离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总.docx
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离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
第一章习题
&判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1)√2是无理数.
是命题,简单命题.p:
√2是无理数.真值:
1
(2)5能被2整除.
是命题,简单命题.p:
5能被2整除.真值:
0
(3)现在在开会吗?
不是命题.
(4)x+5>0.
不是命题.
(5)这朵花真好看呀!
不是命题.
(6)2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:
2是素数.q:
三角形有3条边.p↔q真值:
1
(7)雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:
雪是黑色的.q:
太阳从东方升起.p↔q真值:
0
(8)2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:
2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
(9)太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:
太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
(10)小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:
小李在宿舍里.真值唯一.
(11)全体起立!
不是命题.
(12)4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:
4是2的倍数.q:
4是3的倍数.p∨q真值:
1
(13)4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:
4是偶数.q:
4是奇数.p∧q真值:
0
(14)李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p:
李明与王华是同学.真值唯一.
(15)蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p:
蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:
1
判断下列各命题的真值.
(1)若2+2=4,则3+3=6.
(2)若2+2=4,则3+3≠6.
(3)若2+2≠4,则3+3=6.
(4)若2+2≠4,则3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6,则p,q都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p↔q,真值为1.
(6)p↔┐q,真值为0.
(7)┐p↔q,真值为0.
(8)┐p↔┐q,真值为1.
1.4将下列命题符号化,并讨论其真值。
(1)如果今天是1号,则明天是2号。
p:
今天是1号。
q:
明天是2号。
符号化为:
p→q
真值为:
1
(2)如果今天是1号,则明天是3号。
p:
今天是1号。
q:
明天是3号。
符号化为:
p→q
真值为:
0
将下列命题符号化。
(1)2是偶数又是素数。
(2)小王不但聪明而且用功。
(3)虽然天气很冷,老王还是来了。
(4)他一边吃饭,一边看电视。
(5)如果天下雨,他就乘公共汽车上班。
(6)只有天下雨,他才乘公共汽车上班。
(7)除非天下雨,否则他不乘公共汽车上班。
(意思为:
如果他乘公共汽车上班,则天下雨或如果不是天下雨,那么他就不乘公共汽车上班)
(8)不经一事,不长一智。
答案:
(1)设p:
2是偶数,q:
2是素数。
符号化为:
p∧q
(2)设p:
小王聪明,q:
小王用功。
符号化为:
p∧q
(3)设p:
天气很冷,q:
老王来了。
符号化为:
p∧q
(4)设p:
他吃饭,q:
他看电视。
符号化为:
p∧q
(5)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽车。
符号化为:
p→q
(6)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽上班。
符号化为:
q→p
(7)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽车上班。
符号化为:
q→p或⌝q→⌝p
(8)设p:
经一事,q:
长一智。
符号化为:
⌝p→⌝q
设p,q的真值为0;r,s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)
(2)(p↔r)∧(¬p∨s)
(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
(4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
解:
(1)p∨(q∧r)
p
q
r
q∧r
p∨(q∧r)
0
0
1
0
0
(2)(p↔r)∧(¬p∨s)
p
q
r
s
p↔r
¬p
¬p∨s
(p↔r)∧(¬p∨s)
0
0
1
1
0
1
1
0
(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
p
q
r
s
q∨r
p∧(q∨r)
p∨q
r∧s
(p∨q)∧(r∧s)
(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
(4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
p
q
r
s
¬p
r∧¬p
q→(r∧¬p)
(p∨(q→(r∧¬p))
(r∨¬s)
¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1.7判断下列命题公式的类型。
(1)p→(p∨q∨r)
解:
p
q
r
p∨q
p∨q∨r
p→(p∨q∨r)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知,该命题公式为重言式。
(2)(p→┑p)→┑p
p
┑p
p→┑p
(p→┑p)→┑p
0
1
1
1
1
0
0
1
由真值知命题公式的类型是:
重言式
(3)┐(q→p)∧p
p
q
q→p
┐(q→p)
┐(q→p)∧p
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
此命题公式是矛盾式。
(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁q
p→q
﹁q→﹁p
(p→q)→(﹁q→﹁p)
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表观察,此命题为重言式.
(5)(﹁p→q)→(q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
(﹁p→q)→(q→﹁p)
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.
(7)(p∨
p)→((q∧
q)∧
r)
解:
p
q
r
p∨
p
q∧
q
r
(q∧
q)∧
r
(p∨
p)→((q∧
q)∧
r)
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
结论:
此命题为矛盾式
(8)
(p↔q)→﹁(p∨q).
pq
(p↔q)
(p∨q)
﹁(p∨q)
(p↔q)→﹁(p∨q)
00
1
0
1
1
01
0
1
0
1
10
0
1
0
1
11
1
1
0
0
由此可以知道,上式为非重言式的可满足式.
(9)((p→q)∧(q→r))→(p→r)
解:
p
q
r
p→q
q→r
(p→q)∧(q→r)
p→r
A
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
该命题为永真式
(10)((p∨q)→r)
s
解:
p
q
r
s
p∨q
(p∨q)→r
(p∨q)→r)
s
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
结论:
此命题为非重言式可满足式
用等值演算法证明下列等值式
(1)(p∧q)∨(p∧﹁q)
p
证明:
(p∧q)∨(p∧﹁q)(分配律)
p∧(q∨﹁q)(排中律)
p∧1(同一律)
p
(3)⌝(p↔q)⇔((p∨q)∧⌝(p∧q))
证明:
⌝(p↔q)
⇔⌝((p→q)∧(q→p))
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))
⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p)
⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p)
⇔((p∨q)∧(⌝q∨q))∧((p∨⌝p)∧(⌝q∨⌝p))
⇔((p∨q)∧1)∧(1∧(⌝q∨⌝p))
⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p)
⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)
用等值演算法判断下列公式的类型。
(1)⌝((p∧q)→p).
解:
(1)⌝((p∧q)→p)
⇔⌝(⌝(p∧q)∨p)蕴含等值式
⇔⌝(⌝(p∧q))∧⌝p德·摩根律
⇔p∧q∧⌝p双重否定律
⇔p∧⌝p∧q交换律
⇔0∧q矛盾律
⇔0零律
即原式为矛盾式.
(2)((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)
解:
((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)
⇔(p↔q)↔(p↔q)
⇔((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→