中考数学专题复习存在性问题.docx
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中考数学专题复习存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1.如图，把抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k.
点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.
2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，
使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数中面积的存在性问题
3.如图，抛物线y=ax2+bx（a>0）与双曲线y=k相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，写出点D的坐标；若不存在，说明理由．
4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a>0）经过梯形ABCD的四个顶点，
A（－2,0），B（－1,－3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第
（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）
（4）在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说
明理由。
三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
1）求b,c的值；
2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
3）在
（2）的条件下：
①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7．如图，二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A（-1，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C；
2
（1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
六、二次函数中菱形的存在性问题
8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？
若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
七、二次函数中与圆有关存在性问题9.已知：
抛物线y=x2+（1-2m）x-6+4m与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（xx，x10），
12x2它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，
（1）求m的取值范围；
（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由
定值问题：
1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？
如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
1、【答案】解：
（1）∵由平移的性质知，y=（x-h）2+k的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴h=-1，k=-4。
（2）由
（1）得y=（x+1）-4.
当y=0时，（x+1）2-4=0．解之，得x=-3，x=1
∴A（-3，0），B（1，0）.
又当x=0时，y=（x+1）2-4=（0+1）2-4=-3，
∴C点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D（－1，－4），作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E，DF⊥y轴于点F。
易知
在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2，∴AC2＋CD2＝AD2。
∴△ACD是直角三角形。
3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由
（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC=18=32由△AOM∽△ABC，得AO=AM。
即3=AM,AM=92。
ABAC4324
过M点作MG⊥AB于点G，
OG=AO－AG=3－9=3。
又点M在第三象限，所以M（－3，－9）。
4444
a=1
解得b=2。
c=0
2、【答案】解：
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），
4a-2b+c=0
∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得9a-3b+c=3，c=0
∴抛物线的解析式为y=x2+2x。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。
故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。
（3）存在，如图：
∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x>0，y>0，且y=x2+2x，
即x+2=3（x+2x）得：
x1=1，x2=﹣2（舍去）．3
当x=1时，y=7，即P（1，7）。
3939
即：
x+2x=3（x+2）得：
x1=3，x2=﹣2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，79）或（3，15）。
3、【答案】解：
（1）把点B（－2，－2）的坐标代入y=k得，-2=k，∴k＝4。
x-2
∴双曲线的解析式为：
y=4。
x
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴错误!
未找到引用源。
＝4，即m＝4n。
∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。
∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx得，a+b=4，错误!
未找到引用源。
解得，a＝1，b＝3。
4a-2b=-2
∴抛物线的解析式为：
y=x2+3x。
（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入y=x2+3x得方程，x2+3x-4=0，解得x1＝－4，x2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
4.
（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
4a+c=0
a+c=-3
a=1
解之得：
ca==1-4；故y=x2-4为所求
2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
2k+b=0
k=1
b=-2
设BD的解析式为y=kx+b，则有2-kk++bb==0-3故BD的解析式为y=x-2；令x=0,则y=-2，故M（0,-2）
（3）、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由
（2）知，OM=OA=OD=2，AMB=90
易知BN=MN=1，易求AM=22,BM=2
SVABM=222=2；设P（x,x-4），依题意有：
1ADgx2-4=42，即：
14gx2-4=42
解之得：
x=22，x=0，故符合条件的P点有三个：
P1（22,4）,P2（-22,4）,P3（0,-4）
5.
5），
B（4，5），
解答：
解：
（1）由已知得：
A（﹣1，0），B（4，
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），
5），∴直线AB的解析式为：
y=x+1，
∴，解得：
b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：
∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）+，
6.解：
（1）∵当x=0时，y=3当y=0时，x=﹣1∴A（﹣1，0），B（0，3）
∵C（3，0）··························1分
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）∴3=a×1×（﹣3）∴a=﹣1
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=-x2+2x+3·····2分
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1
∵OA=OQ，BO⊥AQ∴AB=QB
∴Q（1，0）··························6分
当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m）
∴22+m2=12+（3﹣m）2
∴m=1
∴Q（1，1）··························8分
当QA=AB时，设Q（1，n）∴22+n2=12+32
∵n>0∴n=6
∴Q（1，6）
∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，6）·10分
11
7、答案：
［解］
（1）根据题意，将A（-1，0），B（2，0）代入y=-x2+ax+b中，得-4-2a+b=0
2-4+2a+b=0
解这个方程，得a=32，b=1，∴该拋物线的解析式为y=-x2+23x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1）。
∴在△AOC中，AC=OA2+OC2=
（1）2+12=5。
在△BOC中，BC=OB2+OC2=22+12=5。
AB=OA+OB=1+2=5，∵AC2+BC2=5+5=25=AB2，∴△ABC是直角三角形。
2244
（2）点D的坐标为（3，1）。
2
（3）存在。
由
（1）知，AC⊥BC。
若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y=-1x+1，直线AP可以看作是由直线
2
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-1x+b，
2
把点A（-1，0）代入直线AP的解析式，求得b=-1，
24
∴直线AP的解析式为y=-12x-14。
∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
∴点P的纵坐标相等，即-x2+3x+1=-1x-1，解得x1=5，
2242
x2=-1（舍去）。
当x=5时，y=-3，∴点P（5，-3）。
222222若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B（2，0）代入直线BP的解析式，求得b=-4，∴直线BP的解析式为y=2x-4。
∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，即-x2+3x+1=2x-4，解得x1=-5，x2=2（舍去）。
22
当x=-5时，y=-9，∴点P的坐标为（-5，-9）。
22
综上所述，满足题目条件的点P为（5，-3）或（-5，-9）。
222
8．解：
（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
．∴设抛物线的解析式为
2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴
若S△ADP=S△ADC，
∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
，即或，
∴C（0，1），∴OC=1，
∴
解得：
．
∴点P的坐标为．
（3）结论：
存在．
∵抛物线的解析式为
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），又∵A（4，0），∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2
∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，
44
∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．
444
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：
t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．
x
9.解：
（1）令y=0，则x2+（1-2m）x-6+m=0∵xx，且10，∴x0，x0
由AB≤6，且xx0，得：
4m-60
5-2m6
3
m<
2
1m³-
2
-1£m<3
2
y=x2+x-6
2）当AB=5时，5-2m=5，∴m=0∴抛物线的解析式为：
2m-1
则OG=1，ON=2m-1
2
②若N在x轴的负半轴上，
由切割线定理：
x轴的正半轴上，
3）N（x3，0）是抛物线与x
，OB=2
OG2=ON·OB∴1=2m2-1·
2∴m=1
则ON=1-22m，OA=3-2m
2+32-3
，m2=∵
222
由切割线定理：
OG2=ON·OA
∴1=1-2m
2
（3-2m）
1m3∴m=2+3（舍去）∴
22
m=
2-3
∴m
2
的值为1或
定值问题
1.【答案】解：
（1）证明：
如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。
∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。
∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。
理由如下：
由
（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S四边形AECF=SABC
=12BCAH=12BCAB2-BH2=43。
由“垂线段最短”可知：
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
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