七年级上册期末知识梳理.docx
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七年级上册期末知识梳理
第1章、走进数学世界
第1节、数学伴我们成长
主要掌握多边形的周长计算，平均分的算法。
第2章、有理数
第1节、有理数。
第一课时、正数和负数。
区分什么是正数，什么是负数，正负数的分界点以及对相关论述的判断。
第二课时、有理数。
清楚什么是有理数，按照要求对有理数进行分类，能对相关的论述进行判断。
有理数分为整数和分数，整数包括正整数、负整数、零，分数包括正分数和负分数。
第2节、数轴
第一课时、数轴。
明白什么是数轴，清楚数轴的正确画法。
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴
掌握数轴的三要素，判断数轴是否绘制正确，能确定点与点之间的位置关系及移动。
能够确定确定到原点一定距离的整数点有哪些，
1、在数轴上表示到原点的距离为6个单位长度的点有____个，它们分别是____________。
能够找出到给定点一定距离的整数点有哪些？
2、在数轴上表示到+3的距离为4个单位长度的点有____个，它们分别是____________。
能够找到到给定点一定范围的整数点有哪些？
3、在数轴上表示到+5的距离小于3个单位长度的点有____个，它们分别是____________。
注意线段的覆盖问题，爱好者上（12页9题和14页的例题2）
第二课时、在数轴上比较数的大小。
牢记在数轴上比较数的大小的规则，运用规则比较数的大小以及正确的解题步骤和要求。
法则：
在数轴上比较两个数的大小时，位于左边的数要比它右边的数小
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
解题步骤：
1、准确无误的画出数轴；
2、在数轴上表示出相关数据，并辅以文字说明
3、利用法则比较数的大小，并下结论。
第3节、相反数。
什么是相反数，互为相反数的两个数在数轴上的位置关系，正确求出一个数的相反数。
定义1：
只有正负号不同的两个数，称它们互为相反数。
定义2：
到原点的距离相同，且位于原点的两侧的两个数，互为相反数。
定义3：
和为零的两个数互为相反数。
求相反数的法则：
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零。
化简（由内及外，层层化简）：
注意：
1、在一个数前加一个“—”表示它的相反数。
2、在一个数前加一个“+”表示它的相反数。
3、在一个数前加上一个“—”并不意味它就是负数。
相反数喜欢和倒数放在一起出现，
如：
a,b互为相反数，c,d互为倒数，求
的值。
第四节、绝对值。
什么是绝对值，绝对值相等的两个数在数轴上的位置关系，正确求出一个数的绝对值。
定义：
在数轴上表示数A的点到原点的距离叫做数A的绝对值。
绝对值相等的两个数可以位于原点的同侧，或异侧。
求绝对值的法则：
正数的绝对是是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是它本身（相反数）
注意绝对值的非负性：
任何一个数的绝对值都大于（或等于）0.
注意这几类题型的出现：
1、求某个数的绝对值，如求
的绝对值。
2、求绝对值等于某个给定值的数，如求
的数。
3、求绝对值等于一个给定值（这个给定值需要化简）的数。
如求
的数。
4、还可以以解答题的形式出现，
如：
已知
，求
的值。
或：
已知
，求
的值。
第五节、有理数的大小比较。
直接比较法（绝对值法），数轴比较法。
并根据题目是当选取合理的比较方法解题。
在进行两个负数的大小比较时，需注意其步骤：
1、先说明情况（这是两个是负数比较大小）。
2、求出各自的绝对值。
3、比较两个绝对值的大小
4、根据负数的比较法则下结论。
在利用数轴比较大小的时候，要学会看数轴，他会给我们很多信息。
第六节、有理数的加法。
第一课时、有理数的加法法则。
牢记加法四则（同号相加，异号不等相加，互为相反数相加，和零相加），
清楚对应的题型，根据题目选取合理的法则进行加法运算，注意解题格式的书写。
在解题的过程中要注意两定：
一定和的符号，二定和的绝对值。
注意：
一正一负，两相加，结果为负，负绝大。
一正一负，两相加，结果为正，正绝大。
同正其和，不小零，同负其和，不大零。
列式计算，看题意，一分一毫，误差零。
第二课时、有理数加法的运算律。
牢记加法运算律（交换律（
）、结合律（
））。
清楚对应的题型，根据题目选取合理的运算律进行加法运算。
注意解题格式的书写，还需注意到凑整，归零，小数与分数的转化，带分数的拆分。
第七节、有理数的减法。
牢记减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）。
清楚对应的题型，根据题目选取合理的法则进行减法运算。
变减为加两注意：
一变减号为加号，二用减数相反数。
减一负，加一正，其差大于被减数；减一正，加一负，其差小于被减数。
这种题目也会做。
如已知
，求
的值。
第八节、有理数的加减混合运算。
第一课时、加减法统一成加法。
在加减法统一成加法的过程中注意减法法则的运用，
清楚加减法统一成加法的过程中的步骤。
第二课时、加法运算律在加减混合运算中的运用。
根据题型，适当运用运算律进行加减混合运算。
（1）、正与负，要分开。
（2）、含相反，县运算。
（3）、能凑整，就凑整。
（4）、带分数，记拆分。
（5）、分数小数，多走动。
（6）、如遇括号，先计算。
（7）、需要化简，先化简。
第九节、有理数的乘法。
第一课时、有理数的乘法法则
牢记有理数的乘法法则：
同号得正，异号得负，并把绝对值相成。
与1相乘，是本身，—1相乘，变相反，与零相乘都为零。
同号绝非只能同正，亦可同负，异号只能两正负。
几个数，没有零，要相乘，积的正负看负数，
负数为偶，记为正，负数为奇，记为负，莫忘绝对起相乘。
注意这类题目的出现：
（1）、
（2）、
注意爱好者上第39页的8—12题。
第二课时、有理数乘法的运算律。
理解记忆乘法的交换律，结合律和分配律。
根据情况适当选取相关运算律解题。
着重看爱好者（40页）上的例题，变式练习，课堂精练第3题的解题过程。
爱好者（41页）双击过关第6题，能力提升第9题（尤其是它的
（2）小题）。
掌握42页10题的第
（1）小题的解题过程。
第十节、有理数的除法。
理解记忆有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数。
）
变除为乘，两牢记，一变除号为乘号，除数要用其倒数。
注重看爱好者（42页）课堂精讲的例题及其变式训练。
注意爱好者（44页）第5题和第9题，理解10，11题的解题过程。
第十一节、有理数的乘方。
首先要清楚乘方的概念，
其次能够熟练地掌握由乘积形式向幂的形式转化，由幂的形式向乘积形式转化。
注意以下四个的读法及其形式。
（1）、
：
—2的二次方，底数是—2。
（2）、
：
的二次方，底数是
。
（3）、
：
2的二次方的相反数，底数是2。
（4）、
：
2的二次方除以3，底数是2。
着重看爱好者（46页）第6题和第7题。
47页的第11题。
第十二节、科学记数法
掌握书上和爱好者上的两种科学记数法。
掌握大数据与科学记数法之间的转换。
大数据向科学记数法转换：
一数零的个数，二移动小数点的位置，三确保整数位只有一位，注意正负号。
零的个数和移动小数点的次数之和为
的指数。
科学记数法向大数据转化。
一移动小数点的位置，二添零的个数，注意正负号。
零的个数和移动小数点的次数之和为
的指数。
第十三节、有理数的混合运算
主要掌握有理数混合运算的运算先后顺序。
其次是加法运算律和乘法运算律在解题中的灵活使用。
着重看爱好者（51页）课堂精讲的例题及其变式训练。
52的6题、53页的9题及课堂精讲的例题。
54页的第3题，55页的第7题。
第十四节、近似数
掌握三个概念：
近似数，精确度，有效数字。
近似数是与实际很接近的数。
一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，
中间所有的数字（包括零）都叫这个数的有效数字。
精确度的求法，精确到哪一位，就先找到那一位，然后对其后面的数字进行四舍五入。
在确认一个近似数的精确度的时候，要注意这种情况的出现，
如
的精确度和有效数字。
不难看出这个近似数的有效数字为3个，分别是6，0，1
但要确定它的精确度，必须先将其还原成原来的数据，即
然后找到有效数字最左边的那个数，确定它在原数中的位置（精确度的所在）。
所以这个数的精确度为精确到百位，而非百分位。
着重看爱好者（56页—57页）：
课堂精讲，课堂精练以及双基过关的第2、3、4题
能力提升的10题、13题、14题
说一千道一万，不如自己算一算，有时还得看一看。
第三章、整式的加减知识梳理
第一节、列代数式。
1、用字母表示数。
用字母表示数的注意事项：
（1）、数与字母相乘时，乘号要写成“.”或省略不写，如
。
（2）、数与字母相乘时，数要写在字母的前面，如
。
（3）、数与字母相除时除法要写成分数形式，如
。
（4）、带分数与字母相乘时，带分数要改写成假分数的形式，
。
（5）、字母表示数，结果为和差形式，后面有单位时，一定要加括号。
2、代数式。
首先，我们要清楚什么是代数式，代数式的特征有哪些？
代数式：
由数和字母用运算符号连接的式子称为代数式。
组成对象：
数和字母；组合方式：
运算符号（加减乘除乘方等）
注意：
单个的数和字母也是代数式，组合方式只能用运算符号连接。
代数式的书写格式：
⑴代数式中出现的乘号，通常写作“.”或省略不写，如６×ｂ常写作６·ｂ或６ｂ。
⑵数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如６ｂ一般不写作ｂ６.
⑶除法运算写成分数形式，如１÷ａ通常写作
（a≠0）。
⑷带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数，如
。
（5）用代数式表示具有实际意义的量时，如果所列的代数式是“和”或“差”的形式，并且有单位，那么必须把所列代数式用括号括起来，后面写上单位。
3、列代数式。
首先清楚什么是列代数式，列代数式的基本方法，注意细节等。
1、基本方法:
总的来说，列代数式，要以不改变原题叙述的数量关系为准（代数式的形式不唯一）；其次是善于把较复杂的数量关系，分解成几个基本的数量关系
（1）认真审题：
抓住关键性的词、字，如“大”、“小”、“多”、“少”、“和”、“差”、“倍”、“商”、“倒”数“平方差“、”余数“、”平方“、立方“、”增加”等等；
（2）正确判断各种数量关系中的运算顺序：
通常是先读的先写，后读的运算后写，并且正确对待遵循运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减）和运算括号（先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号）
（3）对于复杂的题目，应“浓缩原题，分段处理，最后组装”。
如“a的2倍与b的平方的和”与”b的立方与a的倒数之差“的积，此题可浓缩为”两数和与两数差的积“，第一段可列出：
”2a+b2”,第二段可列出b3-1/a,故所列出的代数式为
（4）要理解掌握基本的数量关系:
路程=时间x速度工作量=工作时间x工作效率
总价=单价x数量溶质=溶液x浓度
第二节、代数式的值。
首先，我们要清楚什么是代数式的值，
其次，掌握求代数式的值的一般方法和步骤，注意细节。
代数式的值：
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
求代数式的值的步骤：
（1）代入，将字母所取的值代入代数式中；
（2）计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果。
注意细节：
（1）由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来。
（2）如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号；
（3）代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号。
求代数式的值的两种类型：
1、直接告诉字母的取值，2、间接告诉字母的取值。
第三节、单项式。
首先清楚什么是单项式，单项式的特征。
单项式：
由字母和数用乘号连接的代数式叫单项式。
组成对象：
数和字母，组合方式：
用乘号连接。
单项式的重要特征：
（1）、系数：
所有的数字因数；
（2）、次数：
所有字母的指数之和。
注意：
单个的数和字母也是单项式。
强调
是常数，并非字母。
形如下类的都是单项式。
注意区分各自的系数和次数。
项
系数
次数
项
系数
次数
1
1
1
0
2
1
3
3
3
第四节、多项式。
多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项，叫做常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
注意：
多项式的每一项都包括它前面的符号。
多项式的次数：
次数最高项的次数，即这个多项式的次数。
注意：
多项式的次数不是所有项的次数之和；而仅仅是次数最高项的次数。
解：
（1）、项：
；次数：
3次，项数：
四项。
（2）、项：
；次数：
4次，项数：
三项。
第五节、升幂排列和降幂排列。
1、升幂排列。
升幂排列：
把一个多项式按某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
2、降幂排列：
把一个多项式按某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
如
是按X的降幂排列。
无论是对多项式进行升幂排列还是降幂排列要注意以下几点：
（1）、含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂或降幂排列.
（2）、清楚多项式中有几项,每一项中相关字母的次数各是多少。
第六节、同类项。
首先清楚什么是同类项，同类项的基本特征和无关因素，给出两个单项式能判断他们是否属于同类项，能在多项式中寻找同类项，并用同种符号标记同类项，各类之间符号号不同。
同类项：
所含字母都相同，并且相同字母的指数也相等的项。
注意：
所有常数项都是同类项。
强调
是常数，并非字母。
概念中的所含字母都相同的含义是项中所有的字母都相同。
正确区分：
2x2y与-3x2y（是）2abc与2ab（不是）
-3pq与3qp（是）-4x2y与5xy2（不是）
强调：
是否为同类项只与项中所含的字母和相同字母的指数有关，项中所含字母的顺序和项的系数无关。
（1）5x2y-3y2-x-4+x2y+2x-9；
强调：
同类项要用相同符号标记，不同类要用不同符号加以区分。
注意关于同类项的相关运算，如已知两个单项式是同类项，且系数相等，求各自的系数和相同字母的指数的含参问题，见数学爱好者81页：
10题，12题，14题，80页的例题2
第七节、合并同类项。
首先清楚什么是合并同类项，合并同类项的基本步骤及注意事项。
合并同类项：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数指数保持不变。
同类项的合并往往和多项式连在一起出现，因此首先要清楚多项式的项，如何在多项式中寻找同类项，如何标记。
在多项式中合并同类项的步骤：
1、清楚多项式中的项（包括前面的符号）。
2、正确找出多项式中的同类项并标记出来。
3、将同类项写在一起。
4、进行同类项合并。
（只进行系数的加减，对字母和字母的指数不作任何处理）
但在考试中，同类项的合并往往是求多项式的值的第一步，另外一步就是求代数式的值。
换而言之，合并同类项可以让多项式的求值简洁化。
如理科爱好者82页的4题，8题，9题，10题，11题。
第八节、去括号和添括号。
1、去括号。
去括号在多项式简化的过程中极其重要，是合并同类项的前提，因此要清楚去括号的法则：
括号前面是“+”号，将括号和前面的“+”去掉，括号里各项都不变号。
括号前面是“—”号，将括号和前面的“—”去掉，括号里各项都变号。
如
注意：
法则中的“都”，含义就是要变全都变，不变都不变。
多重括号去括号，由小到大依次去，边括号边合并同类项。
检验去括号的依据：
乘法分配律。
改变法则：
同号正，异号负，多个负号看个数。
2、添括号。
添括号在多项式简化的过程中极其重要，因此要清楚添括号的法则：
添括号时，若括号前面是“+”号，则括到括号里的各项都不变号，添括号时，若括号前面是“—”号，则括到括号里的各项都变号，
如
注意：
法则中的“都”，含义就是要变全都变，不变都不变。
变号依据：
乘法分配律。
改变法则：
同号正，异号负，多个负号看个数。
添括号往往使得多项的简化更快，更方便。
注意：
检验添括号是否正确的办法就是去括号。
第九节、整式的加减。
整式的加减：
先去括号，再合并同类项。
去括号的注意事项：
括号前面是“+”号，将括号和前面的“+”去掉，括号里各项都不变号。
括号前面是“—”号，将括号和前面的“—”去掉，括号里各项都变号。
法则中的“都”，含义就是要变全都变，不变都不变。
多重括号去括号，由小到大依次去，边括号边合并同类项。
合并同类项的注意事项：
1、标记同类项（各项前面的符号也算在内）
2、合并同类项。
第四章、图形的基本认识知识梳理
第一节、生活中的立体图形：
1、
区分：
柱体、锥体和球体：
（1）、柱体分为圆柱和棱柱,如图所示:
（2）、椎体分为圆锥和棱锥，如图所示：
（3）、球体，如图所示：
2、柱体的特征：
（1）、上下两地面的形状和大小都一样；
（2）、侧面的各棱在空间中是平行的；
（3）、上、下两底面都是圆形，则为圆柱，上下两底面都是多边形，则为棱柱；底面多边形是几边形，柱体就是几棱柱。
3、椎体的特征：
（1）：
只有一个底面（棱锥的各棱在空间中是相交的）；
（2）、底面是圆形，则为圆锥，底面是多边形，则为棱锥，底面多边形是几边形，柱体就是几棱锥。
4、多面体：
围成多面体的各面是平的面。
5、欧拉公式：
顶点数+面数—棱数=2。
（爱好者95页：
变式练习3）
第二节、由立体图形到视图：
1、清楚视图的分类：
一般将视图分为主视图、俯视图、侧视图（以左视图为主）。
（1）、主视图：
从物体正面得到的投影（从正面看，能看到的物体轮廓。
）
（2）、俯视图：
从物体上面得到的投影（从上面看，能看到的物体轮廓。
）
（3）、侧视图：
从物体侧面得到的投影（从侧面看，能看到的物体轮廓。
）
（4）、三视图均为平面图形。
（5）、参考题目---理科爱好者：
97页：
变式练习1，课堂精练1、2、3题，
98页双基过关1、5、6、7题，100页课堂精练2题。
2、三视图的一般位置排放：
（以圆锥为例）
（1）、主视图在俯视图正上方，左视图正左方；
（2）、俯视图在主视图的正下方；
（3）、左视图在主视图的正右方；
3、三视图的绘图规则：
（1）、高平齐：
主视图和左视图必须在同一水平线上，高度要相等。
（2）、长对正：
俯视图在主视图正下方，长短要一致。
（3）、宽相等：
俯视图与俯视图的宽度要一致。
（4）、看不到的轮廓线要用虚线表示出来。
（5）、参考题目---理科爱好者：
97页：
例题1和变式练习。
4、三视图告诉我们的基本信息（以长方体为例）：
（1）、主视图（正视图）：
长方体的长和高（长在上下，宽在左右）
（2）、侧视图（左视图）：
长方体的宽和高（宽在上下，高在左右）
（3）、俯视图：
长方体的长和宽（长在前后，宽在左右）。
第三节、由视图到立体图形：
1、能根据三视图大致判断立体图形：
（1）、如果正视图和俯视图是三角形的，一般和锥体有关，再根据俯视图是圆形或N边形判断是圆锥还是N棱柱。
（2）、如果正视图和侧视图是长方形的，一般和柱体有关，再观察俯视图是圆形或N边形，可以判断是圆柱和棱柱。
（3）、如果三视图都是圆形，则为球体。
2、三视图告诉我们的基本信息：
（1）、圆柱：
一般情况下，主视图和左视图反映的是圆柱的高和底面圆的直径；俯视图反映的是圆柱的底面圆的直径。
（2）、圆锥：
一般情况下，主视图和左视图反映的是圆锥的高
和底面圆的直径；俯视图反映的是圆锥底面圆的直径。
（3）、三棱锥：
一般情况下，主视图反映的是棱锥的高和底面三角形的边；侧视图反映的是棱锥的高和地面三角形的边所对应的高；俯视图反映的是地面三角形。
3、常见物体的体积公式：
（1）、圆柱：
（S是底面圆的面积，h是圆柱的高）；
（2）、圆锥：
（S是底面圆的面积，h是圆锥的高）；
（3）、长方体的体积公式：
（a、b、c分别对应长方形的长、宽、高）。
（4）、三棱锥的体积公式：
（
）。
（5）、参考题目------理科爱好者：
99页：
例题1，100页：
变式练习1，101页探究拓展5题，103页：
探究拓展8题。
4、小正方体的堆放问题：
（1）、主视图（正视图）反映的是立体图形的上下层数，列数（纵向），
（2）、俯视图反映立体图形的前后行数（横向），列数（纵向），
（3）、左视图反映立体图形前后各行的层数。
（4）、参考题目---理科爱好者：
98页第8、9题，99页第12、13题，100页变式练习2，101页能力提升4题。
第三节、立体图形的表面展开图：
1、清楚什么是立体图形的展开图：
把一个立体图形展开成平面图形。
2、常见图形的侧面展开图：
（1）、圆柱的侧面展开图是长方形，
一般情况下，长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。
（2）、圆锥的侧面展开图是扇形（可以是半圆），扇形的弧长是底面圆的周长。
（3）、棱柱的侧面展开图是由几个相等的长方形拼接而成，一般情况下，侧面展开图的宽是棱柱的高，长为底面多边形的周长。
3、熟记正方体的11种常见展开图，见理科爱好者102页----特别提醒。
3、能够根据平面展开图大致判断原立体图形。
4、能够根据平面展开图进行相应的表面积计算或体积计算。
--理科爱好者103页8题
第四节、平面图形：
1、什么是多边形----平面内由线段围成的封闭图形，多边形最基本的图形是三角形。
2、多边形的划分：
根据围成封闭图形的线段数量分为三角形、四边形、五边形、……
3、圆是由曲线围成的封闭图形，圆不是多边形。
4、多边形的切割：
把一个多边形分成多个互不重合的三角形。
（1）、从N边形的顶点开始切割，可切割为N-2个互不重合的三角形。
（2）、从N边形的边上一点（除开顶点）开始切割，可切割为N-1个互不重合的三角形。
（3）、从N边形的内部一点开始切割，可切割为N个互不重合的三角形。
第四节、点和线：
1、正确区分线段、直线、射线：
线段
射线
直线
端点
2个
1个
0个
能否延伸
不能
单一方向无限延伸
无限延伸
2、注意几个客观事实：
（1）、直线和射线的长度是无法测量的，更不能说画长度为多少的直线和射线。
（2）、射线和直线都可以由线段延伸得到。
（3）、两条射线共端点，延伸方向相反，组成的图形不是一条直线。
3、相关公理：
（1）、两点之间线段最短。
（2）、经过两点有一条直线，并且只有一条（两点确定一条直线）。
4、线段、射线、直线的表示方法：
（1）、线段和直线都可以用图中两个大写字母表示；
（2）、线段和直线可以用小写字母表示，但是必须将小写字母写在直线上。
（3）、射线用两个大写的字母表示时，端点字母写在前面。
5、线段的数量统计以及车票的印制。
直线上的点数
3
5
N
线段数量
3
10
车票
6
20
6、直线的交点个数（最多）：
直线的数量
3
5
N
交点的个数
3
10
第五节、线段的长点比较。
1、
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