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数学建模竞赛论文
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学院（请填写完整的全名）：
计算机科学与技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.赵蕊
2.秦悦展
3.蔡文佳
日期：
2012年05月07日
评阅编号（教师评阅时填写）：
深圳人口与医疗需求预测
摘要
深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。
通过对深圳市现有的数据以及《深圳统计年签2010》建立模型并最终给出了深圳人口与医疗需求预测结果，具体如下：
我们首先对深圳市常住人口数据进行二次和三次以及四次拟合，并对两种拟合进行了比较得出深圳户籍住人口模型公式为：
深圳非户籍人口模型公式为：
基于上述数据的基础下，我们对深圳未来十年的人口结构进行了统计以演化分析，得出了深圳未来十年人口结构表：
以及全市医疗床位的需求表等重要结果，为政府和医疗机构制定相应的政策提供重要理论依据。
关键词：
《深圳统计年签2010》，拟合，非户籍人口模型，户籍住人口模型
1、问题的提出
深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。
从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。
深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。
年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。
然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。
这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。
然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。
为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：
1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；
2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：
肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
2、问题的分析
深圳的人口主要有常住人口与流动人口，且其中流动人口远远超过户籍人口，而两类人群的人口增长模式差异很大，所以要预测未来十年深圳市人口数量需将其分为户籍人口与流动人口两种方式进行建模分析，预测出两种模型下的人数，并求和即可得出预测总人数。
3、基本假设
（1）、假设附表给的数据都是准确的；
（2）、假设未来10年内深圳户籍人口不发生突然的大规模变动；
（3）、假设未来10内深圳妇女的生育能力不发生问题；
4、定义符号说明
Q——深圳户籍人口数；
P——深圳非户籍人口数
5、模型的分析、建立
5.1、求解深圳户籍人口
1）现有数据分析：
（1）利用现有数据（如表一）分析深圳户籍人口在1991年到2010年的变化规律。
因此利用数学软件“MATLAB”对数据进行处理，做出深圳户籍人口1991年到2010年的散点图（图1）。
表一：
深圳户籍人口（2001~2010）：
年份
人口数
1991
73.22
1992
80.22
1993
87.69
1994
93.97
1995
99.16
1996
103.38
1997
109.46
1998
114.6
1999
119.85
2000
124.92
2001
132.04
2002
139.45
2003
150.93
2004
165.13
2005
181.93
2006
196.83
2007
212.38
2008
228.07
2009
241.45
2010
251.03
图一：
深圳户籍人口散点图
（2）通过对现有数据，及散点图的分析，我们发现深圳户籍人口从1991到2010的人口增长率呈线性增长。
但随着深圳高速的发展，优质的社会公共资源对流动人口形成了强大的吸引力，因此外来人口的迁入增多导致从2003年到2010年深圳户籍人口的增长率相对以前增大，但也基本保持一次函数的增长。
通过网络资料查阅我们发现多项式拟合法是用解析表达式逼近离散数据所呈现的趋势,基本思想就是:
观测散点走势来确定拟合函数,利用散点但又不拘泥于散点。
他的整体思路与我们的数据分析非常相似，因此我们决定采用多项式拟合法中的二次与三次拟合法对数据进行建模。
2）模型建立
（1）对多项式拟合模型进行分析。
多项式拟合的定义为：
给定历史数据位点（
，
），
=1,2,…，N,E为所有次数不超过n（n
N）的多项式的函数类先设有一多项式
可以充分的表现某些数据的变化趋势。
其中
可作为拟合好坏的的最小值。
我们采用的为二次拟合法函数式为：
二次函数拟合模型：
（1）
三次函数拟合模型：
（2）
（2）利用MALTAB数学软件对已知数据建立二次拟合模型，通过编程我们得出如下图形：
图2：
二次拟合曲线
图2中红线为二次拟合模型的曲线，通过与*图对比对比我们发现我们通过二次拟合模型预测的值基本与实际人口大致吻合，但还是存在一定的误差。
（3）利用MALTAB数学软件对已知数据建立三次拟合，通过编程我们得出如下图形：
图3：
三次拟合曲线
图3中红线为深圳户籍人口三次拟合模型的曲线，通过对比我们发现我们通过三次拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，同时通过MALTAB软件我们求出三次函数拟合模型的各个Q值，最后得出：
二次函数拟合模型：
三次函数拟合模型：
（4）通过图2，图3对比我们很明显的发现采用三次拟[1]合模型得到的数据比二次拟合模型更加准确。
因此我们采用三次拟合模型的数据，所以我们预测出到2020年深圳户籍人口大致为551万人，表4为其详细人口变化。
表4：
详细人口变化表
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
279.71
301.96
325.99
351.88
379.72
409.60
441.59
475.79
512.2
551.16
5.2、非户籍人口分析：
1）现有数据分析：
（1）利用现有数据（如表二）分析深圳非户籍人口在1991年到2010年的变化规律。
因此利用数学软件“MATLAB”对数据进行处理，做出深圳非户籍人口1991年到2010年的散点图
表二：
深圳非户籍人口（1991~2010）：
年份
人口数
1991
153.54
1992
187.8
1993
248.28
1994
318.74
1995
349.99
1996
379.51
1997
418.29
1998
465.73
1999
512.71
2000
576.32
2001
592.53
2002
607.17
2003
627.34
2004
635.67
2005
645.82
2006
674.27
2007
699.99
2008
726.21
2009
753.56
2010
786.17
图二：
深圳非户籍人口散点图
（2）通过对现有数据，及散点图的分析。
通过网络资料查阅我们发现多项式拟合法是用解析表达式逼近离散数据所呈现的趋势,基本思想就是:
观测散点走势来确定拟合函数,利用散点但又不拘泥于散点。
他的整体思路与我们的数据分析非常相似，因此我们决定采用多项式拟合法中的二次与三次拟和四次拟合法对数据进行建模。
2）模型建立
（1）对多项式拟合模型进行分析。
多项式拟合的定义为：
给定历史数据位点（
，
），
=1,2,…，N,E为所有次数不超过n（n
N）的多项式的函数类先设有一多项式
可以充分的表现某些数据的变化趋势。
其中
可作为拟合好坏的的最小值。
我们采用的为二次拟合法函数式为：
二次函数拟合模型：
（1）
三次函数拟合模型：
（2）
四次函数拟合模型：
（3）
（2）利用MALTAB数学软件对已知数据建立二次拟合模型，通过编程我们得出如下图形：
图2.2：
二次拟合曲线
图2.2中红线为二次拟合模型的曲线，通过与图二对比对比我们发现我们通过二次拟合模型预测的值基本与实际人口大致吻合，但还是存在一定的误差。
（3）利用MALTAB数学软件对已知数据建立三次拟合，通过编程我们得出如下图形：
图2.3：
三次拟合曲线
图2.3中红线为深圳非户籍人口三次拟合模型的曲线，通过对比我们发现我们通过三次拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，同时通过MALTAB软件我们求出三次函数拟合模型的各个P值。
（4）利用MALTAB数学软件对已知数据建立四次拟合，通过编程我们得出如下图形：
图2.4：
四次拟合曲线
图2.4中红线为深圳非户籍人口四次拟合模型的曲线，通过对比我们发现我们通过四次拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，同时通过MALTAB软件我们求出四次函数拟合模型的各个P值，最后得出：
二次函数拟合模型：
三次函数拟合模型：
四次函数拟合模型：
（4）通过图2.2，图2.3图2.4对比我们很明显的发现采用四次拟合模型得到的数据比二、三次拟合模型更加准确。
因此我们采用四次拟合模型的数据，所以我们预测出到2020年深圳户籍人口大致为2542.6万人，表4为其详细人口变化。
表4：
详细人口变化表
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
841.9
910.10
997.99
1109.6
1249.3
1421.8
1631.9
1885.0
2186.6
2542.6
5.3、人口结构分析
通过以上的分析我们预测出了深圳未来10年的大致人口总数，但由于每个年龄段的人患病的几率是不同的，因此想估计出该市医疗床位的需求还存在一定的难度，所以我们对深圳以前的人口结构进行分析对比。
由于人口结构在一段时间内是不会发生大规模的变化的，因此我们选取2000、2005、2010三年个年龄段人口所占总人口的比例进行对比分析，得到下表3。
表3：
各年龄段占总人数百分比：
通过分析我们发现深圳人口的总体结构大致保持不变，但是通过对比我们发现该市人口从0—14岁，35——100岁年龄段人口呈上升趋势，而15—34岁年龄段人口呈下降趋势。
由于老年幼年的所占人口比例的增多，从而患病人群也相应增多，也就意味着该市医疗床位的需求将进一步增加。
为了进一步分析其变化规律，我们做出了该市人群年龄分布图（图4）。
从该曲线图上我们可以清楚的看到该市的人口结构分布情况，深圳市的主要人口在年龄构成上为15至44岁的人口最多，45岁以上人群较少。
图4
5.4、人口结构估计
1、通过上表分析我们可知人口结构在短时间内是不存在大规模的变化的，因此未来10年该市的人口结构将大致不变。
并且现代人少生优生的理念已经深入人心，因此小孩的增长率在短时间内不会发生较大的改变，也就是说深圳人口结构因此我们制定出该市10年后的人口结构计算方式。
1、用2010年个年龄段的人数作为人口基数。
所以首先计算出2010年各年龄段人数，如2010年0—4岁人口数位425772人，那么2020年的人数基数就为425772人.而通过上述分析我们得知在2020年为551.16万人。
2、考虑流动人口的影响[3]，深圳是我国济发展最快的城市之一因此流动人口站的人口比的比重较大，而年龄一般都为20—45，因此流动人口在20-45岁年龄段的流动人口中占较大比重。
而通过上述分析我们可知该市2020年的流动人口数为2542.6万人。
3、对比分析，通过对表4表5的分析我们得出人口所占百分比与之前几乎一致。
因此我们利用公式
预测出2020年各年龄段占总人数的百分比。
其中
E（2020年各年龄段所占百分比）；
B（2010年各年龄段所占百分比）；
A（2005年各年龄段所占百分比）。
通过计算我们得出各年龄段所占百分比如下表：
表4：
出各年龄段所占百分比
5.5、全市医疗床位的需求：
分析1991年到2010年深圳市医院及床位的发展情况[5]，通过网络资料查阅我们对应的床位数量做出柱状图如图2-1、图2-2，通过对图形的分析我们可以得知随年份的增加床位的增长呈3次函数形式增长。
由之前的分析我们可以得知，随着社会的发展该市的流动人口会逐渐的趋于平缓，从而导致该市的人口主要增长率为人口的迁移，并且流动人口的减少会导致该市人口老龄化的加快。
而人口老龄化的到来将导致该市人口的患病率激增，从而导致床位的快速增长。
表5：
年份
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
床位
3498
4466
5168
6040
6040
7150
7813
8353
8720
9616
年份
2001
2001
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
床位
10542
11808
12697
14186
15577
16193
16766
18435
19872
21166
图3.21991-2010床位数柱状图
图3.31991-2010末常住人口的柱状图
图形对比，通过对比我们发现二者的变化趋势几乎一致，以此我们考虑将该市病床的变化情况用多项式拟合模型进行建模分析，对此我们分别采用三次拟合模型进行拟合分析。
1、利用MALTAB数学软件对已知床位数据建立二次拟合模型，通过编程我们得出如下图形：
2.利用MALTAB数学软件对已知年末常住人口建立二次拟合模型，通过编程我们得出如下图形：
俩图中黑线为采用二次拟合模型的曲线，通过对比我们发现我们通过二次拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，因此可以确定2020年该市床位数位3.68万个。
6、不同类型的医疗机构就医的床位需求
6.1、求解思路分析：
1、利用已知数据求解出A病占B人群的百分比，再通过已经预测的B类人群的数量求出A病在未来的病例数，在这个过程中考虑到医疗条件的改善而导致的发病率降低，以及外来就医人数的改变，最终预测出未来A病的大致病例数H。
2、假设A病在B类医院每天就诊人数为H，其平均住院天数为Y，那么A病在B医院应当设置的床位数为
，即A病在B医院该设置的床位数为每天就诊人数与其平均住院天数的积。
在这个过程中考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低。
最终算出未来A病在B类医院需要的床位数。
6.2、医疗机构分类：
我们根据医院的不同性质将其分为综合医院、儿童医院[5]、妇幼保健院三大类。
其中综合医院又被称为人民医院，它是一种普遍分布于我国各个省市自治区的综合性医院，冠以“人民”二字，寓意其服务对象和服务宗旨。
其医疗专业性强，内、外、妇、儿等专科齐全，许多医院在医疗之外，还担负着教学、科研的任务。
儿童医院则是主要研究儿童的各项疾病，以儿童为主要研究方向的医院。
妇幼保健院的主要医治妇女儿童的各项疾病。
1）、小儿肺炎对各医疗各机构的床位需求
1、求解出小儿肺炎病占青少年（0-16岁）人群的百分比：
（25）
2、计算2020年小儿肺炎的病例数：
（26）
3、医疗条件改进及外来就医影响：
通过网络资料查阅[6]及之前数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率没10年将降低5%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低6%。
因此到2020年小儿肺病的实际病例数为:
（27）
4、平均每天的病例数
（28）
5、各类医疗机构所占医治病例人数百分比：
6、2020年各医疗机构平均每天的病例数：
7、各医疗机构平均住院天数：
8、因医疗条件改善导致的住院周期的降低：
通过网络资料查阅及之前数据分析我们得出因医疗条件改进2020年小儿患病的住院周期将平均降低0.5天，因此各医疗机构的实际住院天数为
9、2020年结果
综合医院：
（29）
儿童医院：
（30）
妇幼保健院：
（31）
10、实际情况考虑：
考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加2%，因此2020年小儿肺炎的各医疗机构就医的实际床位需求为
2）、急性阑尾炎病的对各医疗各机构的床位需求
1、急性阑尾炎介绍：
急性阑尾炎是外科常见病，居各种急腹症的首位。
转移性右下腹痛及阑尾点压痛、反跳痛为其常见临床表现，但是急性阑尾炎的病情变化多端。
其临床表现为持续伴阵发性加剧的右下腹痛，恶心呕吐，多数病人白细胞和嗜中性白细胞计数增高。
其主要发病人群人18-39岁成年人。
2、求解出2010年急性阑尾炎病占成年人（18-39岁）人群的百分比
（32）
3、计算出2020年急性阑尾炎病的病例数
（33）
4、医疗条件改进及外来就医影响
通过网络资料查阅及之前数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率没10年将降低3%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低4%。
因此到2020年急性阑尾炎病的实际病例数为:
（34）
5、平均每天的病例数
（35）
6、2010年各类医疗机构所占医治病例人数百分比
7、2020年各医疗机构平均每天的病例数
8、2010年各医疗机构平均住院天数
9、因医疗条件改善导致的住院周期的降低
通过网络资料查阅及之前数据分析，我们得出因医疗条件改进到2020年急性阑尾炎病的住院周期将平均降低0.8天，因此各医疗机构2020年的实际住院天数为
10、2020年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求
综合医院：
（36）
儿童医院：
（37）
妇幼保健院：
（38）
11、实际情况考虑
考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加2%，因此2020年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求为
参考文献
[1]姜启源，数学模型[M]，北京：
高等教育出版社，2001
[2]赵静但琦，数学建模与数学实验[M]，北京：
高等教育出版社，2003
[3]张威，MATLAB基础与编程入门（第二版），西安电子科技大学出版社，2008.1.
[4]2012.5.7
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