中考数学专题复习存在性问题.docx

1、中考数学专题复习存在性问题中考数学专题复习存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线y = x2向左平移1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线y=（x-h）2 +k .点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.2.如图，抛物线经过 A（2，0）， B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D在抛物线上，点 E在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M，是否存在点 P，使得以 P、M、A为顶点的三角形BOC

2、 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线y = ax2 + bx（a 0）与双曲线y = k 相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2）， 点 A 在第一象限内，且 tan AOX 4 过点 A 作直线 AC x 轴，交抛物线于另一点 C （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使ABD的面积等于ABC 的面积若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由4.如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 ABCD的四个顶点，A（2,0）， B（1, 3）（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2

3、）点 M为 y轴上任意一点，当点 M到 A、B两点的距离之和为最小时，求此时点 M的坐标；（2 分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P使 SPAD4SABM成立，求点 P的坐标（4 分）（4）在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线y= x2+bx+c经过 A，B两点，抛物线的顶点为 D1）求 b,c的值；2）点 E是直角三角形 ABC斜边 AB上一动点（点 A、B除外），过点 E

4、作 x轴的垂线交抛物线于点 F， 当线段 EF的长度最大时，求点 E的坐标；3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积； 在抛物线上是否存在一点 P，使EFP是以 EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图，直线y =3x+3交x轴于 A点，交y 轴于B 点，过 A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. 求抛物线的解析式 ; 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使 ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标； 若不存在，请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7如图，二

5、次函数 y= -x2+ax+b的图像与 x轴交于 A（- 1 ，0）、B（2，0）两点，且与 y轴交于点 C；2（1） 求该拋物线的解析式，并判断 ABC的形状；（2） 在 x轴上方的拋物线上有一点 D，且以 A、 C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D点的坐标；（3） 在此拋物线上是否存在点 P，使得以 A、 C、B、 P四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。六、二次函数中菱形的存在性问题8如图，抛物线经过原点O 和x 轴上一点A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与x 轴交于点D 直线 y=2x1 经过抛物线上一点 B（2，m）

6、且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点 F（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，求出所有符合条件的点P 的坐标；（3）点 Q是平面内任意一点，点 M从点 F出发，沿对称轴向上以每秒 1个单位长度的速度匀速运动， 设点 M的运动时间为 t秒，是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由七、二次函数中与圆有关存在性问题 9.已知：抛物线 y=x2+（1-2m）x-6+4m与 x 轴交于两点 A（x1，0）， B（x2，0）（x x ，x1 0），1 2 x

7、2 它的对称轴交 x 轴于点 N（x3，0），若 A，B 两点距离不大于 6，（1）求 m 的取值范围；（2）当 AB=5 时，求抛物线的解析式； （3）试判断，是否存在 m的值，使过点 A和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1）， 或过点 B和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的 m的值，若不存在试说明理由定值问题：1.如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F在 BCCD上滑动

8、时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值1、【答案】解：（1）由平移的性质知， y=（x-h）2 +k 的顶点坐标为（，）， h= -1，k= -4。（2）由（1）得 y=（x+1） -4.当y=0时，（x+1）2 -4=0 解之，得x = -3，x =1 A（ -3， 0），B（1， 0）.又当x=0时， y=（x+1）2-4=（0+1）2-4=-3，C 点坐标为（0，3）。又抛物线顶点坐标 D（1，4）， 作抛物线的对称轴x = -1交x轴于点 E，DF y轴于点 F。易知在 Rt AED 中， AD2=22+42=20

9、 ，在 Rt AOC 中， AC2=32+32=18 ，在 Rt CFD 中， CD2=12+12=2 ， AC2 CD2 AD2 。 ACD 是直角三角形。3）存在作 OMBC交 AC于 M，点即为所求点。由（2）知，AOC 为等腰直角三角形，BAC450，AC= 18 =3 2 由AOM ABC，得AO = AM 。即3=AM, AM=9 2。AB AC 432 4过 M 点作 MG AB 于点 G ，OG=AOAG=3 9= 3。又点 M 在第三象限，所以 M（ 3 ， 9 ）。44 4 4 a =1解得 b=2 。 c=02、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为 y =ax2 +bx+

10、c（a 0）， 4a -2b +c =0抛物线过 A（2，0）， B（3，3）， O（0，0）可得 9a -3b +c=3 ， c=0抛物线的解析式为y = x2 + 2x 。（2）当 AE为边时，A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2， 则 D 在 x 轴下方不可能， D 在 x 轴上方且 DE=2 ，则 D1 （ 1 ， 3 ）， D2 （ 3 ， 3 ）。当 AO为对角线时，则 DE与 AO互相平分。点 E在对称轴上，且线段 AO的中点横坐标为1， 由对称性知，符合条件的点 D只有一个，与点 C重合，即 C（1，1）。 故符合条件的点 D有三个，分别是 D1（1，3）

11、， D2（3，3）， C（1，1）。（3）存在，如图：B（3，3）， C（1，1），根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC 是直角三角形。假设存在点 P，使以P，M，A 为顶点的 三角形与BOC相似，设 P（ x ， y ），由题意知 x 0， y 0，且 y =x2 +2 x ，即 x +2=3 （ x +2 x ）得： x 1=1 ， x 2= 2 （舍去） 3当 x =1 时， y =7 ，即 P （ 1 ， 7 ）。3 9 3 9即： x +2 x =3（ x +2）得： x 1=3， x 2=2（舍去）当 x =3 时， y =15 ，

12、即 P （ 3 ， 15 ） 故符合条件的点P有两个，分别是P（ 13 ， 79 ）或（3，15）。3、【答案】解：（1）把点B（2，2）的坐标代入y = k 得，-2=k ，k 4。x -2双曲线的解析式为： y = 4。x设 A 点的坐标为（ m ， n ） A 点在双曲线上， mn 4 。 又tanAOX4，错误!未找到引用源。4，即 m4n。n21，n1。A 点在第一象限，n1，m4。A 点的坐标为（1，4）。把 A、B点的坐标代入y = ax2 +bx得， a+b=4 ，错误!未找到引用源。解得，a 1， b 3。 4a-2b= -2抛物线的解析式为： y = x2 + 3x 。（2

13、）AC x轴，点C 的纵坐标y4，代入 y =x2 +3x得方程，x2 +3x-4=0，解得 x 14， x 21（舍去）。C 点的坐标为（4，4），且 AC5。4.（1）、因为点 A、B均在抛物线上，故点 A、B的坐标适合抛物线方程 4a+c=0 a+ c= -3 a = 1解之得： ca=1-4；故y=x2-4为所求2）如图2，连接BD，交 y轴于点M，则点M就是所求作的点 2k+b=0 k = 1 b =-2设BD的解析式为y=kx+b，则有 2-kk+bb=0-3 故 BD的解析式为 y=x-2；令x=0,则 y =-2，故M（0,-2）（3）、如图 3，连接 AM，BC交 y轴于点

14、N，由（2）知，OM=OA=OD=2， AMB = 90 易知BN=MN=1， 易求AM =2 2,BM =2SVABM = 2 2 2 = 2；设P(x,x -4) ， 依题意有： 1 ADgx2-4 =4 2，即：1 4gx2-4 =4 2解之得： x = 2 2 ， x = 0 ，故符合条件的P点有三个：P1(2 2,4),P2(-2 2, 4), P3(0,- 4)5.5），B（4，5），解答：解：（1）由已知得：A（1，0）， B（4，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），5），直线 AB 的解析式为：y=x+1， ，解得： b= 2 ， c= 3 ；（2）如图：

15、直线 AB经过点 A（1，0）， B（4， 二次函数 y=x22x3，设点 E（t，t+1），则 F（t，t22t3），EF=（t+1）（t 2t3）=（t ） + ，6.解：（1）当x =0 时，y=3 当y=0时，x=1 A （1，0）， B （0，3）C（3，0） 1 分设抛物线的解析式为 y =a（x +1）（ x3） 3=a1（3） a=1此抛物线的解析式为y =（ x + 1）（ x 3）=- x 2 +2 x +3 2 分如图对称轴与x轴的交点即为 Q1OA=OQ ，BOAQ AB=Q B Q （ 1 ， 0 ） 6 分当Q 2 A=Q 2 B时，设Q 2的坐标为（1，m）22+

16、m2=12 +（3m）2m=1 Q （ 1 ， 1 ） 8 分当Q A = AB时，设Q （1，n） 22+n2=12+32n0 n= 6 Q （1， 6 ）符合条件的Q点坐标为Q 1（1，0）， Q 2（1，1）， Q 3（1， 6 ）10分 1 17、答案：解 （1） 根据题意，将 A（-1 ，0），B（2，0）代入 y= -x2+ax+b中，得 - 4- 2a+b=02 - 4 + 2a + b = 0解这个方程，得a=32，b=1，该拋物线的解析式为y= -x2+ 23 x+1，当 x=0时，y=1， 点C的坐标为（0，1）。在AOC中，AC= OA2 +OC2 = （1）2 +12

17、= 5 。在BOC中，BC= OB2 +OC2 = 22 +12 = 5。AB=OA+OB= 1 +2= 5 ，AC 2+BC 2= 5 +5= 25 =AB 2，ABC是直角三角形。 2 2 4 4(2) 点 D的坐标为 ( 3 ， 1) 。2(3)存在。由 (1) 知， AC BC。若以 BC为底边，则 BC/AP，如图1 所示，可求得直线BC的解析式为y= -1 x+1，直线AP可以看作是由直线2BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -1 x+b，2把点 A(-1 ，0)代入直线 AP的解析式，求得 b= -1 ，24直线AP的解析式为y= -12x-14。点P既在拋物线上，又在

18、直线AP上，点 P的纵坐标相等，即-x2+ 3 x+1= - 1 x- 1 ，解得 x1= 5 ，2 2 4 2x2= - 1 (舍去)。当 x= 5 时，y= - 3 ，点 P( 5 ，- 3 )。2 2 2 2 2 2 若以 AC为底边，则 BP/AC，如图2 所示。可求得直线 AC的解析式为 y=2x+ 1 。直线 BP可以看作是由直线 AC平移得到的， 所以设直线 BP的解析式为 y=2x+b，把点 B(2，0)代 入直线 BP的解析式，求得 b= -4， 直线 BP的解析式为 y=2x-4。点 P既在拋物线上，又在直线 BP上，点 P的纵坐标相等， 即-x2+ 3 x+1=2x-4，

19、解得 x1= - 5 ，x2=2(舍去)。22当 x= - 5 时， y= - 9 ，点 P的坐标为 ( - 5 ， - 9) 。 22综上所述，满足题目条件的点 P为 ( 5 ， - 3 ) 或 ( - 5 ， - 9) 。2 2 28解：（1）点 B（2，m）在直线y=2x1 上m=3 即B（2，3） 又抛物线经过原点 O设抛物线的解析式为 y=ax2+bx点 B（2，3）， A（4，0）在抛物线上设抛物线的解析式为2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 S ADP=S ADC， ， ， 又点 C 是直线 y=2x1 与 y 轴交点，即 或 ，C（0，1），OC=1，解得：点 P 的坐标为

20、（3）结论：存在抛物线的解析式为点 F 是直线 y= 2x 1 与对称轴 x=2 的交点， F （ 2 ， 5 ）， 又A（4，0），AE= 如右图所示，在点 M的运动过程中，依次出现四个菱形： 菱形 AEM1Q1此时 DM1=AE= ，M1F=DFDEDM1=4 ，t1=4 ； 菱形 AEOM2此时 DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形 AEM3Q3此时 EM3=AE= ，DM3=EM3DE= 1， M3F=DM3+DF=（ 1）+5=4+ ，t3=4+ ； 菱形 AM4EQ4此时 AE为菱形的对角线， 设对角线 AE与 M4Q4交于点 H，则AEM4Q4， 易知AED

21、M4EH， ，即 ，得M4E= ，DM4=M4EDE= 1= ，44M4F=DM4+DF= +5= ，t4= 4 4 4综上所述，存在点 M、点Q，使得以 Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形； 时间 t 的值为：t1=4 ，t2=6，t3=4+ ，t4= x9. 解：(1)令y=0，则x2 +(1-2m)x-6+m= 0 x x ，且 1 0，x 0，x 0由 AB 6 ，且 x x 0，得：4m-6 05-2m 63m21 m -2-1m32y=x2 +x-62）当 AB=5 时，5-2m=5，m=0 抛物线的解析式为：2 m - 1则OG =1，ON = 2m-12若 N在 x轴的负半

22、轴上，由切割线定理：x 轴的正半轴上，3）N（x3，0）是抛物线与 x，OB = 2OG2=ONOB 1=2m2-12 m=1则ON =1-22m，OA =3-2m2+ 3 2- 3，m2 = 2 2 2由切割线定理：OG2=ONOA1=1-2m2(3- 2m)1 m 3 m= 2+ 3(舍去) 22m=2 - 3m2的值为 1 或定值问题1.【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120， BAE+EAC=60，FAC+EAC=60， BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。 ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。

23、在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF（ASA）。 BE=CF。（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下： 由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF。S 四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，S四边形 AECF = S ABC=12 BC AH=12BC AB2 -BH2 = 4 3。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边 AE与BC垂直时，边AE最短故AEF 的面积会随着 AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，