系统的守恒.docx
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系统的守恒
多个物体组成的系统机械能守恒问题
台前一高刘庆真
【例1】.（2008·全国高考）如图1所示,一很长的､不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小球a和b.a球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为（）答案:
B
A.hB.1.5hC.2hD.2.5h
图1图2
【例2】.如图2所示,在倾角为30°的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上（细绳与斜面平行）,另一端系有一细绳套.图中物体A处于静止状态,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:
（1）未挂物体B时,弹簧的形变量;
（2）物体A的速率最大时,弹簧的形变量;
（3）物体A的最大速率.
解析:
（1）未挂物体B时,设弹簧压缩量为X1,对物体A由平衡条件得:
kX1-mgsin30°=0①
解得:
X1=.②
（2）挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为x2,由牛顿第二定律得:
对物体A:
T-mgsin30°-kX2=0③
对物体B:
T-mg=0④
由③④得:
X2=.⑤
（3）因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大速度为vm,对于A､B及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得:
mg（X1+X2）=mg（X1+X2）sin30°+（2m）v2m⑥
由②⑤⑥解得:
.
【例3】．如图3所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1）两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；
（2）此过程中杆对B球所做的功．
图3图4
解：
（1）由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两小球组成的系统机械能守恒．两小球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
mgh＋mg（h＋Lsinθ）＝2×
mv2，
解得v＝
.
（2）根据动能定理，对B球有W＝
mv2－mgh＝
mgLsinθ.
【例4】.（2011年长春调研）如图4所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端各固定质量为2m和m的A、B两个小球，光滑的铁钉穿过小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略一切阻力．下列说法正确的是
A．杆转到竖直位置时，A、B两球的速度大小相等为
B．杆转到竖直位置时，杆对B球的作用力向上，大小为
mg
C．杆转到竖直位置时，B球的机械能减少了
mgL
D．由于忽略一切摩擦阻力，A球机械能一定守恒
解析：
选B.由于转动过程中，两球的角速度相等，半径相同，故线速度相同，根据机械能守恒定律：
2mgL－mgL＝
（2m＋m）v2，解得线速度v＝
，A错误；此时设杆对B球的作用力T竖直向下，对B球：
T＋mg＝m
，则杆对B球的作用力为T＝－
mg，负号表示杆对B球的作用力向上，B正确；B球的机械能增加量为mgL＋
mv2＝
mgL，C错误；由于杆对A球做负功，A球的机械能减少，减少的机械能等于B球增加的机械能，D错误．
【例5】．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为
R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点（如图所示），由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．乙球从右向左滑回时，一定能回到凹槽的最低点
解析：
选AD.由于甲、乙组成的系统机械能守恒，所以下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能．如果甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点，则机械能增加．故A、D正确．
【例6】.如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．若将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？
已知重力加速度为g.
解：
开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有
kX1＝m1g①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离开地面时弹簧伸长量为x2，则
kX2＝m2g②
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点．由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
ΔE＝m3g（X1＋X2）－m1g（X1＋X2）③
C换成D后，当B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得
（m3＋m1）v2＋
m1v2＝（m3＋m1）g（x1＋x2）－m1g（x1＋x2）－ΔE④
由③④式得
（2m1＋m3）v2＝m1g（x1＋x2）⑤
由①②⑤式得v＝
【例7】．如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，B放在水平面上，A、B均静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．不计一切摩擦，A、B可视为质点．在A下滑的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B组成的系统机械能守恒
B．在A落地之前轻杆对B一直做正功
C．A运动到最低点时的速度为
D．当A的机械能最小时，B对水平面的压力大小为2mg
解析：
选AC.因为系统内没有机械能与其他能的相互转化，所以A、B组成的系统机械能守恒，A正确；当A运动到最低点时，因为B此时的速度为零，所以mgL＝
mvA2，即vA＝
，C正确；而B的速度先增大后减小，所以在A落地之前轻杆对B先做正功，再做负功，B错误；当A的机械能最小时，则B的机械能最大，即B的速度达到最大，由于A在竖直方向有向下的加速度，即系统处于失重状态，故B对水平面的压力小于2mg，D错误．
【例8】．如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为m、2m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体A下落过程中的任意时刻，加速度不会为零
B．此时弹簧的弹性势能等于（mgh＋
mv2）
C．此时物体B处于平衡状态
D．此过程中物体A的机械能变化量为（mgh＋
mv2）
解析：
选C.对物体A进行受力分析可知，当弹簧的弹力大小为mg时，物体A的加速度为零，A错误；由题意和功能关系知弹簧的弹性势能为Ep＝mgh－
mv2，B错误；当物体B对地面恰好无压力时，说明弹簧的弹力大小为2mg，此时B所受合外力为零，恰好处于平衡状态，C正确；弹簧的弹性势能的增加量等于物体A的机械能的变化量，D错误．
【例9】．（12分）（2011年苏北四市调研）如图所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m＝0.4kg的小物块A，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D，连接小物块A和小物块B，虚线CD水平，间距d＝1.2m，此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为37°，小物块A恰能保持静止．现在在小物块B的下端挂一个小物块Q（未画出），小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处．不计摩擦和空气阻力，cos37°＝0.8、sin37°＝0.6，重力加速度g取10m/s2.求：
（1）小物块A到达C处时的加速度大小；
（2）小物块B的质量；
（3）小物块Q的质量．
解：
（1）当小物块A到达C处时，由受力分析可知：
水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，所以小物块A的加速度a＝g＝10m/s2.
（2）设小物块B的质量为mB，绳子拉力为FT，根据平衡条件：
FTcos37°＝mg FT＝mBg
联立解得mB＝0.5kg.
（3）设小物块Q的质量为m0，根据系统机械能守恒得：
mghAC＝（mB＋m0）ghB hAC＝dcot37°＝1.6m
hB＝
－d＝0.8m，解之得：
m0＝0.3kg.
【例10】．（16分）如图10所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌面距水平地面的高度也为R.在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A，b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为
R.已知小球a质量为m，小球b质量为2m，重力加速度为g.求：
图10图11
（1）释放后小球a离开弹簧时的速度va大小；
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度vb大小；
（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能．
解：
（1）a球恰能通过半圆环轨道最高点A时mg＝m
a球从B运动到A的过程中机械能守恒：
mvB2＝
mvA2＋mg·2R
联立解得：
va＝vB＝
.
（2）b球则从桌面C点滑出做平抛运动：
h＝R＝
gt2
vC＝
代入数据求得：
vb＝vC＝
.
（3）两球获得的初动能之和等于弹簧的弹性势能：
Ep＝
mva2＋
mbvb2
得Ep＝3.75mgR.
【例11】.如图11所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架.在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直.放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是（）
A.A球到达最低点时速度为零
B.A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D.当支架从左向右摆回时,A球能回到起始高度
解析:
因A处小球质量大,处的位置高,图中三角形框架处于不稳定状态,释放后支架就会向左摆动.摆动过程中只有小球受的重力做功,故系统的机械能守恒,选项B正确,D选项也正确.A球到达最低点时,若设支架边长是L,A球下落的高度便是
L,有mg（
L）的重力势能转化为支架的动能,因而此时A球速度不为零,选项A错.当A球到达最低点时有向左运动的速度,还要继续左摆,B球仍要继续上升,因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高,C选项也正确.答案:
BCD
【例12】如图12所示,半径为r,质量不计的圆盘盘面与地面相垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点处固定一个质量也为m的小球B,放开盘让其自由转动,问:
（1）当A球转到最低点时,两球的重力势能之和减少了多少?
（2）当A球转到最低点时的线速度是多少?
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?
图12图14
【例14】如图14所示,在倾角为30°的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上（细绳与斜面平行）,另一端系有一细绳套.图中物体A处于静止状态,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:
（1）未挂物体B时,弹簧的形变量;
（2）物体A的速率最大时,弹簧的形变量;
（3）物体A的最大速率.
解析:
（1）未挂物体B时,设弹簧压缩量为x1,对物体A
由平衡条件得:
kX1-mgsin30°=0①
解得:
X1=②
（2）挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为X2,由牛顿第二定律得:
对物体A:
T-mgsin30°-kX2=0③
对物体B:
T-mg=0④
由③④得:
X2=.⑤
（3）因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大速度为Vm,对于A､B及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得:
mg（X1+X2）=mg（X1+X2）sin30°+（2m）Vm2⑥
由②⑤⑥解得:
.
【例15】（2008·江苏高考）如图15所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是（）
图15图16图17
A.θ=90°B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
解析:
设b球能摆到最低点,由机械能守恒定律得
mv2=mgl.又T-mg=mv2/l可得T=3mg,则A正确,B错误.球b在摆动过程中竖直速度先增大后减小,所以重力的功率先增大后减小,则C正确,D错误.答案:
AC
【例16】．（12分）如图16所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A、B，两小球用一根长L的轻杆相连，下面的B球离斜面底端的高度为h，两球从静止开始下滑并从斜面进入光滑平面（不计与地面碰撞时的机械能损失）．求：
（1）两球在光滑平面上运动时的速度；
（2）在这一过程中杆对A球所做的功；
（3）杆对A做功所处的时间段．
解析：
（1）因系统机械能守恒，所以有：
mgh＋mg（h＋Lsinθ）＝
×2mv2，
解得v＝
.
（2）以A球为研究对象，由动能定理得：
mg（h＋Lsinθ）＋W＝
mv2.
则mg（h＋Lsinθ）＋W＝
m（2gh＋gLsinθ），
解得W＝－
mgLsinθ.
（3）从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内，杆对A球做了W的负功．
答案：
（1）
（2）－
mgLsinθ （3）从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内
【例17】（2010·江苏苏、锡、常、镇四市联考）如图17所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动（转轴在杆的中点），不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法正确的是（ ）
A．运动过程中B球机械能守恒
B．运动过程中B球速度大小不变
C．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变
D．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化
思路分析：
轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化．
解析：
以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功（轻杆对两球做功的和为零），两球的机械能守恒．以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E＝2×
mv2＝mv2.假设A球下降h，则B球上升h，此时两球的速度大小是v′，由机械能守恒定律知mv2＝
mv′2×2＋mgh－mgh，得到v′＝v，故运动过程中B球速度大小不变．当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加．由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的，B、D正确．
【例18】如图18所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物体A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H.
解析：
设物块沿斜面下滑s距离时的速度为v，由机械能守恒得
（4m＋m）v2＝4mgssin30°－mgs①
细线突然断开的瞬间，物块B竖直上升的速度为v，此后B做竖直上抛运动，设继续上升的距离为h，由机械能守恒得
mv2＝mgh②
物块B上升的最大高度H＝h＋s③
由①②③解得H＝1.2s.
【例19】 如图19所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时将小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，甲上升，乙下降，当甲上升到圆柱的最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系．
图18图19图20
解析：
当小球甲上升到圆柱体最高点时，绳子突然断开，此时甲恰好做平抛运动，说明甲对圆柱体无压力，由牛顿第二定律得：
m1g＝m1
，以小球甲、乙和地球为系统，有：
m2g（R＋
）－m1g×2R＝
（m1＋m2）v2，
由以上两式可求得：
m2＝
m1.
【例20】．如图20所示，质量均为m的物块A和B用轻弹簧连接起来，将它们悬于空中静止，弹簧处于原长状态，A距地面高度h＝0.90m．同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B的反弹，使A刚好能离开地面，若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长，从A距地面高度为h′处同时释放，A也刚好能离开地面．已知弹簧的弹性势能EP与弹簧的劲度系数k和形变量x的关系是：
EP＝
kx2.试求：
（1）B反弹后，弹簧的最大伸长量；
（2）h′的大小．
解析：
（1）A、B整体自由下落时，系统机械能守恒，设A刚落地时，具有共同速度vB，所以
2mgh＝
×2mvB2，得vB＝
.
从此以后，物块B压缩弹簧，直至反弹，该过程物块B和弹簧组成的系统机械能守恒，当A刚好离开地面时，弹簧的伸长量最大，设为x，则
对A有：
mg＝kx，
对B和弹簧有：
mvB2＝mgx＋
kx2.
解以上各式得：
x＝0.6m.
（2）将B换成C后，根据第
（1）问的分析有以下各式成立
vC＝
，mg＝kx，
×（2m）·vC2＝
kx2＋2mgx.
解得h′＝0.75m.
答案：
（1）0.6m
（2）0.75m
【例21】．如图21所示,一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°.
（1）求小球A与小球B的质量比mA∶mB.
（2）辨析题:
现将A球质量改为2m、B球质量改为m,且开始时A球位于碗口C点,由静止沿碗下滑,当A球滑到碗底时,求两球的速率为多大?
（3）在满足第
（2）问中的条件下,求A球沿碗壁运动的最大位移是多少?
图21
解：
（1）设绳上拉力为FT,碗对A球的弹力为FN,
根据对称性可得:
FN=FT
由平衡条件:
2FTsin60°=mAg
对B球,受拉力与重力平衡得FT=mBg
联立得mA∶mB=∶1
（2）A球在碗底时,VA不等于VB,应将VA沿绳和垂直于绳的方向分解,沿绳子方向的分速度即等于B球的速度VB的大小.
即:
根据机械能守恒定律有
（3）球A经过碗底后继续上升,当速度减小为零时沿碗壁有最大位移,如右图所示,此时A相对碗边缘的高度为
由机械能守恒有2mgh-mgx=0
联立以上两式可得:
x=R
【例22】如图22所示,一个半径为R=0.3m的半圆形轻质弯管上固定有两个小球A、B,C为弯管的圆心,AC⊥OB,弯管可以绕左端转轴O在竖直平面内无摩擦自由转动.已知mA=2kg,mB=1kg,取g=10m/s2,由静止开始释放此装置,则
（1）当B球摆到最低点时系统减少的重力势能是多大?
（2）当A球摆到最低点时,A的动能是多大?
图22图23
解析
（1）B球到达最低点时,系统减少的机械能
ΔE=mAghA1+mBghB1
hA1、hB1分别为A、B两球下落的高度,因为hA1=2R,hB1=2R
所以ΔEP=18J
（2）A球到达最低点时,由系统机械能守恒得
A、B具有相同的角速度,转动半径
rA=R,rB=2R
所以vA=vB
A、B下落的高度分别为
HA2=R+R,
hB2=R
可得
【例23】．如图23所示,A、B、C质量分别为mA=0.7kg,mB=0.2kg,mC=0.1kg,B为套在细绳上的圆环,A与水平桌面的动摩擦因数μ=0.2,另一圆环D固定在桌边,离地面高h2=0.3m,当B、C从静止下降h1=0.3m,C穿环而过,B被D挡住,不计绳子质量和滑轮的摩擦,取g=10m/s2,若开始时A离桌边足够远.试求:
（1）物体C穿环瞬间的速度.
（2）物体C能否到达地面?
如果能到达地面,其速度多大?
解析
（1）由能量守恒定律得
（mB+mC）gh1=（mA+mB+mC）v12+μmAg·h1
可求得:
（2）设物体C到达地面的速度为v2,由能量守恒定律得
可求出
故物体C能到达地面,到地面的速度为
【例24】．如图24所示,一根不可伸长的轻质细线跨过光滑固定的小滑轮,细线两端各系一个小物块A、B,质量分别为m、4m,开始时用手托住B,细线刚好被拉直,B距离地面和滑轮的高度差均为h.现在把B无初速释放,B与地面接触后不再反弹,求A上升的最大高度.
图24图25
解：
B下落的高度为h,设此时A、B的速度大小
为v,对A、B,应用系统机械能守恒有
解得
之后A做竖直上抛运动,上升最大距离为
不会与滑轮相撞,所以A上升的最大高度为H=h+L=1.6h.
【例25】如图25所示,若上例中的A串在空中水平光滑杆上可以自由滑动,且开始时细线与水平方向夹角为θ=30°,求A运动的最大速度.
解析A开始受到细线向右的拉力分力,向右加速,到左滑轮正下方时加速度为零、加速运动结束,之后继续向右运动,但细线拉力分力向左,做减速运动,所以在左滑轮正下方、细线与水平夹角为90°时,A的速度最大,设为v.根据速度分解,可知此时B的速度为
V1=vcos90°=0.
从开始到A速度最大的过程中,对AB应用系统机械能守恒,有
根据几何关系可知,B下降的高度为
解得v=4gh.
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