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数学一答案解析
2001数学一答案解析
【篇一：
2001年考研数学一试题答案与解析】
=txt>一、
（1）【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2
?
1?
i,从而得知特征方程为
2（r?
r1）（r?
r2）?
r2?
（r1?
r2）r?
rr12?
r?
2r?
2?
0.由此,所求微分方程为
.0y?
2y?
2y?
（2）【分析】gradr=?
?
x?
y?
z?
?
r?
r?
r?
?
xyz?
,?
?
?
,?
.再求divgradr=（）?
（）?
（）
?
xr?
yr?
zr?
?
x?
y?
z?
?
rrr?
.
于
是
=
1x21y21z23x2?
y2?
z22
（?
3）?
（?
3）?
（?
3）?
?
?
3rrrrrrrrr
divgradr|（1,?
2,2）=
22
|（1,?
2,2）?
.r3
（3）【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为?
1?
y?
0时
1?
y?
2.由此看出二次积分?
dy?
?
1
02
1?
y
f（x,y）dx是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
?
0?
1
dy?
2
1?
y
f（x,y）dx?
?
?
f（x,y）dxdy.由累
d
次积分的内外层积分限可确定积分区域d:
?
1?
y?
0,1?
y?
x?
2.见图.现可交换积分次序
原式=?
?
0?
1
dy?
2
1?
y
f（x,y）dx?
?
?
dx?
1
20
1?
x
f（x,y）dy?
?
dx?
1
21?
x
f（x,y）dy.
（4）【分析】矩阵a的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为（a?
e）（a?
2e）?
2e?
a2?
a?
4e?
0,故（a?
e）（a?
2e）?
2e,即
（a?
e）?
a?
2e1
?
e.按定义知（a?
e）?
1?
（a?
2e）.22
（5）【分析】根据切比雪夫不等式
p{x?
e（x）?
?
}?
d（x）
?
2
于是
d（x）1
p{x?
ex（?
）?
2?
.
22
二、
（1）【分析】当x?
0时,f（x）单调增?
当x?
0时,f（x）:
增——减——增?
f（x）?
0,（a）,（c）不对;
f（x）:
正——负——正,（b）不对,（d）对.应选（d）.
（2）关于（a）,涉及可微与可偏导的关系.由f（x,y）在（0,0）存在两个偏导数f（x,y）在（0,0）处
可微.因此（a）不一定成立.关于（b）只能假设f（x,y）在（0,0）存在偏导数
?
f（0,0）?
f（0,0）
,不保?
x?
y
证曲面z?
（f,x在）y（0,0,f（0,0））存在切平面.若存在时,法向量
n=?
?
?
?
?
f（0,0）?
f（0,0），?
1?
?
?
{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而（b）不成立.
?
y?
?
x?
它在点（0,0,f（0,0））处的切向量为
?
x?
t,
关于（c）,该曲线的参数方程为?
?
y?
0,
?
z?
f（t,0）,?
d
f（t,0）}|t?
0?
{1,0,fx（0,0）}?
{1,0,3}.因此,（c）成立.dt
f（x）f（x）f（x）
?
lim（3）【分析】当f（0）?
0时,f（0）?
lim?
?
lim?
.
x?
0x?
0?
x?
0?
xxx
1f（1?
cosh）1?
cosh1f（t）
?
lim关于（a）:
lim2f（1?
cosh）?
lim,
h?
0hh?
01?
coshh22t?
0?
t
1
lim2f（1?
cosh）?
?
f?
（0）?
.若f（x）在x?
0可导?
（a）成立,由此可知
h?
0h{t,0,
反之若（a）成立?
f?
（0）?
f（0）?
.如f（x）?
|x|满足（a）,但f（0）不?
.关于（d）:
若
f（x）在x?
0可导,?
1f（2h）f（h）lim[f（2h）?
f（h）]?
lim[2?
]?
2f（0）?
f（0）.h?
0hh?
02hh
h?
）fh（））?
f（x）在x?
0连续,f（x）在?
（d）成立.反之（d）成立?
lim（f（2
h?
0
?
2x?
1,x?
0x?
0可导.如f（x）?
?
满足（d）,但f（x）在x?
0处不连续,因而f（0）也不?
.
0,x?
0?
再看（c）:
1h?
sinhf（h?
sinh）h?
sinhf（t）
f（h?
sinh）?
lim?
?
lim?
（当它们都?
时）.22h?
0h2h?
0h?
0hh?
sinhht
h?
sinhf（t）
?
0lim注意,易求得lim.因而,若（c）成立.反之若（c）成立（即f（0）?
?
h?
0t?
0h2t
f（t）
有界,任有（c）成立,如f（x）?
|x|满足（c）,但f（0）不?
.因此,只能选f（0）?
）.因为只要tlim
（b）.
（4）【分析】由
|?
e?
a|?
?
4?
4?
3?
0,知矩阵a的特征值是4,0,0,0.又因a是实对称矩
阵,a必能相似对角化,所以a与对角矩阵b相似.作为实对称矩阵,当a?
b时,知a与b有相同的特征值,从而二次型xax与
t
xtbx有相同的正负惯性指数,因此a与b合同.所以本题应当选
（a）.注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
?
10?
与a?
?
?
?
02?
?
10?
它们的特征值不同,故a与b不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为b?
?
?
?
03?
0.所以a与b合同.
（5）【分析】解本题的关键是明确x和y的关系:
x?
y?
n,即y?
n?
x,在此基础上利用性质:
相关系数
?
xy的绝对值等于
1的充要条件是随机变量x与y之间存在线性关系,即
y?
ax?
b（其中a,b是常数）,且当a?
0时,?
xy?
1;当a?
0时,?
xy?
?
1,由此便知
?
xy?
?
1,应选（a）.事实上,
cov（x,y）?
cov（x,n?
x）?
?
dx,dy?
d（n?
x）?
dx,由此由相关系数的定义式有
?
xy?
?
?
?
1.
11?
2xdexx?
2xx
三、【解】原式=?
?
arctaned（e）?
?
[earctane?
?
2x]2x
22e（1?
e）
1?
2x1?
2xdexdexx
?
（earctanex?
e?
x?
arctanex）?
c.）=?
（earctane?
?
2x?
?
=2x
22e1?
e
四、【解】先求?
（1）?
f（1,f（1,1））?
f（1,1）?
1.求结
为
求
d3
?
（x）|x?
1?
3?
2
（1）?
（1）?
3?
（1）,归dx
合
函
数
求
导
法,
?
（1）
.由复
?
（x）?
f1（x,f（x,x））?
f2（x,f（x,x））
d
f（x,x）dx
?
（1）?
f1（1,1）?
f2（1,1）[f1（1,1）?
f2（1,1）].
注意f1（1,1）?
?
f（1,1）
?
2?
x
f2（1,1）?
?
f（1,1）
?
3?
y
.因此
?
（1）?
2?
3（2?
3）?
17
d3
?
（x）|x?
1?
3?
17?
51.dx
2
五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1?
x并化简即可.直
接
将
arxct展
开办不到,但
（arctanx）
易展开,即
?
1n2n
（arctanx）?
?
（?
1）x,|x|?
1,①?
2
1?
xn?
0
（?
1）n2n?
1
积分得arctanx?
?
（arctant）dt?
?
（?
1）?
tdt?
?
x,x?
[?
1,1].②
002n?
1n?
0n?
0
x
?
n
x2n
?
因为右端积分在x?
?
1时均收敛,又arctanx在x?
?
1连续,所以展开式在收敛区间端点
x?
?
1
成立.现将②式两边同乘以
1?
x2
x
得
?
1?
x2（?
1）n2n?
（?
1）n2n?
（?
1）nx2n?
22
arctanx?
（1?
x）?
x?
?
x?
?
x2n?
12n?
12n?
1n?
0n?
0n?
0
（?
1）n2n?
（?
1）n?
12n=?
x?
?
x=n?
02n?
1n?
02n?
1
?
11
1?
?
（?
1）（?
）x2n
2n?
12n?
1n?
1
n
?
（?
1）n22n
?
1?
?
x2
n?
11?
4n
?
x?
[?
1,1],x?
0
上式右端当x?
0时取值为1,于是
（?
1）n22n
f（x）?
1?
?
x,x?
[?
1,1]2
n?
11?
4n
?
?
.上式中令
（?
1）n11?
?
1
x?
1?
?
?
[f
（1）?
1]?
（2?
?
1）?
?
.2
1?
4n22442n?
1
六、【解】
用斯托克斯公式来计算.记s为平面x?
y?
z?
2上l所
为围部分.由l的定向,按右手法则s取上侧,s的单位法向
量
?
n?
（cos?
cos?
cos?
）?
.于是由斯托克斯公式得
cos?
?
i?
?
?
?
xs
y2?
z2
cos?
?
?
y2z2?
x2
cos?
?
?
z3x2?
y2
=
?
?
[（?
2y?
4zs
?
（?
2z?
6x（?
2x?
2yds
.
于
是
=
（4x?
2y?
3z）ds（利用x?
y?
z?
2）（6?
x?
y）dsss
?
.
按第一类曲面积分化为二重积分得i?
（6?
x?
y?
?
2?
?
（6?
x?
y）dxdy,其?
?
dd
中d围s在xy平面上的投影区域|x|?
|y|?
1（图）.由d关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得
?
?
（x?
y）dxdy?
0?
i?
?
12?
?
d
d
dxdy?
?
2?
?
24.
七、【证明】
（1）由拉格朗日中值定理,?
x?
（1,?
1）,x?
0,?
?
?
（0,1）,使
f（x）?
f（0）?
xf（?
x）
（?
与x有关）;又由调,?
唯一.
（2）对
f（x）连续而f（x）?
0,f（x）在（1,?
1）不变号,f（x）在（1,?
1）严格单
f（?
x）使用f（0）的定义.由题
（1）中的式子先解出f（?
x）,则有
f（x）?
f
x
f（?
x）?
（0）
.再改写成
f（x）?
f（0）?
xf（0）f（?
x）?
f（0）f（x）?
f（0）?
xf（0）
f（?
x）?
f（0）?
?
?
?
.,
x?
xx2
解
出
?
令
x?
0
取极限得
1
f（0）
f（x）?
f（0）?
xf（0）f（?
x）?
f（0）1
lim?
?
lim/lim?
?
.x?
0x?
0x?
0x2?
xf（0）2
八、【解】
（1）设t时刻雪堆的体积为v（t）,侧面积为s（t）.t时刻雪堆形状如图所示，先求
s（t）与v（t）.
侧
面
方
程
是
2（x2?
y）2h（t）
z?
h（t）?
（（x,y）?
dxy:
x2?
y2?
）
h（t）2
2
.
?
?
z4x?
z4y
?
?
?
?
.?
xh（t）?
yh（t）
dxdy?
.
dxy
?
s（t）?
?
?
dxy
作极坐标变换:
x?
rcos?
y?
rsin?
则
dxy:
0?
?
?
2?
0?
r?
（t）.?
【篇二：
考研数学一真题解析2010】
ss=txt>数学
（一）试卷
一、选择题（1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
x
极限lim?
x?
?
?
x2
（1）?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
=（a）1
（b）e
（c）ea?
b
（d）eb?
a
【考点分析】：
考察1∞型不定性极限。
【求解过程】：
?
方法一：
利用求幂指型极限的一般方法：
i=
limx→∞x2
x
x?
ax+b
=limx→∞exlnx2
x?
a（x+b）
归结为求
?
limx?
?
xln
x2
w（x?
a）（x?
b）lim?
?
x2?
?
?
x?
?
xln?
1?
?
?
?
（x?
a）（x?
b）?
1?
?
?
?
2
?
limx?
?
x?
?
x?
（x?
a）（x?
b）?
1?
?
?
?
lim（a?
b）x?
ab
x?
?
x?
（x?
a）（x?
b）?
a?
b
因此，i=ea?
b，选c【基础回顾】：
对于一般的幂指型极限有：
limf（x）g（x）?
limeg（x）lnf（x）?
elimg（x）lnf（x）
?
方法二：
利用第二个重要极限求解
xx
lim?
x?
?
?
x2?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
?
lim?
x?
?
?
1?
?
x2
i?
?
?
?
?
?
?
（x?
a）（x?
b）1?
?
?
?
?
（a?
b）x?
ab?
x
（a?
b）x?
ab
?
limxlim?
?
?
xx?
?
?
?
1?
（x?
a）（x?
b）（x?
a）（x?
b）?
?
?
e
?
ea?
b
【基础回顾】：
一般地，对于1∞型极限，均可利用第二个重要极限求解：
设limf（x）?
1，limg（x）?
?
，则
limf（x）g（x）?
lim?
?
1?
?
f（x）?
1?
?
?
?
e
lim（f（x）?
1）?
g（x）
?
g（x）
（2）设函数z?
z（x,y）由方程f（,）?
0确定,其中f为可微函数,且f2?
?
0,则
yzxx
x
?
z?
z?
y=?
x?
y
（a）x（c）?
x
（b）z（d）?
z
【考点分析】：
隐函数求导【求解过程】：
?
方法一：
全微分法方程f（,）?
0两边求全微分得：
yzxx
yzxdy?
ydxxdz?
zdx
?
f1?
d（）?
f2?
d（）?
0，即f1?
?
f?
02
xxx2x2
yf1?
?
zf2?
f?
整理得dz?
dx?
1dy
xf2?
f2?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z?
z?
zf?
所以，，?
?
1。
代入即可求得x?
y?
z。
选b.?
?
y?
x?
y?
?
x?
f2xf2
?
方法二：
隐函数求导公式法
记g（x,y,z）?
f?
?
yz?
?
，对于隐函数g（x,y,z）?
0,利用隐函数求导公式得：
?
xx?
?
z?
g?
?
?
x?
x
?
y?
?
z?
f1?
?
?
?
2?
?
f2?
?
?
?
2?
?
gx?
x?
yf1?
?
zf2?
?
?
，?
?
1?
zxf2?
f2?
?
x
?
z?
g?
?
?
y?
y
1
?
g?
?
f1?
?
?
?
zf2?
f2?
?
x
f1?
?
?
z?
z?
y?
z。
选b。
?
x?
y
代入即可求得x
?
方法三：
复合函数求导法
由方程f?
?
yz?
?
yz?
?
?
0可确定z?
z（x,y）。
方程f?
?
?
0两边分别对x,y求偏导，?
xx?
?
xx?
注意z?
z（x,y）。
由复合函数求导法则：
对x求偏导:
f1?
?
（?
y?
z1?
z?
?
）?
f?
2?
?
2?
?
?
02
xx?
x?
?
x
对y求偏导：
f1?
?
11?
z?
f2?
?
?
0xx?
y
解得：
f?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z
?
?
1?
?
yf2?
?
xxf2?
代入即可求得x
?
z?
z
?
y?
z。
选b。
?
x?
y
【方法总结】：
上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。
要熟悉隐函数求导公式
和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。
（3）设m
n为正整数,则反常积分（a）仅与m取值有关（c）与m,n取值都有关
?
的收敛性
（b）仅与n取值有关（d）与m,n取值都无关
【考点分析】：
反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：
利用反常积分的判敛法则对瑕点为x?
b的瑕积分敛准则：
?
b
a
f（x）dx，设f（x）在?
a,b）上连续，且f（x）?
0，有如下判
b
（b?
x）f（x）?
k,0?
k?
?
?
0?
m?
1,则①若lim?
x?
b
m
?
a
f（x）dx收敛；
（b?
x）f（x）?
k,0?
k?
?
?
m?
1,则②若lim?
x?
b
m
?
b
a
f（x）dx发散。
【求解过程】：
因为lim?
x?
1
?
?
，所以x=1为瑕点。
2
m1n
而lim?
x?
0
?
lim?
x?
0
xx
?
limx?
x?
0
21
?
mn
，所以x=0是否为瑕点取决于
21
?
是否为mn
负数。
i?
?
仅当
?
?
与dx都收敛，i收敛，否则i发散。
的敛散性
2m
?
①x?
0x
，
与
?
120
1x
12?
nm
敛散性相同，
1112也收敛。
因为m,n均为正整数，所以?
1,所以?
212dx收敛，0?
nmxnm
2m
②x?
0x
，
?
与
?
120
x
21?
mn
dx敛散性相同。
因为
m,n是正整数，所以
21?
-1,mn
若
2121
?
0,则x=0为瑕点，一定存在常数p满足0?
?
?
p?
1，使得
mnmn
px?
0?
limx
?
lim?
x
x?
0
p?
21
?
mn
?
0，于是收敛。
21
不是反常积分，当?
?
0时，x=0
不是瑕点，它存在是一个常数。
mn的敛散性
12m
因为lim（1?
x）?
x?
1
?
lim?
0x?
1?
1
收敛。
而0?
?
1，所以2m所以，选d
【自我总结】：
若反常积分的结果能够通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知。
若反常积分无法计算，那么其敛散性应由判别法获得。
本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。
（4）lim
n
=?
?
22x?
?
i?
1j?
1（n?
i）（n?
j）
nn
（a）
?
?
1
dx?
dx?
x
1
dy
（1?
x）（1?
y2）
（b）
?
1
dx?
x
1
dy
（1?
x）（1?
y）
（c）
1
1
dy
0（1?
x）（1?
y）
1
（d）
?
1
dx?
1
dy
0（1?
x）（1?
y2）
1
【考点分析】：
考察利用积分定义求极限【思路来源】：
把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】：
nn
n
?
n?
lim?
?
?
lim?
?
22n?
?
n?
?
i?
1j?
1（n?
i）（n?
j）i?
1j?
1
n
n
1
i?
j?
（1?
）（1?
?
?
）
n?
n?
2
?
1
2n
?
方法一：
化成两个定积分定义式的乘积
n
1111
?
n?
lim?
?
?
?
?
n?
?
j?
1?
j?
2ni?
1n1?
1?
?
?
n?
n?
n
，选d
?
?
111111
?
?
?
dx?
0?
0（1?
x）（1?
y2）01?
x01?
y21
?
方法二：
化成二重积分定义式的形式
记d是正方形区域：
?
（x,y）}|0?
x?
1,0?
y?
1?
，f（x,y）?
1
（1?
x）（1?
y2）
1
，于是?
n是f（x,y）在2n
将d的长与宽均n等分，分成n2个小正方形，每个小正方形面积是d上的一个积分和。
?
n?
?
?
d
11dxdy1
f（x,y）dxdy?
?
?
?
dxdy，选d22?
?
00（1?
x）（1?
y）（1?
x）（1?
y）d
（5）设a为m?
n型矩阵,b为n?
m型矩阵,若ab?
e,则（a）秩（a）?
m,秩（b）?
m（c）秩（a）?
n,秩（b）?
m
（b）秩（a）?
m,秩（b）?
n（d）秩（a）?
n,秩（b）?
n
【考点分析】：
矩阵秩的相关公式【求解过程】：
【篇三：
2003年考研数学
（一）试题及答案解析】
=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1
（1）lim（cosx）ln（1?
x）=
x?
0
?
2
1e
.
g（x）
【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limf（x）计算求极限均可.
1
（1?
）=elim（f（x）?
1）g（x）进行
【详解1】lim（cosx）
x?
0
ln（1?
x）
2
=e
x?
0ln（1?
x2）
lim
1
lncosx
?
sinx
故原式=e
?
1
2
?
1e
.
12x
1?
?
，2x2
【详解2】因为lim（cosx?
1）?
x?
0
1
?
lim
ln（1?
x2）x?
0
?
所以原式=e
?
12
?
1e
.
【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》p.24-25【例1.30-31】.
22
（2）曲面z?
x?
y与平面2x?
4y?
z?
0平行的切平面的方程是
2x?
4y?
z?
5.
【分析】待求平面的法矢量为n?
{2,4,?
1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方
22
程,而切点坐标可根据曲面z?
x?
y切平面的法矢量与n?
{2,4,?
1}平行确定.
2
2
?
?
【详解】令f（x,y,z）?
z?
x?
y，则
fx?
?
?
2x，fy?
?
?
2y，fz?
?
1.
设切点坐标为（x0,y0,z0），则切平面的法矢量为{?
2x0,?
2y0,1}，其与已知平面
2x?
4y?
z?
0平行，因此有
?
2x0?
2y01
?
?
，24?
1
22
可解得x0?
1,y0?
2，相应地有z0?
x0?
y0?
5.
故所求的切平面方程为
2（x?
1）?
4（y?
2）?
（z?
5）?
0，即2x?
4y?
z?
5.
【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》p.279【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》p.112【例8.13】.
（3）设x?
2
?
a
n?
0
?
n
cosnx（?
?
?
x?
?
），则a2.
【分析】将f（x）?
x（?
?
?
x?
?
）展开为余弦级数x?
其系数计算公式为an?
22
?
a
n?
0
?
n
cosnx（?
?
?
x?
?
），
?
?
?
2
?
f（x）cosnxdx.
1
?
【详解】根据余弦级数的定义，有a2?
==
?
?
1
2
x?
cos2xdx?
?
0
2
?
?
x2dsin2x
?
1
[x2sin2x
?
?
sin2x?
2xdx]
?
?
?
?
1
xdcos2x?
[xcos2x
?
0
?
?
?
cos2xdx]
?
=1.
【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一p.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》p.240【例8.37】.
（4）从r的基
2
?
1?
?
?
0?
?
?
2?
?
?
?
1?
?
到基?
1?
?
?
1?
?
?
2?
?
?
2?
?
的过渡矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
3?
?
2
?
?
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