线性代数试题及答案doc.docx
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线性代数试题及答案doc
.
（试卷一）
一、填空题（本题总计20分，每小题2
分）
1.排列7623451的逆序数是_______。
a11
a12
a11
3a12
0
1，则a21
2.若a21
a22
3a22
0
0
6
1
3.已知n阶矩阵A、B和C满足ABCE，其中E为n阶单位矩阵，则B1CA。
4.若A为mn矩阵，则非齐次线性方程组
AXb有唯一解的充分要条件是
_________
5.设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A
为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维
数为__2。
6.设A为三阶可逆阵，
1
0
0
，则A*
A1
2
1
0
3
2
1
-
.
7.若A为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0有
非零解的充分必要条件是
1
2
3
4
5
3
0
4
1
2
8.已知五阶行列式D11
1
1
1
，则
1
1
0
2
3
5
4
3
2
1
A41A42A43A44A45
9.向量
（2,1,0,2）T的模（范数）______________。
10.若
1k1T与121T正交，则k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
1.向量组1,2,,r线性相关且秩为s，则（D）
Ａ．rsＢ．
Ｃ．srＤ．
rs
sr
2.若A为三阶方阵，且A2E0,2AE0,3A4E0，
则A（A）
-
.
Ａ．
Ｃ．
8Ｂ．8
4
Ｄ．4
3
3
3．设向量组A能由向量组B线性表示，则（d）
Ａ．R（B）R（A）Ｂ．R（B）R（A）
Ｃ．R（B）R（A）Ｄ．R（B）R（A）
4.设n阶矩阵A的行列式等于D，则kA等于
_____。
c
（A）kA（B）knA（C）kn1A
（D）A
5.设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的
是_____。
（A）ABAC则BC（B）AB0,则A0或
B0
（C）（AB）TATBT（D）（AB）（AB）A2B2
-
.
三、计算题（本题总计60分。
1-3每小题
8分,4-7
每小题9分）
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
。
1.计算n阶行列式D
2
2
2
n1
2
2
2
2
2
n
2．设A为三阶矩阵，A*
为A的伴随矩阵，
且A12，求（3A）12A*.
3．求矩阵的逆
111
A211
120
4.讨论为何值时，非齐次线性方程组
2
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x31
①有唯一解；②有无穷多
解；③无解。
-
.
5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线
性方程组的基础解系和此方程组的通解。
x1
x2
x3x4
2
2x1
3x2
x3
x41
x1
2x3
2x4
5
6.已知向量组110
23T、2
1135T、
31131T、41249T、51125T，求此向
量组的一个最大无关组，并把其余向量用
该最大无关组线性表示．
1
1
0
7.求矩阵A4
3
0
的特征值和特征向量．
1
0
2
四、证明题（本题总计10分）
设为AXbb0的一个解，1,2LLnr为对应
齐次线性方程组AX0的基础解系，证明
1,2LLnr,线性无关。
（答案一）
一、填空题（本题总计20分，每小题2分）
-
.
1~15；2、3；3、CA；4、RA
R（A,b）n；5、2；6、
1
0
0
；7、RAn；8、0；9、3；10、1。
.二、选
2
1
0
3
2
1
择题（本题总计10分，每小题2分1、D；2、
A；3、D；4、C；5、B
三、计算题（本题总计
60分，1-3
每小题8
分，
4-7
他每小题9
分）
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1、
解：
D
rir2（i
0
0
1
0
0
3,4,,n）
0
0
0
n3
0
0
0
0
0
n2
------3
分
1
2
2
2
2
0
2
2
2
2
r2
0
0
1
0
0
-------6
分
2r1
0
0
0
n
3
0
0
0
0
0
n2
1（
2）12
（n
3）（n2）
2（n
2）!
----------8
分
（此题的方法不唯一，可以酌情给分。
）
-
.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
------1分
解：
（1）AB2A1
1
1
1
3
1
21
1
1
1
1
1
2
1
4
1
1
1
4
6
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
0
0------5
2
0
6
2
2
2
0
2
4
分
（
2
）
1
1
3
5
9
3
4
8
0
--------8
分
A2
B2
1
1
1
2
10
6
3
11
7
3
1
1
11
11
17
8
12
16
3.设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且A12，
求（3A）
1
2A
*
.因A
A＝AE
2
E，故A
*
A
n1
4
3
分
*
1
1
A1
A
2A*
5分
1A
*
2A*
4A*
3
8分
（3A）1
2A*
2A*
4
1
16
3
3
3
4
27
4、解：
（A,E）
1
0
0
1
0
0
r2
r1
1
0
0
1
0
0
---3
分
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
r3
r1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
10
0100r1
（1）100
10
0
---6
分
r3
r2
0
1
01
1
0
r2
（
1）
01
0
1
1
0
0
0
1211r3
（1）001
2
1
1
故A1
1
0
0
-------8
分
（利用
1
1
0
2
1
1
-
.
A11AA公式求得结果也正确。
）
1
1
1
r1
r3
1
1
2
5、解；（A,b）
1
1
1
r2
r1
0
1
2
1
1
2
r3
r1
0
1
1
2
1
3
1
1
2
1
1
---------3
0
2
0
0
（2
）（1
）
（1
）2（1
）
（1）唯一解：
R（A）R（A,b）3
1且
分
（2）无穷多解：
R（A）R（A,b）31
分
r3r2
分
2------5
--------7
（3）无解：
R（A）
R（A,b）
2--------9
分
（利用其他方法求得结果也正确。
）
6、解：
（A,b）
1
1
1
1
2
1
0
2
2
5
分
2
3
1
1
1
r
0
1
1
1
3--------3
1
0
2
2
5
0
0
0
0
0
2
x1
2x3
2x4
0
基础解系为
1
，
x2
x3
x4
0
1
1
0
2
1
-----6
分
2
0
1
-
.
5
x1
2x3
2x4
5
令x3
x40，得一特解：
3
---7
分
x2
x3
x4
3
0
0
故原方程组的通解为：
5
2
2
k11k22
3
k1
1
k2
1
，其中k1,k2R---9
分（此题结
0
1
0
0
0
1
果表示不唯一，只要正确可以给分。
）
7、解：
特征方程
1
1
0
从而
AE43
0
（2）
（1）2
1
0
2
12,231
（4分）
当12时，由（A2E）X0得基础解系1（0,0,1）T，即对应于12
的全部特征向量为k11（k10）
（7分）
当231时，由（AE）X0得基础解系2（1,2,1）T，即对应
于231的全部特征向量为k22（k20）
四、证明题（本题总计10分）
证：
由1,2LLnr为对应齐次线性方程组AX0的基础解系，则1,2LLnr线性无关。
（3分）
-
.
反证法：
设1,2LLnr,线性相关，则可由1,2LLnr
线性表示，即：
11
rr
（6分）
因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方
程组解，故必是AX0
的解。
这与已知条件
为
AXbb0的一个解相矛盾。
（9
分）.
有上可知，
1,2LLnr,线性无关。
（10
分）
（试卷二）
一、填空题（本题总计20分，每小题2
分）
1.排列6573412
的逆序数是
．
2x
11
2.函数f（x）x
xx
中x3的系数是
．
1
2x
3．设三阶方阵A的行列式A3,则（A*）1=
A/3．
4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的
-
.
充要条件是
-
.
．
5．设向量
（1,2,1）T，=
2
正交，则
2
．
6．三阶方阵A的特征值为1，1，2，则
A＝
．
7.设A1
1
2
1
，则A_________.
0
2
1
0
0
3
8.设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间
维数为．
9．设A为n阶方阵，且A＝2则
（1
A）1
A*
3
2
0
0
10．已知A2
x
2
3
1
1
x，y
．
1
相似于B
2，则
y
．
-
.
二、选择题（本题总计10分，每小题2
分）
1.设n阶矩阵A的行列式等于D，则－5A等
于．
（A）（5）nD（B）-5D（C）5D
（D）（5）n1D
2.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条
件是.
（A）矩阵A有n个线性无关的特征向
量
（B）矩阵A有n个特征值
（C）矩阵A的行列式A0
（D）矩阵A的特征方程没有重根
3．A为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有
唯一解的充要条件是．
-
.
（B）
（D）
（A）
R（A,b）m
R（A）m
（C）
R（A）R（A,b）n
R（A）R（A,b）n
4.设向量组A能由向量组B线性表示，则
（）
（A）．
（C）．
R（B）R（A）（B）．R（B）R（A）
R（B）R（A）
（D）．R（B）R（A）
5.向量组1,2,L,s线性相关且秩为r，
则．
（A）rs（B）rs（C）rs
（D）sr
三、计算题（本题总计60分，每小题10
-
.
分）
-
.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1.计算n阶行列式:
2
2
3
2
2
.
D
2
2
2
n1
2
2
2
2
2
n
2．已知矩阵方程AXAX，求矩阵X,其中
220
A213.
010
3.设n阶方阵A满足A22A4E0,证明A3E可逆，
并求（A3E）1.
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对
应的齐次线性方程组的基础解系:
x1x2x32x43
2x1x23x38x48
3x12x2x39x4
5
x22x33x44
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并
将其余向量用最大无关组线性表示．
-
.
2
1
2
3
1
4
2
1
3
3
4
5.
2
0
1
2
6．
已
知
二
次
型
：
f（x1,x2,x3）2x12
5x22
5x32
4x1x2
4x1x38x
2x
3
，
用正交变换化f（x1,x2,x3）为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．
四、证明题（本题总计10分，每小题10分）
设b1a1,b2a1a2,L,bra1a2Lar,且向量组
a1,a2,,ar线性无关，证明向量组b1,b2,,br线性无关.
（答案二）
一、填空题（本题总计20分，每小题2分）
1.172.-23．
1
．R（A）n5
．
26．-27．
1
1
或
3A4
6
A
-
.
1
2
1
1
n
10、x0,y2
2
（－1）
0
18．29、
2
6
0
3
0
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
1.A2.A3.C4.D5.B
三、计算题（本题总计60分，每小题10分）
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1、
0
0
1
0
0
解：
Drir2（i3,4,,n）
0
0
0
n3
0
0
0
0
0
n2
------4分
1
2
2
2
2
0
2
2
2
2
r2
0
0
1
0
0
-------7
分
2r1
0
0
0
n
30
0
0
0
0
n2
1
（2）12
（n
3）（n2）
2（n
2）!
---------
10
分（此
题的方法不唯一，可以酌情给分。
）
2．求解AXAX，其中
220
A213
010
-
.
解：
由AXAX得
XAEA
（3
1
分）
1
2
0
2
2
0
（6分）
AE,A2
0
3
2
1
3
0
1
1
0
1
0
1
0
0
2
2
6
（8分）
r
:
0
1
0
2
0
3
0
0
1
2
1
3
所
以
2
2
6
X2
0
3
2
1
3
（10分）
3．解：
利用由A22A4E0可得：
（A3E）（AE）E0
--------5分
即
（A3E）（AE）E
------7分
故A3E可逆且
（A3E）1（AE）--------10分
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．
-
.
x1
x2
x3
2x4
3
2x1
x2
3x3
8x4
8
3x1
2x2
2x3
9x4
5
x1
2x2
3x3
4
1
1
1
2
3
1
1
1
2
3
解：
（Ab）
2
13
8
8
r01
23
4
（2分）
3
2
1
9
5
0
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