数学一答案解析.docx
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数学一答案解析
2001数学一答案解析
【篇一:
2001年考研数学一试题答案与解析】
=txt>一、
(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2
?
1?
i,从而得知特征方程为
2(r?
r1)(r?
r2)?
r2?
(r1?
r2)r?
rr12?
r?
2r?
2?
0.由此,所求微分方程为
.0y?
2y?
2y?
(2)【分析】gradr=?
?
x?
y?
z?
?
r?
r?
r?
?
xyz?
,?
?
?
,?
.再求divgradr=()?
()?
()
?
xr?
yr?
zr?
?
x?
y?
z?
?
rrr?
.
于
是
=
1x21y21z23x2?
y2?
z22
(?
3)?
(?
3)?
(?
3)?
?
?
3rrrrrrrrr
divgradr|(1,?
2,2)=
22
|(1,?
2,2)?
.r3
(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为?
1?
y?
0时
1?
y?
2.由此看出二次积分?
dy?
?
1
02
1?
y
f(x,y)dx是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
?
0?
1
dy?
2
1?
y
f(x,y)dx?
?
?
f(x,y)dxdy.由累
d
次积分的内外层积分限可确定积分区域d:
?
1?
y?
0,1?
y?
x?
2.见图.现可交换积分次序
原式=?
?
0?
1
dy?
2
1?
y
f(x,y)dx?
?
?
dx?
1
20
1?
x
f(x,y)dy?
?
dx?
1
21?
x
f(x,y)dy.
(4)【分析】矩阵a的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为(a?
e)(a?
2e)?
2e?
a2?
a?
4e?
0,故(a?
e)(a?
2e)?
2e,即
(a?
e)?
a?
2e1
?
e.按定义知(a?
e)?
1?
(a?
2e).22
(5)【分析】根据切比雪夫不等式
p{x?
e(x)?
?
}?
d(x)
?
2
于是
d(x)1
p{x?
ex(?
)?
2?
.
22
二、
(1)【分析】当x?
0时,f(x)单调增?
当x?
0时,f(x):
增——减——增?
f(x)?
0,(a),(c)不对;
f(x):
正——负——正,(b)不对,(d)对.应选(d).
(2)关于(a),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处
可微.因此(a)不一定成立.关于(b)只能假设f(x,y)在(0,0)存在偏导数
?
f(0,0)?
f(0,0)
,不保?
x?
y
证曲面z?
(f,x在)y(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量
n=?
?
?
?
?
f(0,0)?
f(0,0),?
1?
?
?
{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(b)不成立.
?
y?
?
x?
它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为
?
x?
t,
关于(c),该曲线的参数方程为?
?
y?
0,
?
z?
f(t,0),?
d
f(t,0)}|t?
0?
{1,0,fx(0,0)}?
{1,0,3}.因此,(c)成立.dt
f(x)f(x)f(x)
?
lim(3)【分析】当f(0)?
0时,f(0)?
lim?
?
lim?
.
x?
0x?
0?
x?
0?
xxx
1f(1?
cosh)1?
cosh1f(t)
?
lim关于(a):
lim2f(1?
cosh)?
lim,
h?
0hh?
01?
coshh22t?
0?
t
1
lim2f(1?
cosh)?
?
f?
(0)?
.若f(x)在x?
0可导?
(a)成立,由此可知
h?
0h{t,0,
反之若(a)成立?
f?
(0)?
f(0)?
.如f(x)?
|x|满足(a),但f(0)不?
.关于(d):
若
f(x)在x?
0可导,?
1f(2h)f(h)lim[f(2h)?
f(h)]?
lim[2?
]?
2f(0)?
f(0).h?
0hh?
02hh
h?
)fh())?
f(x)在x?
0连续,f(x)在?
(d)成立.反之(d)成立?
lim(f(2
h?
0
?
2x?
1,x?
0x?
0可导.如f(x)?
?
满足(d),但f(x)在x?
0处不连续,因而f(0)也不?
.
0,x?
0?
再看(c):
1h?
sinhf(h?
sinh)h?
sinhf(t)
f(h?
sinh)?
lim?
?
lim?
(当它们都?
时).22h?
0h2h?
0h?
0hh?
sinhht
h?
sinhf(t)
?
0lim注意,易求得lim.因而,若(c)成立.反之若(c)成立(即f(0)?
?
h?
0t?
0h2t
f(t)
有界,任有(c)成立,如f(x)?
|x|满足(c),但f(0)不?
.因此,只能选f(0)?
).因为只要tlim
(b).
(4)【分析】由
|?
e?
a|?
?
4?
4?
3?
0,知矩阵a的特征值是4,0,0,0.又因a是实对称矩
阵,a必能相似对角化,所以a与对角矩阵b相似.作为实对称矩阵,当a?
b时,知a与b有相同的特征值,从而二次型xax与
t
xtbx有相同的正负惯性指数,因此a与b合同.所以本题应当选
(a).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
?
10?
与a?
?
?
?
02?
?
10?
它们的特征值不同,故a与b不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为b?
?
?
?
03?
0.所以a与b合同.
(5)【分析】解本题的关键是明确x和y的关系:
x?
y?
n,即y?
n?
x,在此基础上利用性质:
相关系数
?
xy的绝对值等于
1的充要条件是随机变量x与y之间存在线性关系,即
y?
ax?
b(其中a,b是常数),且当a?
0时,?
xy?
1;当a?
0时,?
xy?
?
1,由此便知
?
xy?
?
1,应选(a).事实上,
cov(x,y)?
cov(x,n?
x)?
?
dx,dy?
d(n?
x)?
dx,由此由相关系数的定义式有
?
xy?
?
?
?
1.
11?
2xdexx?
2xx
三、【解】原式=?
?
arctaned(e)?
?
[earctane?
?
2x]2x
22e(1?
e)
1?
2x1?
2xdexdexx
?
(earctanex?
e?
x?
arctanex)?
c.)=?
(earctane?
?
2x?
?
=2x
22e1?
e
四、【解】先求?
(1)?
f(1,f(1,1))?
f(1,1)?
1.求结
为
求
d3
?
(x)|x?
1?
3?
2
(1)?
(1)?
3?
(1),归dx
合
函
数
求
导
法,
?
(1)
.由复
?
(x)?
f1(x,f(x,x))?
f2(x,f(x,x))
d
f(x,x)dx
?
(1)?
f1(1,1)?
f2(1,1)[f1(1,1)?
f2(1,1)].
注意f1(1,1)?
?
f(1,1)
?
2?
x
f2(1,1)?
?
f(1,1)
?
3?
y
.因此
?
(1)?
2?
3(2?
3)?
17
d3
?
(x)|x?
1?
3?
17?
51.dx
2
五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1?
x并化简即可.直
接
将
arxct展
开办不到,但
(arctanx)
易展开,即
?
1n2n
(arctanx)?
?
(?
1)x,|x|?
1,①?
2
1?
xn?
0
(?
1)n2n?
1
积分得arctanx?
?
(arctant)dt?
?
(?
1)?
tdt?
?
x,x?
[?
1,1].②
002n?
1n?
0n?
0
x
?
n
x2n
?
因为右端积分在x?
?
1时均收敛,又arctanx在x?
?
1连续,所以展开式在收敛区间端点
x?
?
1
成立.现将②式两边同乘以
1?
x2
x
得
?
1?
x2(?
1)n2n?
(?
1)n2n?
(?
1)nx2n?
22
arctanx?
(1?
x)?
x?
?
x?
?
x2n?
12n?
12n?
1n?
0n?
0n?
0
(?
1)n2n?
(?
1)n?
12n=?
x?
?
x=n?
02n?
1n?
02n?
1
?
11
1?
?
(?
1)(?
)x2n
2n?
12n?
1n?
1
n
?
(?
1)n22n
?
1?
?
x2
n?
11?
4n
?
x?
[?
1,1],x?
0
上式右端当x?
0时取值为1,于是
(?
1)n22n
f(x)?
1?
?
x,x?
[?
1,1]2
n?
11?
4n
?
?
.上式中令
(?
1)n11?
?
1
x?
1?
?
?
[f
(1)?
1]?
(2?
?
1)?
?
.2
1?
4n22442n?
1
六、【解】
用斯托克斯公式来计算.记s为平面x?
y?
z?
2上l所
为围部分.由l的定向,按右手法则s取上侧,s的单位法向
量
?
n?
(cos?
cos?
cos?
)?
.于是由斯托克斯公式得
cos?
?
i?
?
?
?
xs
y2?
z2
cos?
?
?
y2z2?
x2
cos?
?
?
z3x2?
y2
=
?
?
[(?
2y?
4zs
?
(?
2z?
6x(?
2x?
2yds
.
于
是
=
(4x?
2y?
3z)ds(利用x?
y?
z?
2)(6?
x?
y)dsss
?
.
按第一类曲面积分化为二重积分得i?
(6?
x?
y?
?
2?
?
(6?
x?
y)dxdy,其?
?
dd
中d围s在xy平面上的投影区域|x|?
|y|?
1(图).由d关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得
?
?
(x?
y)dxdy?
0?
i?
?
12?
?
d
d
dxdy?
?
2?
?
24.
七、【证明】
(1)由拉格朗日中值定理,?
x?
(1,?
1),x?
0,?
?
?
(0,1),使
f(x)?
f(0)?
xf(?
x)
(?
与x有关);又由调,?
唯一.
(2)对
f(x)连续而f(x)?
0,f(x)在(1,?
1)不变号,f(x)在(1,?
1)严格单
f(?
x)使用f(0)的定义.由题
(1)中的式子先解出f(?
x),则有
f(x)?
f
x
f(?
x)?
(0)
.再改写成
f(x)?
f(0)?
xf(0)f(?
x)?
f(0)f(x)?
f(0)?
xf(0)
f(?
x)?
f(0)?
?
?
?
.,
x?
xx2
解
出
?
令
x?
0
取极限得
1
f(0)
f(x)?
f(0)?
xf(0)f(?
x)?
f(0)1
lim?
?
lim/lim?
?
.x?
0x?
0x?
0x2?
xf(0)2
八、【解】
(1)设t时刻雪堆的体积为v(t),侧面积为s(t).t时刻雪堆形状如图所示,先求
s(t)与v(t).
侧
面
方
程
是
2(x2?
y)2h(t)
z?
h(t)?
((x,y)?
dxy:
x2?
y2?
)
h(t)2
2
.
?
?
z4x?
z4y
?
?
?
?
.?
xh(t)?
yh(t)
dxdy?
.
dxy
?
s(t)?
?
?
dxy
作极坐标变换:
x?
rcos?
y?
rsin?
则
dxy:
0?
?
?
2?
0?
r?
(t).?
【篇二:
考研数学一真题解析2010】
ss=txt>数学
(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x
极限lim?
x?
?
?
x2
(1)?
?
(x?
a)(x?
b)?
?
=(a)1
(b)e
(c)ea?
b
(d)eb?
a
【考点分析】:
考察1∞型不定性极限。
【求解过程】:
?
方法一:
利用求幂指型极限的一般方法:
i=
limx→∞x2
x
x?
ax+b
=limx→∞exlnx2
x?
a(x+b)
归结为求
?
limx?
?
xln
x2
w(x?
a)(x?
b)lim?
?
x2?
?
?
x?
?
xln?
1?
?
?
?
(x?
a)(x?
b)?
1?
?
?
?
2
?
limx?
?
x?
?
x?
(x?
a)(x?
b)?
1?
?
?
?
lim(a?
b)x?
ab
x?
?
x?
(x?
a)(x?
b)?
a?
b
因此,i=ea?
b,选c【基础回顾】:
对于一般的幂指型极限有:
limf(x)g(x)?
limeg(x)lnf(x)?
elimg(x)lnf(x)
?
方法二:
利用第二个重要极限求解
xx
lim?
x?
?
?
x2?
?
(x?
a)(x?
b)?
?
?
lim?
x?
?
?
1?
?
x2
i?
?
?
?
?
?
?
(x?
a)(x?
b)1?
?
?
?
?
(a?
b)x?
ab?
x
(a?
b)x?
ab
?
limxlim?
?
?
xx?
?
?
?
1?
(x?
a)(x?
b)(x?
a)(x?
b)?
?
?
e
?
ea?
b
【基础回顾】:
一般地,对于1∞型极限,均可利用第二个重要极限求解:
设limf(x)?
1,limg(x)?
?
,则
limf(x)g(x)?
lim?
?
1?
?
f(x)?
1?
?
?
?
e
lim(f(x)?
1)?
g(x)
?
g(x)
(2)设函数z?
z(x,y)由方程f(,)?
0确定,其中f为可微函数,且f2?
?
0,则
yzxx
x
?
z?
z?
y=?
x?
y
(a)x(c)?
x
(b)z(d)?
z
【考点分析】:
隐函数求导【求解过程】:
?
方法一:
全微分法方程f(,)?
0两边求全微分得:
yzxx
yzxdy?
ydxxdz?
zdx
?
f1?
d()?
f2?
d()?
0,即f1?
?
f?
02
xxx2x2
yf1?
?
zf2?
f?
整理得dz?
dx?
1dy
xf2?
f2?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z?
z?
zf?
所以,,?
?
1。
代入即可求得x?
y?
z。
选b.?
?
y?
x?
y?
?
x?
f2xf2
?
方法二:
隐函数求导公式法
记g(x,y,z)?
f?
?
yz?
?
,对于隐函数g(x,y,z)?
0,利用隐函数求导公式得:
?
xx?
?
z?
g?
?
?
x?
x
?
y?
?
z?
f1?
?
?
?
2?
?
f2?
?
?
?
2?
?
gx?
x?
yf1?
?
zf2?
?
?
,?
?
1?
zxf2?
f2?
?
x
?
z?
g?
?
?
y?
y
1
?
g?
?
f1?
?
?
?
zf2?
f2?
?
x
f1?
?
?
z?
z?
y?
z。
选b。
?
x?
y
代入即可求得x
?
方法三:
复合函数求导法
由方程f?
?
yz?
?
yz?
?
?
0可确定z?
z(x,y)。
方程f?
?
?
0两边分别对x,y求偏导,?
xx?
?
xx?
注意z?
z(x,y)。
由复合函数求导法则:
对x求偏导:
f1?
?
(?
y?
z1?
z?
?
)?
f?
2?
?
2?
?
?
02
xx?
x?
?
x
对y求偏导:
f1?
?
11?
z?
f2?
?
?
0xx?
y
解得:
f?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z
?
?
1?
?
yf2?
?
xxf2?
代入即可求得x
?
z?
z
?
y?
z。
选b。
?
x?
y
【方法总结】:
上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。
要熟悉隐函数求导公式
和复合函数的求导法则,复合函数求导容易出错,注意多加练习。
(3)设m
n为正整数,则反常积分(a)仅与m取值有关(c)与m,n取值都有关
?
的收敛性
(b)仅与n取值有关(d)与m,n取值都无关
【考点分析】:
反常积分的判敛法则,超纲题【基础回顾】:
利用反常积分的判敛法则对瑕点为x?
b的瑕积分敛准则:
?
b
a
f(x)dx,设f(x)在?
a,b)上连续,且f(x)?
0,有如下判
b
(b?
x)f(x)?
k,0?
k?
?
?
0?
m?
1,则①若lim?
x?
b
m
?
a
f(x)dx收敛;
(b?
x)f(x)?
k,0?
k?
?
?
m?
1,则②若lim?
x?
b
m
?
b
a
f(x)dx发散。
【求解过程】:
因为lim?
x?
1
?
?
,所以x=1为瑕点。
2
m1n
而lim?
x?
0
?
lim?
x?
0
xx
?
limx?
x?
0
21
?
mn
,所以x=0是否为瑕点取决于
21
?
是否为mn
负数。
i?
?
仅当
?
?
与dx都收敛,i收敛,否则i发散。
的敛散性
2m
?
①x?
0x
,
与
?
120
1x
12?
nm
敛散性相同,
1112也收敛。
因为m,n均为正整数,所以?
1,所以?
212dx收敛,0?
nmxnm
2m
②x?
0x
,
?
与
?
120
x
21?
mn
dx敛散性相同。
因为
m,n是正整数,所以
21?
-1,mn
若
2121
?
0,则x=0为瑕点,一定存在常数p满足0?
?
?
p?
1,使得
mnmn
px?
0?
limx
?
lim?
x
x?
0
p?
21
?
mn
?
0,于是收敛。
21
不是反常积分,当?
?
0时,x=0
不是瑕点,它存在是一个常数。
mn的敛散性
12m
因为lim(1?
x)?
x?
1
?
lim?
0x?
1?
1
收敛。
而0?
?
1,所以2m所以,选d
【自我总结】:
若反常积分的结果能够通过计算获得,那么其敛散性可直接由计算获知。
若反常积分无法计算,那么其敛散性应由判别法获得。
本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。
(4)lim
n
=?
?
22x?
?
i?
1j?
1(n?
i)(n?
j)
nn
(a)
?
?
1
dx?
dx?
x
1
dy
(1?
x)(1?
y2)
(b)
?
1
dx?
x
1
dy
(1?
x)(1?
y)
(c)
1
1
dy
0(1?
x)(1?
y)
1
(d)
?
1
dx?
1
dy
0(1?
x)(1?
y2)
1
【考点分析】:
考察利用积分定义求极限【思路来源】:
把和式化成二重积分定义的形式求解,把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】:
nn
n
?
n?
lim?
?
?
lim?
?
22n?
?
n?
?
i?
1j?
1(n?
i)(n?
j)i?
1j?
1
n
n
1
i?
j?
(1?
)(1?
?
?
)
n?
n?
2
?
1
2n
?
方法一:
化成两个定积分定义式的乘积
n
1111
?
n?
lim?
?
?
?
?
n?
?
j?
1?
j?
2ni?
1n1?
1?
?
?
n?
n?
n
,选d
?
?
111111
?
?
?
dx?
0?
0(1?
x)(1?
y2)01?
x01?
y21
?
方法二:
化成二重积分定义式的形式
记d是正方形区域:
?
(x,y)}|0?
x?
1,0?
y?
1?
,f(x,y)?
1
(1?
x)(1?
y2)
1
,于是?
n是f(x,y)在2n
将d的长与宽均n等分,分成n2个小正方形,每个小正方形面积是d上的一个积分和。
?
n?
?
?
d
11dxdy1
f(x,y)dxdy?
?
?
?
dxdy,选d22?
?
00(1?
x)(1?
y)(1?
x)(1?
y)d
(5)设a为m?
n型矩阵,b为n?
m型矩阵,若ab?
e,则(a)秩(a)?
m,秩(b)?
m(c)秩(a)?
n,秩(b)?
m
(b)秩(a)?
m,秩(b)?
n(d)秩(a)?
n,秩(b)?
n
【考点分析】:
矩阵秩的相关公式【求解过程】:
【篇三:
2003年考研数学
(一)试题及答案解析】
=txt>一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1
(1)lim(cosx)ln(1?
x)=
x?
0
?
2
1e
.
g(x)
【分析】1型未定式,化为指数函数或利用公式limf(x)计算求极限均可.
1
(1?
)=elim(f(x)?
1)g(x)进行
【详解1】lim(cosx)
x?
0
ln(1?
x)
2
=e
x?
0ln(1?
x2)
lim
1
lncosx
?
sinx
故原式=e
?
1
2
?
1e
.
12x
1?
?
,2x2
【详解2】因为lim(cosx?
1)?
x?
0
1
?
lim
ln(1?
x2)x?
0
?
所以原式=e
?
12
?
1e
.
【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》p.24-25【例1.30-31】.
22
(2)曲面z?
x?
y与平面2x?
4y?
z?
0平行的切平面的方程是
2x?
4y?
z?
5.
【分析】待求平面的法矢量为n?
{2,4,?
1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方
22
程,而切点坐标可根据曲面z?
x?
y切平面的法矢量与n?
{2,4,?
1}平行确定.
2
2
?
?
【详解】令f(x,y,z)?
z?
x?
y,则
fx?
?
?
2x,fy?
?
?
2y,fz?
?
1.
设切点坐标为(x0,y0,z0),则切平面的法矢量为{?
2x0,?
2y0,1},其与已知平面
2x?
4y?
z?
0平行,因此有
?
2x0?
2y01
?
?
,24?
1
22
可解得x0?
1,y0?
2,相应地有z0?
x0?
y0?
5.
故所求的切平面方程为
2(x?
1)?
4(y?
2)?
(z?
5)?
0,即2x?
4y?
z?
5.
【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》p.279【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》p.112【例8.13】.
(3)设x?
2
?
a
n?
0
?
n
cosnx(?
?
?
x?
?
),则a2.
【分析】将f(x)?
x(?
?
?
x?
?
)展开为余弦级数x?
其系数计算公式为an?
22
?
a
n?
0
?
n
cosnx(?
?
?
x?
?
),
?
?
?
2
?
f(x)cosnxdx.
1
?
【详解】根据余弦级数的定义,有a2?
==
?
?
1
2
x?
cos2xdx?
?
0
2
?
?
x2dsin2x
?
1
[x2sin2x
?
?
sin2x?
2xdx]
?
?
?
?
1
xdcos2x?
[xcos2x
?
0
?
?
?
cos2xdx]
?
=1.
【评注】本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一p.62第一大题第(6)小题和《数学复习指南》p.240【例8.37】.
(4)从r的基
2
?
1?
?
?
0?
?
?
2?
?
?
?
1?
?
到基?
1?
?
?
1?
?
?
2?
?
?
2?
?
的过渡矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
3?
?
2
?
?