244 直线与圆的位置关系课时3.docx

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244直线与圆的位置关系课时3

简单

1、如果，⊙O是△ABC的外接圆，直线EF切⊙O于点A，点F与点B在同侧，若∠BAF＝40°，则∠C等于（　　）

A．20°B．40°C．50°D．80°

【分析】由弦切角定理“弦切角等于它所夹的弧对的圆周角”，可求得∠C＝∠BAF＝40°．

【解答】∵线EF切⊙O于点A，∠BAF＝40°，

∴∠C＝40°（弦切角等于它所夹的弧对的圆周角）．

故选B．

2、如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（　　）

A．70°B．64°C．62°D．51°

解答：

连接OC．

则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．

∴∠CAO＝∠BAO．

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB．

∵BD＝OB，

∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．

∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝1/3×78°＝26°．

∠ADO＝180°－∠ABD－∠DAB＝180°－90°－26°＝64°．

故选B．

3、l1、l2表示直线，给出下列四个论断：

①l1∥l2；②l1切⊙O于点A；③l2切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为（）

A、1B、2C、3D、4

第一种情况：

①②③→④∵l1切⊙O于点A，l2切⊙O于点B∴OA⊥l1，OB⊥l2又∵l1∥l2∴OA⊥l2

∴OA、OB为在同一条上∴AB是⊙O的直径命题成立；

第二种情况：

①②④→③∵l1切⊙O于点A∴OA⊥l1，

∵AB是⊙O的直径；l1∥l2∴AB⊥l2

即l2切⊙O于点B命题成立；

第三种情况：

①③④→②同第二种情况；命题成立

第四种情况：

②③④→①．

∵l1切⊙O于点A，l2切⊙O于点B∴OA⊥l1，OB⊥l2又∵AB是⊙O的直径∴l1∥l2命题成立．故答案为D

4、如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移5个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关是（）．

A．内含B．内切C．相交D．外切

当⊙A向右平移1个单位时，圆心距A′B＝1，而两圆半径之差等1，

所以，两圆内切，如下图所示：

故选B．

5、如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC＝45°，AB＝2，则⊙O的面积为（）．

A．2πB．4πC．

πD．π

【解答】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，

∵∠BAC＝∠BDA＝45°，∠ABD＝90°

∴BD＝AB＝2，

AD2＝BD2＋AB2＝22＋22＝8；

∵OD＝OA＝

∴⊙O的面积＝π（

）2＝2π．

故选A

6、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB═（）．

A．15°B．30°C．45°D．20°

【分析】连接OC，BC．由切线的性质，可得则OC⊥CD，圆周角定理的推论，∠ACB＝90°．由BD＝OB，可证△OBC是等边三角形，进而得到答案．

【解答】连接OC，BC．

∵CD是切线，

∴OC⊥CD．

∵BD＝OB，

∴BC＝OB＝OC．

∴∠ABC＝60°．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝30°

故选B

7、如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是⊙O上一点（点B与点A、C不重合），若∠APC＝32°，∠ABC＝（）．

A．29°B．151°C．29°或151°D．32°或148°

【分析】本题因为B的位置不确定，所以要分两种情况讨论，分别求出∠ABC的度数即可

【解答】连接OA，有两种情况（如图所示）

①当B在优弧ABC时，

∵PA与与⊙O相切，

∴∠PAO＝90°

∴∠POA＝90°－∠APO＝90°－32°＝58°

∴在⊙O中，

∠ABC＝1/2∠POA＝29°

②当B在劣弧AC上时，

∵四边形ABCB′是⊙O的内接四边形，

∴∠AB′C＝180°－∠ABC＝151°

所以∠ABC＝29°或151°

故选C

8、圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB＝α，则∠APB＝（　　）

A．180°－αB．90°－αC．90°＋αD．180°－2α

【分析】连结OA、OB，如图，先根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和可得∠AOB＝180°－∠P，接着根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝2α，所以2α＝180°－∠P，然后用α表示∠P即可．

【解答】连结OA、OB，如图，

∵PA、PB分别切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠AOB＝180°－∠P，

∵∠AOB＝2∠ACB＝2α，

∴2α＝180°－∠P，

∴∠P＝180°－2α．

故选D．

9、如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是______cm．

A.

B．8C．4D．

B.如图，连接OB、OA，则∠OBA＝90°．

∵AB、AC分别切⊙O于B、C，

∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAO＝1/2∠BAC＝30°．

∴OA垂直平分BC．

在Rt△OBD中，BD＝1/2BC＝4cm，∠BOD＝60°，

∴OB＝BD÷sin60°＝

．

故⊙O的直径是

cm．

故选D

10、如图，一圆内切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（　　）

A．32B．34C．36D．38

【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．

【解答】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，

所以四边形的周长＝2×（7＋10）＝34．

故选：

B．

11、如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（　　）

A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．PA2＝PC·PO

【分析】由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．

【解答】连接OA、OB，AB，

∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，

由切线长定理知，∠1＝∠2，PA＝PB，

∴△ABP是等腰三角形，

∵∠1＝∠2，

∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），

故A，B，C正确，

根据切割线定理知：

PA2＝PC·（PO＋OC），因此D错误．

故选D．

12、两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（　　）

A．矩形B．等腰梯形

C．矩形或等腰梯形D．菱形

【分析】首先作出图形，则满足切线长定理，再结合矩形与等腰梯形的判定方法即可作出判断．

【解答】∵TA，TC是圆O的切线．

∴TA＝TC，

∴∠TAC＝∠TCA，

同理，∠TDB＝∠TBD，

又∵∠ATC＝∠BTD，

∴∠TAC＝∠TBD，

∴AC∥BD，

当TA＝TB时，TA＝TC＝TB＝TD，则四边形ACBD是矩形．

当TA≠TB时，AB＝CD，则四边形ACBD是等腰梯形，

故选C．

13、已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB＋CD与BC的大小关系是（　　）

A．大于B．等于C．小于D．不能确定

【分析】连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．

【解答】连接OF，

∵AD是切线，

∴OF⊥AD，

又∵AD∥BC，

∴AB≥OF，CD≥OF，

又∵AD＜BC，

∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．

∴AB＋CD＞2OF，

∵BC＝2OF，

∴AB＋CD＞BC．

故选A，

14、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（　　）

A．5B．7C．8D．10

【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，所以△PCD的周＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，故可求得三角形的周长．

【解答】∵PA、PB为圆的两条相交切线，

∴PA＝PB，

同理可得：

CA＝CE，DE＝DB．

∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，

∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，

∴△PCD的周长＝10，

故选D．

难

1、

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．80°B．110°C．120°D．140°

连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），

连接BD，AD，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∠P＝40°，

∴∠AOB＝360°－（∠OAP＋∠OBP＋∠P）＝140°，

∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对弧AB，

∴∠ADB＝1/2∠AOB＝70°，

又四边形ACBD为圆内接四边形，

∴∠ADB＋∠ACB＝180°，

则∠ACB＝110°．

故选B

2、一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（　　）

A．50cmB．25

cmC．25cmD．50

cm

∵圆与V形架的两边相切，

∴△OMP是直角三角形中∠OPN＝1/2∠MPN＝30°，

∴OP＝2ON＝50cm．

故选A．

3、如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG＝

－1，则△ABC的周长为（　　）

A．4＋2

B．6C．2＋2

D．4

【分析】首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE＝r，由OB＝

OE＝

r，可得方程：

－1＋r＝

r，解此方程，即可求得答案．

【解答】连接OD，OE，

∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，

∴∠C＝∠OEB＝∠OEC＝∠ODC＝90°，

∴四边形ODCE是矩形，

∵OD＝OE，

∴四边形ODCE是正方形，

∴CD＝CE＝OE，

∵∠A＝∠B＝45°，

∴∠EOB＝∠EBO＝45°，

∴OE＝EB，

∴△OEB是等腰直角三角形，

设OE＝r，

∴BE＝OE＝OG＝r，

∴OB＝OG＋BG＝

－1＋r，

∵OB＝

OE＝

r，

∴

－1＋r＝

r，

∴r＝1，

∴AC＝BC＝2r＝2，AB＝2OB＝2×（1＋

－1）＝2

．

∴△ABC的周长为：

AC＋BC＋AB＝4＋2

．

故选A．

4、如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝

度．

A．23B．46C．44D．22

试题分析：

因为PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，则∠PAO＝∠PBO＝90°，∠P＝46°，则∠AOB＝134°，则∠COB＝46°，AC是⊙O的直径，则∠BAC＝23°.

故选A

5/、如图，已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO＝13cm，△PDE的周长为24cm，∠APB＝40°，求：

（1）⊙O的半径；

（2）∠EOD的度数．

A．

（1）5cm；

（2）70°

B．

（1）10cm；

（2）80°

C．

（1）5cm；

（2）80°

D．

（1）10cm；

（2）70°

（1）连接OB，

∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，

∴OB⊥PB，PB＝PA，BD＝CD，CE＝AE，

∴△PDE的周长为：

PD＋DE＋PE＝PD＋DC＋CE＋PE＝PD＋BD＋AE＋PE＝PB＋PA＝2PB＝24cm，

∴PB＝PA＝12cm，

在Rt△PBO中，OB2＝OP2－PB2＝25OB＝5（cm），

即⊙O的半径为5cm；

（2）连接OB，OA，

∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，

∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOD＝∠COD＝

∠BOC，∠COE＝∠AOE＝

∠AOC，

∵∠APB＝40°，

∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝140°，

∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝

（∠BOC＋∠AOC）＝

∠BOC＝70°．

故选A

6、PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）．

【解答】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E

∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，

∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋PD＋DB＝PA＋PB＝3r，

故选D

7、如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，CM⊥MN，BN⊥MN，如果AM＝a，BN＝b，那么半圆的半径是．

A．

B．2a－bC．a＋bD．a－b

【分析】根据切线的性质，只需连接OC．根据切线的性质定理以及平行线等分线段定理得到梯形的中位线，再根据梯形的中位线定理进行计算即可．

【解答】连接OC，则OC⊥MN．

∴OC∥AM∥BN，

又OA＝OB，

则MC＝NC．

根据梯形的中位线定理，得该半圆的半径是

．

故选A

8、如图半径为3cm的⊙O切AC于B，AB＝3cm，BC＝

cm，则∠AOC的度数是______度．

A．60B．75C．90D．105

连接OB，则OB⊥AC，

根据tan∠AOB＝OB：

AB＝1，tan∠BOC＝BC：

OB＝

，

得∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，

则∠AOC＝75°．

9、已知：

如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：

①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE·FB＝AB·CF．其中正确的只有（　　）

A．①②B．②③④C．①③④D．①②④

【解答】连接OD，DE，EB，

CD与BC是⊙O的切线，由切线定理知：

CD＝BC，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，

∴△CDO≌△CBO，∠COD＝∠COB，

∴∠COB＝∠DAB＝1/2∠DOB，

∴AD∥OC，故①正确；

∵CD是⊙O的切线，

∴∠CDE＝1/2∠DOE，而∠BDE＝1/2∠BOE，

∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，

因此E为△CBD的内心，故②正确；

若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，

∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；

设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，

又∵BE⊥GF，

∴FB＝GB，

由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，

又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，

∴∠BCE＝∠GBA，

而∠CFE＝∠ABF＋∠FAB，∠DGE＝∠ADB＋∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），

∴∠AGB＝∠CFE，

∴△ABG∽△CEF，

∴CE·GB＝AB·CF，

又∵FB＝GB，

∴CE·FB＝AB·CF

故④正确．

因此正确的结论有：

①②④．

故选D．

10、如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．

（1）求∠POA的度数；

（2）计算弦AB的长．

A．

（1）60°；

（2）2

B．

（1）60°；

（2）4

C．

（1）30°；

（2）2

D．

（1）30°；

（2）4

【分析】

（1）根据PA与⊙O相切于A点可知，OA⊥AP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；

（2）根据直角三角形中∠AOC＝60°，OA＝2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长．

【解答】

（1）∵PA与⊙O相切于A点，

∴△OAP是直角三角形，

∵OA＝2，OP＝4，

∴cos∠POA＝OA：

OP＝1/2，

∴∠POA＝60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC＝60°，OA＝2，

∴AC＝OA•sin60°＝

．

∵AB⊥OP，

∴AB＝2AC＝2

．

故选A

11、如图，D为圆O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

判断直线CD与圆O的位置关系，并证明；

A．相交B．相切C．相离D．无法判断

【分析】连接OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO＋∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA＋∠ADO＝90°；

【解答】证明：

如图，连OD，OE，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠1＝90°，

又∵∠CDA＝∠CBD，

而∠CBD＝∠1，

∴∠1＝∠CDA，

∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

故选B

12、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC＝2

，求⊙O的半径和线段PB的长；

A．

（1）相等；

（2）3，

B．

（1）不相等；

（2）3，

【解答】

（1）AB＝AC，理由如下：

连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB，

∵∠OPB＝∠APC，

∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝AC；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5－r，

则AB2＝OA2－OB2＝52－r2，

AC2＝PC2－PA2＝（2

）2－（5－r）2，

∴52－r2＝（2

）2－（5－r）2，

解得：

r＝3，

∴AB＝AC＝4，

∵PD是直径，

∴∠PBD＝90°＝∠PAC，

又∵∠DPB＝∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

故选B