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1、数学一答案解析2001数学一答案解析【篇一：2001年考研数学一试题答案与解析】=txt一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2 ?1?i,从而得知特征方程为 2(r?r1)(r?r2)?r2?(r1?r2)r?rr12?r?2r?2?0.由此,所求微分方程为 . 0y?2y?2y? (2)【分析】 gradr=? ?x?y?z?r?r?r?xyz? ,?,?.再求 divgradr=()?()?() ?xr?yr?zr?x?y?z?rrr? . 于 是 = 1x21y21z23x2?y2?z22 (?3)?(?3)?(?3)?3rrrrrrrrr divgradr|(

2、1,?2,2)= 22 |(1,?2,2)?. r3 (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为?1?y?0时 1?y?2.由此看出二次积分?dy? ?1 02 1?y f(x,y)dx是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 ? 0?1 dy? 2 1?y f(x,y)dx?f(x,y)dxdy.由累 d 次积分的内外层积分限可确定积分区域d:?1?y?0,1?y?x?2.见图.现可交换积分次序 原式=? ? 0?1 dy? 2 1?y f(x,y)dx?dx? 1 20 1?x f(x,y)dy?dx? 1 21?x f(x,y)dy. (4)【分

3、析】 矩阵a的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为 (a?e)(a?2e)?2e? a2?a?4e?0,故(a?e)(a?2e)?2e,即 (a?e)? a?2e1 ?e.按定义知(a?e)?1?(a?2e). 22 (5)【分析】 根据切比雪夫不等式 px?e(x)? d(x) ?2 , 于是 d(x)1 px?ex(?)?2?. 22 二、(1)【分析】 当x?0时,f(x)单调增?当x?0时,f(x):增减增? f(x)?0,(a),(c)不对; f(x):正负正,(b)不对,(d)对.应选(d). (2)关于(a),涉及可微与可偏导的关系.

4、由f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处 可微.因此(a)不一定成立.关于(b)只能假设f(x,y)在(0,0)存在偏导数 ?f(0,0)?f(0,0) ,不保?x?y证曲面z?(f,x在)y(0,0,f(0,0)存在切平面.若存在时,法向量 n=? ?f(0,0)?f(0,0)，?1?3,1,-1与3,1,1不共线,因而(b)不成立. ?y?x? 它在点(0,0,f(0,0)处的切向量为 ?x?t, 关于(c),该曲线的参数方程为? ?y?0, ?z?f(t,0),? d f(t,0)|t?0?1,0,fx(0,0)?1,0,3.因此,(c)成立. dt f(x)f

5、(x)f(x) ?lim(3)【分析】 当f(0)?0时,f(0)?lim?lim?. x?0x?0?x?0?xxx 1f(1?cosh)1?cosh1f(t) ?lim关于(a):lim2f(1?cosh)?lim, h?0hh?01?coshh22t?0?t 1 lim2f(1?cosh)? ? f?(0) ?.若f(x)在x?0可导?(a)成立,由此可知 h?0ht,0, 反之若(a)成立? f?(0) ?f(0)?.如f(x)?|x|满足(a),但f(0)不?.关于(d):若 f(x)在x?0可导,? 1f(2h)f(h)limf(2h)?f(h)?lim2?2f(0)?f(0). h

6、?0hh?02hh h?)fh()?f(x)在x?0连续,f(x)在?(d)成立.反之(d)成立?lim(f(2 h?0 ?2x?1,x?0x?0可导.如f(x)? 满足(d),但f(x)在x?0处不连续,因而f(0)也不?. 0,x?0? 再看(c): 1h?sinhf(h?sinh)h?sinhf(t) f(h?sinh)?lim?lim?(当它们都?时). 22h?0h2h?0h?0hh?sinhht h?sinhf(t) ?0lim注意,易求得lim.因而,若(c)成立.反之若(c)成立(即 f(0)? h?0t?0h2t f(t) 有界,任有(c)成立,如f(x)?|x|满足(c),

7、但f(0)不?.因此,只能选f(0)?).因为只要tlim (b). (4)【分析】 由 |?e?a|?4?4?3?0,知矩阵a的特征值是4,0,0,0.又因a是实对称矩 阵,a必能相似对角化,所以a与对角矩阵b相似.作为实对称矩阵,当a?b时,知a与b有相同的特征值,从而二次型xax与 t xtbx有相同的正负惯性指数,因此a与b合同.所以本题应当选 (a).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如 ?10? 与a? ?02?10? ,它们的特征值不同,故a与b不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为b?03? 0.所以a与b合同. (5)【分析】 解本题的关键

8、是明确x和y的关系:x?y?n,即y?n?x,在此基础上利用性质:相关系数 ?xy的绝对值等于 1的充要条件是随机变量x与y之间存在线性关系,即 y?ax?b(其中a,b是常数),且当a?0时,?xy?1;当a?0时,?xy?1,由此便知 ?xy?1,应选(a).事实上, cov(x,y)?cov(x,n?x)?dx,dy?d(n?x)?dx,由此由相关系数的定义式有?xy? ? ?1. 11?2xdexx?2xx 三、【解】原式=?arctaned(e)?earctane?2x 2x 22e(1?e) 1?2x1?2xdexdexx ?(earctanex?e?x?arctanex)?c.

9、)=?(earctane?2x?=2x 22e1?e 四、【解】先求?(1)?f(1,f(1,1)?f(1,1)?1.求 结 为 求 d3 ?(x)|x?1?3?2(1)?(1)?3?(1),归dx 合 函 数 求 导 法, ?(1) .由复 ?(x)?f1(x,f(x,x)?f2(x,f(x,x) d f(x,x)dx ?(1)?f1(1,1)?f2(1,1)f1(1,1)?f2(1,1). 注意 f1(1,1)? ?f(1,1) ?2?x , , f2(1,1)? ?f(1,1) ?3?y .因此 ?(1)?2?3(2?3)?17 d3 ?(x)|x?1?3?17?51. dx 2 五、【

10、分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1?x并化简即可. 直 接 将 arxct展 开办不到,但 (arctanx) 易展开,即 ? 1n2n (arctanx)?(?1)x,|x|?1, ?2 1?xn?0 (?1)n2n?1 积分得 arctanx?(arctant)dt?(?1)?tdt?x,x?1,1. 002n?1n?0n?0 x ? n x2n ? 因为右端积分在x?1时均收敛,又arctanx在x?1连续,所以展开式在收敛区间端点 x?1 成立.现将式两边同乘以 1?x2 x 得 ? 1?x2(?1)n2n?(?1)n2n?(?1)nx2n?22 a

11、rctanx?(1?x)?x?x? x2n?12n?12n?1n?0n?0n?0 (?1)n2n?(?1)n?12n =?x?x =n?02n?1n?02n?1 ? 11 1?(?1)(?)x2n 2n?12n?1n?1 n ? (?1)n22n ?1?x2 n?11?4n ? ,x?1,1,x?0 上式右端当x?0时取值为1,于是 (?1)n22n f(x)?1?x,x?1,12 n?11?4n ? .上式中令 (?1)n11?1 x?1?f(1)?1?(2?1)?. 2 1?4n22442n?1 六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记s为平面x?y?z?2上l所 为围部分.由l的定向,按右手

12、法则s取上侧,s的单位法向量 ?n?(cos?,cos?,cos?)?.于是由斯托克斯公式得 cos?i? ?xs y2?z2 cos? ?y2z2?x2 cos?z3x2?y2 = ?(?2y?4zs ?(?2z?6x(?2x?2yds . 于 是 = (4x?2y?3z)ds(利用x?y?z?2)(6?x?y)dsss ?. 按第一类曲面积分化为二重积分得i?(6?x?y?2?(6?x?y)dxdy,其?dd中d围s在xy平面上的投影区域|x|?|y|?1(图）.由d关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得 ?(x?y)dxdy?0?i?12? d d dxdy?2?24. 七、【证明】

13、(1)由拉格朗日中值定理,?x?(1,?1),x?0,?(0,1),使 f(x)?f(0)?xf(?x) (?与x有关);又由调,?唯一. (2)对 f(x)连续而f(x)?0,f(x)在(1,?1)不变号,f(x)在(1,?1)严格单 f(?x)使用f(0)的定义.由题(1)中的式子先解出f(?x),则有 f(x)?f x f(?x)? (0) .再改写成 f(x)?f(0)?xf(0)f(?x)?f(0)f(x)?f(0)?xf(0) f(?x)?f(0)?., x?xx2 解 出 ? , 令 x?0 取极限得 1 f(0) f(x)?f(0)?xf(0)f(?x)?f(0)1 lim?l

14、im/lim? . x?0x?0x?0x2?xf(0)2 八、【解】 (1)设t时刻雪堆的体积为v(t),侧面积为s(t).t时刻雪堆形状如图所示，先求 s(t)与v(t). 侧 面 方 程 是 2(x2?y)2h(t) z?h(t)?(x,y)?dxy:x2?y2?) h(t)2 2 . ? ?z4x?z4y ?,?. ?xh(t)?yh(t) dxdy?. dxy ? s(t)? dxy 作极坐标变换:x?rcos?,y?rsin?,则 dxy:0?2?,0?r? (t). ?【篇二：考研数学一真题解析 2010】ss=txt数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下

15、列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) x 极限lim?x?x2 (1)?(x?a)(x?b)? = (a)1 (b)e (c)ea?b (d)eb?a 【考点分析】：考察1型不定性极限。 【求解过程】： ? 方法一：利用求幂指型极限的一般方法： i= limx x2 x x?a x+b =limxexlnx2 x?a(x+b) 归结为求 ?limx?xln x2 w(x?a)(x?b)lim?x2?x?xln?1? (x?a)(x?b)?1?2 ?limx?x?x?(x?a)(x?b)?1? ?lim(a?b)x?ab x?x?(x?a)(x?b

16、)?a?b 因此，i=ea?b，选c 【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有： limf(x)g(x)?limeg(x)lnf(x)?elimg(x)lnf(x) ? 方法二：利用第二个重要极限求解 xx lim?x?x2?(x?a)(x?b)?lim?x?1?x2 i? (x?a)(x?b)1?(a?b)x?ab?x (a?b)x?ab ?limxlim?xx?1?(x?a)(x?b)(x?a)(x?b)?e ?ea?b【基础回顾】：一般地，对于1型极限，均可利用第二个重要极限求解： 设limf(x)?1，limg(x)?，则 limf(x)g(x)?lim?1?f(x)?1?e lim(f(

17、x)?1)?g(x) ?g(x) (2)设函数z?z(x,y)由方程f(,)?0确定,其中f为可微函数,且f2?0,则 yzxx x ?z?z?y= ?x?y (a)x (c)?x (b)z (d)?z 【考点分析】：隐函数求导 【求解过程】： ? 方法一：全微分法 方程f(,)?0两边求全微分得： yzxx yzxdy?ydxxdz?zdx ?f1?d()?f2?d()?0，即f1?f?0 2 xxx2x2 yf1?zf2?f?整理得 dz?dx?1dy xf2?f2? ?zyf1?zf2?z?z?zf? 所以，?1。代入即可求得x?y?z。选b. ? ?y?x?y?x?f2xf2 ? 方法

18、二：隐函数求导公式法 记g(x,y,z)?f? ?yz? ,?，对于隐函数g(x,y,z)?0,利用隐函数求导公式得： ?xx? ?z?g?x?x ?y?z? f1?2?f2?2?gx?x?yf1?zf2?， ? 1?zxf2?f2?x ?z?g? ?y?y 1 ?g?f1? ? ?zf2?f2?x f1? ?z?z?y?z。选b。 ?x?y 代入即可求得x? 方法三：复合函数求导法 由方程f? ?yz?yz? ,?0可确定z?z(x,y)。方程f?,?0两边分别对x,y求偏导，?xx?xx? 注意z?z(x,y)。由复合函数求导法则： 对x求偏导: f1?(? y?z1?z?)?f?2?2?

19、0 2 xx?x?x 对y求偏导：f1? 11?z?f2?0 xx?y 解得： f?zyf1?zf2?z ?1 ? ?yf2?xxf2? 代入即可求得x ?z?z ?y?z。选b。 ?x?y 【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。要熟悉隐函数求导公式 和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。 (3)设m,n为正整数,则反常积分(a)仅与m取值有关 (c)与m,n取值都有关 ? 的收敛性 (b)仅与n取值有关 (d)与m,n取值都无关 【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题 【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则 对瑕点为x?b的瑕积分敛准则： ? b a f

20、(x)dx，设f(x)在?a,b)上连续，且f(x)?0，有如下判 b (b?x)f(x)?k,0?k?,0?m?1,则 若lim? x?b m ? a f(x)dx收敛； (b?x)f(x)?k,0?k?,m?1,则 若lim? x?b m ? b a f(x)dx发散。 【求解过程】：因为lim? x?1 ?，所以x=1为瑕点。2 m1n 而lim? x?0 ?lim? x?0 xx ?limx? x?0 21 ?mn ，所以x=0是否为瑕点取决于 21 ?是否为mn负数。 i? 仅当 ? 与dx都收敛，i收敛，否则i发散。 的敛散性 2m ? x?0x， 与 ? 120 1x 12?nm

21、 敛散性相同， 1112也收敛。 因为m,n均为正整数，所以?1,所以?212dx收敛，0?nmxnm 2m x?0x， ?与 ? 120 x 21?mn dx敛散性相同。因为 m,n是正整数，所以 21?-1, mn 若 2121 ?0,则x=0为瑕点，一定存在常数p满足0?p?1，使得 mnmn px?0? limx ?lim?x x?0 p? 21 ?mn ?0，于是收敛。 21 不是反常积分，当?0时，x=0不是瑕点，它存在是一个常数。mn的敛散性 12m 因为lim(1?x)? x?1 ?lim?0 x?1?1 收敛。 而0?1，所以2m所以，选d 【自我总结】：若反常积分的结果能够

22、通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知。若反常积分无法计算，那么其敛散性应由判别法获得。本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。(4)lim n = ?22x? i?1j?1(n?i)(n?j) nn (a) ? 1 dx?dx? x 1 dy (1?x)(1?y2) (b) ? 1 dx? x 1 dy (1?x)(1?y) (c) 1 1 dy 0(1?x)(1?y) 1 (d) ? 1 dx? 1 dy 0(1?x)(1?y2) 1 【考点分析】：考察利用积分定义求极限 【思路来源】：把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解 【求解过程】： nn n ?n?li

23、m?lim?22n?n?i?1j?1(n?i)(n?j)i?1j?1 n n 1 i?j? (1?)(1?) n?n? 2 ? 1 2n ? 方法一：化成两个定积分定义式的乘积 n 1111 ?n?lim? n?j?1?j?2ni?1n1?1?n?n? n ，选d ? 111111 ?dx?0?0(1?x)(1?y2)01?x01?y21 ? 方法二：化成二重积分定义式的形式 记d是正方形区域：?(x,y)|0?x?1,0?y?1?，f(x,y)? 1 (1?x)(1?y2) 1 ，于是?n是f(x,y)在2n 将d的长与宽均n等分，分成n2个小正方形，每个小正方形面积是d上的一个积分和。 ?

24、n? d 11dxdy1 f(x,y)dxdy?dxdy，选d 22?00(1?x)(1?y)(1?x)(1?y)d (5)设a为m?n型矩阵,b为n?m型矩阵,若ab?e,则 (a)秩(a)?m,秩(b)?m (c)秩(a)?n,秩(b)?m (b)秩(a)?m,秩(b)?n(d)秩(a)?n,秩(b)?n 【考点分析】：矩阵秩的相关公式 【求解过程】：【篇三：2003年考研数学(一)试题及答案解析】=txt一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 1 （1） lim(cosx)ln(1?x) = x?0 ? 2 1e . g(x) 【分析】 1型未定式，化

25、为指数函数或利用公式limf(x)计算求极限均可. 1 (1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行 【详解1】 lim(cosx) x?0 ln(1?x) 2 =e x?0ln(1?x2) lim 1 lncosx , ?sinx 故 原式=e ?1 2 ? 1e . 12x 1?， 2x2 【详解2】 因为 lim(cosx?1)? x?0 1 ?lim ln(1?x2)x?0 ? 所以 原式=e ? 12 ? 1e . 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见数学复习指南p.24-25 【例1.30-31】. 22 （2） 曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 2

26、x?4y?z?5. 【分析】 待求平面的法矢量为n?2,4,?1，因此只需确定切点坐标即可求出平面方 22 程, 而切点坐标可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?2,4,?1平行确定. 2 2 ? ? 【详解】 令 f(x,y,z)?z?x?y，则 fx?2x，fy?2y， fz?1. 设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 ?2x0,?2y0,1，其与已知平面 2x?4y?z?0平行，因此有 ?2x0?2y01 ?， 24?1 22 可解得x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5. 故所求的切平面方程为 2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z

27、?5. 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见数学复习指南p.279 【例10.28】和 数学题型集粹和练习题集p.112 【例8.13】. （3） 设x? 2 ?a n?0 ? n cosnx(?x?)，则a2. 【分析】 将f(x)?x(?x?)展开为余弦级数x?其系数计算公式为an? 22 ?a n?0 ? n cosnx(?x?)， ? ? 2 ? f(x)cosnxdx. 1 ? 【详解】 根据余弦级数的定义，有 a2?= ? 1 2 x?cos2xdx? ?0 2 ? x2dsin2x ? 1 x2sin2x ?sin2x?2xdx ? ? ? ? 1 xdcos2x?xcos2x ?0 ? ?cos2xdx ? =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一p.62第一大题第（6）小题和数学复习指南p.240 【例8.37】. （4）从r的基 2 ?1?0?,?2?1?到基?1?1?,?2?2?的过渡矩阵为 ? ?1?1?1?1? 3?2 ?