随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案.doc
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习题4
以下如果没有指明变量的取值范围，一般视为，平稳过程指宽平稳过程。
1.设，这里为上的均匀分布.
（a）若，证明是宽平稳但不是严平稳，
（b）设，证明既不是严平稳也不是宽平稳过程.
证明：
（a）验证宽平稳的性质
（b）
2.设是平稳序列，定义为，证明：
这些序列仍是平稳的.
证明：
已知，
显然，为平稳过程.
同理可证，亦为平稳过程.
3.设这里和为正常数，k=1，....n;是（0,2）上独立均匀分布随机变量。
证明是平稳过程。
证明：
E=，
===0
D[cos（]=1/2-
cov）=）=1/2cost
E=0,D（）=.为常数
=
只与t有关，与n无关。
从而知道{.n=0,1,2….}为宽平稳的。
4.设，k=1,2…n是n个实数。
试问与之间应满足这样的条件才能使：
Solution:
要求
要求
5.设是一列独立同分布随机变量序列，，
令求的协方差
函数和自相关函数，p取何值时，此序列为平稳序列？
Solution:
协方差函数
自相关函数：
当p=时，
但协方差函数始终与n,n+m有关，还是不平稳！
6.设是一个平稳过程，对每一个，存在，证明对每个给定的，与不相关，其中.
Proof.，..
，.
7.设是Gauss过程，均值为0，协方差函数.
令，
（i）求和；
（ii）求的密度函数及；
（iii）求与的联合密度.
Solution.（i）.
（ii）.
~
.
（iii）~，
8.设是一个严平稳过程，为只取有限个值的随机变量.证明仍是一个严平稳过程.
Proof.
=p（（X（-），…，X（-）≤（,…，））
=.p（（X（-ak，…X（-ak）≤（,…,））
=.p（（X（-h-ak）,…X（-h-ak））≤（，…，））
=p（（y（-h）,…,y（-h））≤（,…，））=（，…，）
即知为严平稳.
9、设是一个严平稳过程，构造随机过程Y如下：
Y（t）=1,）若X（t）＞1，若X（t）＞0;-1，若X（t）≤0
证明Y（t）是一个平稳过程，如果进一步假定是均值为0的Gauss过程（平稳），证明为
证明：
P（（Y（）,…,Y（））=（，…，））
=P（X（），…，X（）中有的大于0，有的小于等于0）
=P（X（+h），…，X（+h）相应于X（），…，X（）中的符号不变）
=P（（Y（+h）,…,Y（+h））=（，…，））
即亦为严平稳的.
EX（t）=0,E=,X（t）N（0,）
EY（t）=1*P（Y（t）=1）-1*P（Y（t）=-1）=P（X（t）＞0）-P（X（t）≤0）=-=0
=EY（t+）Y（t）=P（X（t+）＞0,X（t）＞0）+P（X（t+）≤0,X（t）≤0）-P（X（t+）≤0,X（t）＞0）+P（X（t+）＞0,X（t）≤0）
+
－
－
＝２
－
极坐标变换：
＝
令
＝
＝
＝
＝
＝
注：
验证． 即可！
10.设是一个复值平稳过程，证明：
Proof：
11.设是零均值的平稳Gauss过程，协方差函数为，证明：
，其中为标准正态函数。
Proof：
12.设{x（t）}为连续平衡过程,均值m未知，协方差函数=,,.对固定的，令=。
证明：
（即是的无偏估计）以及
。
Proof:
，
=
=
=
13．设为平稳过程，以及的n阶导数存在，证明是平稳过程。
Proof:
由知
为平稳过程
14．证明定理4.1中关于平稳序列均值的遍历性定理。
Proof:
为均值遍历性
均值遍历性：
即
令,则
由均值遍历，知
知（A）
可推出（B）
由（B）很容易推出（A）
15、如果是均值为0的联合正态随机向量，则
proof:
协方差阵矩母函数
可知：
16、设为随机变量，其概率密度函数为
，设在给定下是上的均匀分布，
证明的均值遍历性。
Proof:
由推论4.2知：
是均值遍历的
17、设为白噪声序列，令则从而证明为平稳序列。
求出该序列的协方差函数，此序列是否具有遍历性？
Proof:
易知：
，
因，故为均值遍历的。
以下没有特殊声明，所涉及的过程均假定均值函数为零。
18．我们称一个随机过程X为平稳Gauss-Markov过程，如果X是平稳GaussProcess，并且具有Markov性，即对任意的，任意实数有。
试证明：
零均值的平稳Gauss-Markov过程的协方差函数具有这种形式，这里c为常数。
Proof：
19.根据markov性，f（x t3︱x t1，x t2）=f（x t3︱x t2）知
R（t3-t1）=R（t2-t1）R（t3-t2）,R（-）=R（）.
即R（0）R（+h）=R（）R（h）（>0,h>0）可知：
R（）=Ce-a︱︱
R（+h）/R（0）=R（）/R（0）*R（h）/R（0）即f（x）=R（x）/R（0）=e-at
R（0）=2C=2︱R（）︱
20.设{X（t）}为平稳过程，令y（t）=X（t+a）-X（t-a），分别以Rx、Sx和Ry、Sy记随机过程X和Y的协方差函数和功率谱密度函数，证明。
Ry（）=2Rx（）-Rx（+2a）-Rz（-2a），
Sy（）=4Sx（）sin2aw
ProofRy（）=Cov（y（t+），y（t））=E{（x（t++a）-m）-（x（t+-a）-m）}*
（（x（t+a）-m）-（x（t-a）-m））。
其中m=EX（t）
=E（X（t++a）-m）（X（t+a）-m）-E（X（t++a）-m）（x（t-a）-m）-E（X（t+-a）-m）（X（t+a）-m）+E（X（t+-a）-m）（x（t-a）-m）
=Rx（）-Rx（2a+）-Rx（-2a）+Rx（）=2Rx（）-Rx（2a+）-Rx（-2a）
Sy（）=Ry（）e-jw=（2Rx（）-Rx（+2a）-Rx（-2a））e-jw
=2Sx（w）-Rx（k）e-jwk*ej2aw-Rx（）e-jwk*e-j2aw
=2Sx（w）-2cos（2aw）Sx（w）=4Sx（w）sin2（aw）
21、设平稳过程X的协方差函数，试研究其功率密度函数的性质。
Solution:
由Wiener-Khintchine公式知，功率谱密度函数
22、设平稳过程的协方差函数，求功率谱密度函数.
Solution:
31.设为平稳序列，协方差函数为.
（1）求的形如的最小均方误差方差预报，a为待定常数
（2）求的形如的最小均方误差方差预报，a，b为待定
（3）上述两个预报中，哪个预报的均方误差要小些？
试用表示它们的差
（4）求的形如,的最小均方误差内插，（a,b为待定）
（5）设，其中N为固定常数，求的形如的最小均方误差预报，其中a,b为待定常数。
Solution：
（1）
（2）
（3）
=
（4）
（5）
差4-16
35.设{Xn,n=0,±1,….}为AR（p）模型：
n=…,-1,0,1,…
试导出Yule-Walker方程:
Proof.
36.考虑AR（p）模型：
n=…,-1,0,1,…
假定的根都在单位圆外，求功率谱密度函数
Proof
S（w）满足上述式子
37.考虑如下AR
（2）模型：
（1）
（2）
试用Yule-Walker方程导出协方差函数，证明它们的谱密度函数S（w）在（-，）上的图。
Proof
（1）
类似的，
38.求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。
（1）
（2）
Solution.
（1）
协方差函数
类似地，
，相关函数：
（2），
，
，
通过迭代：
求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数：
（1）
（2）
Solution:
（1）
=
=
（2）
=
=
=
42．考虑AR
（2）模型：
Solution：
41．考虑AR
（2）模型：
分析：
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