种植问题，涉及农业产量一些基本概念，通过去今两年产量数值大小的比较，可以知道选育农作物品种的重要性。
本节的重点是建立实际问题的方程模型，通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际生活，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点。
突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
一元一次方程是本册书的重点内容，而一元一次方程应用题是本章的重点和难点。
一元一次方程应用题是应用题的基础，如何分析数量关系、如何设未知数，利用等量关系列方程，为我们以后学习二元一次方程组应用题和一元一次不等式（组）应用题奠定了基础。
教学重点：
进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
教学难点：
列一元一次方程解应用题，将实际问题转化为数学问题．
教学流程：
一、创设情境，引入新课。
同学们。
你知道你家今年种植了几亩油菜？
你能帮你父母算一算你家今年种植油菜的收入吗？
我们今天就用一元一次方程来解决身边的实际问题－－油菜种植的计算。
板书课题：
§3.4 实际问题与一元一次方程-----油菜种植的计算
二、新知探究
探究2：
油菜种植的计算
某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率40％，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．
（1）今年与去年相比，这个村油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20％，今年油菜种植面积是多少亩？
（2）油菜种植成本为210元/亩，油菜收购价为6元/千克，请比较这个村去今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入。
问题1：
你能找到探究中的等量关系吗？
数量关系
设今年种植油菜x亩
种植面积（亩）
亩产量（千克/亩）
含油量（%）
产油量（千克）
去年
x+44
160
40%
160×40%×（x+44）
今年
x
160+20
40%+10%
（160+20）（40%+10%）x
问题2：
你能找到探究中的等量关系吗？
等量关系
1、产油量=油菜籽亩产量×含油量×种植面积
2、去年产油量×（1+20%）=今年产油量
解:
（1）设今年种植的油菜x亩，则可以列式表示去今年两年的产油量（单位：
千克）．
去年产油量＝160×40％×（x＋44），
今年产油量＝（160＋20）×（40％＋10%）×x．
根据今年比去年产油量提高20％，列出方程
160×40％×（x＋44）×（1＋20％）＝（160＋20）×50％×x．
解得 x＝256
所以今年油菜种植面积是256亩。
（2）去年油菜种植成本为:
210（x＋44）＝63000（元），
售油收入为:
6×160×40％（x＋44）＝115200（元），
售油收入与油菜种植成本的差为：
115200－63000＝52200（元）．
今年油菜种植成本为:
210x＝53760（元），
售油收入为:
6×180×50％×x＝138240（元），
售油收入与油菜种植成本的差为：
138240－53760＝84580（元）．
所以两年相比，今年的油菜种植成本减少，售油收入增加。
例题变式：
（3）为了增加农民收入，调动农民种植油菜的积极性，政府决定投入资金，从明年开始，种植油菜每亩补助20元。
该村明年计划扩大油菜种植面积，继续改种新选育的油菜籽，油菜种植成本仍为210元/亩，菜油收购价仍为6元/千克，村榨油厂将本村所产的油菜籽全部榨油售出，售油收入为216000元。
假如你是政府工作人员，请你为政府预算明年对该村投入资金多少元？
解:
设这个村明年计划种植油菜y亩，由题意列方程，得
（160+20）y×（40%+10%）=2160000
解这个方程，得
y=400
政府明年对该村投入资金为：
20y=8000（元）
答：
政府明年对该村投入资金为8000元。
2、补充例题
稻 谷
农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和Ⅱ号两种新型良种稻谷。
在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号稻谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高。
已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克。
（1）当Ⅱ号稻谷国家的收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
（2）2005年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理，收获后，小王把稻谷全部卖给国家，卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王2005年卖给国家的稻谷共有多少千克？
分 析:
（1）设当Ⅱ号稻谷的国家收购价是x元/千克时,收入相同,假定种植Ⅰ号的产量是a千克,则种植Ⅰ号稻谷的收入为1.6a元，种Ⅱ号稻谷的收益为（1－20%）ax元，
等量关系是：
种植Ⅰ号稻谷的收入=种Ⅱ号稻谷的收入
（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷为y千克
数量关系
单价（元/千克）
产量（千克）
收入（元）
Ⅰ号稻谷
1.6
y
1.6y
Ⅱ号稻谷
2.2
（1-20%）y
2.2（1-20%）y
等量关系
卖Ⅱ号稻谷的收入=卖Ⅰ号稻谷的收入＋1040
解:
（1）设Ⅱ号稻谷的国家收购价是x元/千克,假定Ⅰ号稻谷的产量是a千克，由题意列方程，得
（1－20%）ax=1.6a
解这个方程，得
x=2
（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷为y千克，由题意列方程，得
2.2（1－20%）y=1.6y＋1040
解这个方程，得
y=6500
Ⅱ号稻谷的产量为：
（1－20%）y=（1－20%）×6500=5200（千克）
卖给国家稻谷的总产量为：
6500＋5200=11700（千克）
答:
（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元/千克时，种植稻谷的收益相同。
（2）卖给国家稻谷共有1170千克。
例题变式：
（3）在第
（2）的基础上，若条件不变，结论变为：
小王2005年卖Ⅰ、Ⅱ号稻谷共收入多少元？
解:
2.2（1－20%）y+1.6y=21840（元）
答:
小王2005年卖Ⅰ、Ⅱ号稻谷共收入21840元。
三、创新练习
植 树 种 草
近年来，由于土地沙漠化日渐加剧，沙尘暴频繁严重影响国民生活。
为了防沙治沙，政府决定投入资金，经测算，植树一亩需资金200元，种草一亩需资金100元，某组农民计划在一年内完成2400亩绿化任务，在实施中，由于实际情况所限，植树完成计划的90%，种草超额完成计划的20%，恰好完成了计划的绿化任务，那么所节余的资金还能植树多少亩？
数量关系
计划（亩）
实际（亩）
植树
x
90%x
种草
2400－x
（1+20%）×（2400－x）
等量关系
植树实际亩数+种草实际亩数=2400
解:
设农民原计划植树x亩,则原计划种草（2400－x）亩,由题意列方程,得
90%x＋（1+20%）（2400－x）=2400
解这个方程,得
x=1600
完成原计划的绿化任务需资金为:
200x+100（2400－x）=200×200+100×800=400000（元）
完成实际的绿化任务需资金为:
200×90%x+100×（1+20%）×（2400－x）=384000（元）
节余资金可植树:
（400000－384000）÷200=80（亩）
答:
所节余的资金还能植树80亩。
四、归纳小结
本课通过对结论不确定问题的探索，初步学习了对一元一次应用题间接设未知数的方法和对不同情况进行分类讨论的方法，学会了对较复杂问题逐层分析、层层推进的解题策略，感受数学的应用价值。
五、布置作业
习题3.4 第5、6题
六、课后反思
通过本节课的学习，同学们初步体会了建立数学模型的思想，感受了数学的应用价值。
能准确找出一些简单的数量关系和相等关系，设未知数列出方程，但对于有些应用题，题目较长，数量关系比较隐蔽，相等关系比较复杂，仍然不能准确的列出方程。
今后，应加强应用题的练习，培养数学建模意识，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
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