线性代数试题及答案doc.docx

1、线性代数试题及答案doc.（试卷一）一、 填空题（本题总计 20 分，每小题 2分）1.排列 7623451 的逆序数是 _ 。a11a12a113a1201，则 a212. 若 a21a223a2200613.已知 n 阶矩阵 A 、 B 和 C 满足 ABC E ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 B 1 CA。4.若 A 为 m n 矩阵，则非齐次线性方程组AX b 有唯一解的充分要条件是_5.设 A 为 8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以 A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 _2 。6.设 A 为三阶可逆阵，100，则 A*A 1210321-.7.若 A 为 m n 矩阵，

2、则齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充分必要条件是12345304128.已知五阶行列式D11111， 则1102354321A41 A42 A43 A44 A459. 向量( 2,1,0,2)T 的模（范数） _ 。10. 若1 k 1 T 与12 1 T 正交，则 k二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 向量组 1, 2 , , r 线性相关且 秩为 s，则 (D) r s s r rssr2. 若 A 为三阶方阵，且 A 2E 0, 2A E 0,3A 4E 0，则A (A)-.8 84 4333设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 ( d ) R(B) R( A

3、) R( B) R( A) R( B) R( A) R( B) R( A)4.设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 D ，则 kA 等于_。c( A) kA ( B) k n A (C ) k n 1 A(D) A5.设 n 阶矩阵 A ， B 和 C ，则下列说法正确的是 _。(A)AB AC 则 B C (B) AB 0,则A 0或B 0(C) (AB)T AT BT (D) (A B)( A B) A2 B2-.三、计算题（本题总计 60 分。 1-3 每小题8 分,4-7每小题 9 分）122222222222322。1. 计算 n 阶行列式 D222n 122222n2设 A 为三阶矩阵

4、， A *为 A 的伴随矩阵，且 A 12，求 (3A) 1 2A* .3求矩阵的逆1 1 1A 2 1 11 2 04.讨论 为何值时，非齐次线性方程组2x1 x2 x3x1 x2 x3x1 x2 x3 1 有唯一解； 有无穷多解； 无解。-.5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。x1x2x3 x422x13x2x3x4 1x12x32x456.已知向量组 1 1023T、21135T、3 1 1 3 1T、4 1 2 4 9T、5 1 1 2 5T，求此向量组的一个最大无关组， 并把其余向量用该最大无关组线性表示1107. 求矩阵A 430的特征值和特征

5、向量102四、证明题（本题总计 10 分）设 为 AX b b 0 的一个解， 1 , 2 L L n r 为对应齐次线性方程组 AX 0的基础解系，证明1, 2 L L n r , 线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）-.115 ；2、3；3 、 CA；4、 R AR( A,b) n ；5 、2 ；6 、100；7 、 R A n ；8、0 ；9 、3；10 、1 。.二、选210321择题（本题总计 10 分，每小题 2 分 1 、D ；2、A；3、D ；4、C；5、B三、计算题（本题总计60 分， 1-3每小题 8分，4-7他每小题 9分）12222222

6、221、解： Dri r2 (i001003,4, , n)000n 300000n 2-3分1222202222r200100-6分2r1000n300000n 21 (2)12(n3) ( n 2)2(n2)!-8分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）-.111121111-1 分解：（1） AB 2A 1111312 111111214111464222242222222400 -5206222024分（2）113593480-8分A2B 211121063117311111117812163.设 A 为三阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵， 且 A 12 ，求 (3A)12A*. 因

7、AA AE2E，故 A*An 143分*11A 1A2A *5 分1 A*2 A *4 A *38 分(3A) 12A *2A *41163334274、解： ( A,E)100100r2r1100100-3分110010010110r3r11110010111011 00 1 0 0 r1(1)1001 00-6分r3r2010 110r2(1)0 10110001 2 1 1 r3(1)001211故 A 1100-8分（利用110211-.A 1 1A A 公式求得结果也正确。）111r1r31125 、解； ( A, b)111r2r1012112r3r101121311211-302

8、00(2)(1)(1)2(1)（1 ）唯一解：R( A) R( A,b) 31且分（2 ）无穷多解： R( A) R( A,b) 3 1分r3 r2分2 -5-7（3）无解：R(A)R( A, b)2-9分（利用其他方法求得结果也正确。 ）6 、解： ( A, b)1111210225分23111r01113 -310225000002x12x32x40基础解系为1，x2x3x4011021-6分201-.5x12x32x45令 x3x4 0 ，得一特解：3-7分x2x3x4300故原方程组的通解为：522k1 1k2 23k11k21，其中 k1 ,k 2R -9分（此题结010001果表示

9、不唯一，只要正确可以给分。 ）7 、解：特征方程110从而AE430(2)( 1)21021 2, 2 3 1(4 分)当 1 2时，由 ( A 2E) X 0 得基础解系 1 (0,0,1)T ，即对应于 1 2的全部特征向量为 k1 1 (k1 0)(7 分)当 2 3 1时，由 ( A E) X 0 得基础解系 2 ( 1, 2,1)T ，即对应于 231 的全部特征向量为 k2 2 (k2 0)四、证明题（本题总计 10 分）证： 由 1 , 2 L L n r 为对应齐次线性方程组 AX 0 的基础解系，则 1, 2 L L n r 线性无关。 (3 分)-.反证法：设 1, 2 L

10、 L n r , 线性相关，则 可由 1, 2 L L n r线性表示，即：1 1r r(6 分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是 AX 0的解。这与已知条件为AX b b 0 的一个解相矛盾。 (9分 ).有上可知，1 , 2 L Ln r , 线性无关。 (10分)(试卷二 )一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2分）1. 排列 6573412的逆序数是2 x112.函数 f (x) xx x中 x3 的系数是12 x3 设三阶方阵 A 的行列式 A 3 ,则 (A*) 1 =A/3 4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的-.充要条件是-.5设向量(1,

11、2, 1)T ，=2正交，则26三阶方阵 A 的特征值为 1， 1，2，则A 7. 设A1121，则 A _ .0210038.设 A 为 8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 9 设 A 为 n 阶方 阵，且 A 2 则( 1A) 1A*320010已知A 2x2311x ， y1相似于B2， 则y-.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分）1.设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 D ，则 5A 等于 (A) ( 5)n D (B)-5 D (C) 5 D(D) ( 5)n 1 D2. n 阶方阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A)

12、矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量(B)矩阵 A 有 n 个特征值(C)矩阵 A的行列式 A 0(D)矩阵 A 的特征方程没有重根3A 为 m n 矩阵，则非齐次线性方程组 AX b 有唯一解的充要条件是 -.(B)(D)(A)R( A, b) mR( A) m(C)R( A) R( A,b) nR( A) R( A, b) n4.设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( )(A)(C)R( B) R( A) (B)R( B) R( A)R( B) R( A)(D) R(B) R( A)5.向 量 组1, 2 ,L , s 线 性 相 关 且 秩 为r ，则(A) r s (B) r

13、s (C) r s(D) s r三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10-.分）-.12222222221. 计算 n 阶行列式 :22322.D222n 122222n2 已知矩阵方程 AX A X ，求矩阵 X , 其中2 2 0A 2 1 3.0 1 03.设 n 阶方阵 A 满足 A2 2A 4E 0 ,证明 A 3E 可逆，并求 (A 3E) 1.4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 :x1 x2 x3 2x4 32x1 x2 3x3 8x4 83x1 2x2 x3 9x45x2 2x3 3x4 45求下列向量组的秩和一个最大无关组 ,并将其余向量用最

14、大无关组线性表示-.212314,21,33,45 .20126已知二次型：f ( x1 , x 2 , x3 ) 2 x125 x 225 x324 x1 x 24 x1 x 3 8 x2 x3，用正交变换化 f ( x1 , x 2 , x 3 ) 为标准形，并求出其正交变换矩阵 Q四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设 b1 a1 , b2 a1 a2 , L , br a1 a2 L ar , 且向量组a1 , a2 , ,ar 线性无关，证明向量组 b1 ,b2 , ,br 线性无关.(答案二 )一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.172.-23 1 R

15、( A) n 526-27 11或3 A 46A-.1211n10 、 x 0, y 22（1）01 8 29、26030二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.A 2.A 3.C 4.D 5.B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）12222222221、00100解： Dri r2 (i 3,4, , n)000n 300000n 2-4 分1222202222r200100-7分2r1000n3 00000n 21(2)12(n3) ( n 2)2(n2)! -10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）2求解 AX A X ，其中2 2 0A2 1 30 1 0-.解：由 AX A X得XAEA(31分)120220(6 分)AE,A203213011010100226(8 分)r: 010203001213所以226X203213(10 分)3解：利用由A2 2A4E 0可得：(A3E)(AE) E 0-5 分即(A 3E)(A E) E-7 分故A3E可逆且(A 3E) 1 ( A E) -10 分4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系-.x1x2x32x432x1x23x38x483x12x22x39x45x12x23x341112311123解： ( A b)21 388r 0 12 34(2 分)321950