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系统的守恒
多个物体组成的系统机械能守恒问题
台前一高刘庆真
【例1】.(2008·全国高考)如图1所示,一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小球a和b.a球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为()答案:
B
A.hB.1.5hC.2hD.2.5h
图1图2
【例2】.如图2所示,在倾角为30°的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上(细绳与斜面平行),另一端系有一细绳套.图中物体A处于静止状态,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:
(1)未挂物体B时,弹簧的形变量;
(2)物体A的速率最大时,弹簧的形变量;
(3)物体A的最大速率.
解析:
(1)未挂物体B时,设弹簧压缩量为X1,对物体A由平衡条件得:
kX1-mgsin30°=0①
解得:
X1=.②
(2)挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为x2,由牛顿第二定律得:
对物体A:
T-mgsin30°-kX2=0③
对物体B:
T-mg=0④
由③④得:
X2=.⑤
(3)因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大速度为vm,对于A、B及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得:
mg(X1+X2)=mg(X1+X2)sin30°+(2m)v2m⑥
由②⑤⑥解得:
.
【例3】.如图3所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B,两球之间用一根长为L的轻杆相连,下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑,不计球与地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑,求:
(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小;
(2)此过程中杆对B球所做的功.
图3图4
解:
(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失,因此两小球组成的系统机械能守恒.两小球在光滑水平面上运动时的速度大小相等,设为v,根据机械能守恒定律有:
mgh+mg(h+Lsinθ)=2×
mv2,
解得v=
.
(2)根据动能定理,对B球有W=
mv2-mgh=
mgLsinθ.
【例4】.(2011年长春调研)如图4所示,一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O,两端各固定质量为2m和m的A、B两个小球,光滑的铁钉穿过小孔垂直钉在竖直的墙壁上,将轻杆从水平位置由静止释放,转到竖直位置,在转动的过程中,忽略一切阻力.下列说法正确的是
A.杆转到竖直位置时,A、B两球的速度大小相等为
B.杆转到竖直位置时,杆对B球的作用力向上,大小为
mg
C.杆转到竖直位置时,B球的机械能减少了
mgL
D.由于忽略一切摩擦阻力,A球机械能一定守恒
解析:
选B.由于转动过程中,两球的角速度相等,半径相同,故线速度相同,根据机械能守恒定律:
2mgL-mgL=
(2m+m)v2,解得线速度v=
,A错误;此时设杆对B球的作用力T竖直向下,对B球:
T+mg=m
,则杆对B球的作用力为T=-
mg,负号表示杆对B球的作用力向上,B正确;B球的机械能增加量为mgL+
mv2=
mgL,C错误;由于杆对A球做负功,A球的机械能减少,减少的机械能等于B球增加的机械能,D错误.
【例5】.内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,一根长度为
R的轻杆,一端固定有质量为m的小球甲,另一端固定有质量为2m的小球乙.现将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点(如图所示),由静止释放后( )
A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D.乙球从右向左滑回时,一定能回到凹槽的最低点
解析:
选AD.由于甲、乙组成的系统机械能守恒,所以下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能.如果甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点,则机械能增加.故A、D正确.
【例6】.如图所示,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?
已知重力加速度为g.
解:
开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,有
kX1=m1g①
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离开地面时弹簧伸长量为x2,则
kX2=m2g②
B不再上升,表示此时A和C的速度为零,C已降到最低点.由机械能守恒,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为
ΔE=m3g(X1+X2)-m1g(X1+X2)③
C换成D后,当B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同,由能量关系得
(m3+m1)v2+
m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE④
由③④式得
(2m1+m3)v2=m1g(x1+x2)⑤
由①②⑤式得v=
【例7】.如图所示,滑块A、B的质量均为m,A套在固定竖直杆上,A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接,B放在水平面上,A、B均静止.由于微小的扰动,B开始沿水平面向右运动.不计一切摩擦,A、B可视为质点.在A下滑的过程中,下列说法中正确的是( )
A.A、B组成的系统机械能守恒
B.在A落地之前轻杆对B一直做正功
C.A运动到最低点时的速度为
D.当A的机械能最小时,B对水平面的压力大小为2mg
解析:
选AC.因为系统内没有机械能与其他能的相互转化,所以A、B组成的系统机械能守恒,A正确;当A运动到最低点时,因为B此时的速度为零,所以mgL=
mvA2,即vA=
,C正确;而B的速度先增大后减小,所以在A落地之前轻杆对B先做正功,再做负功,B错误;当A的机械能最小时,则B的机械能最大,即B的速度达到最大,由于A在竖直方向有向下的加速度,即系统处于失重状态,故B对水平面的压力小于2mg,D错误.
【例8】.如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧,物体A、B的质量分别为m、2m,开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B静止在地面上.放手后物体A下落,与地面即将接触时速度为v,此时物体B对地面恰好无压力,则下列说法中正确的是( )
A.物体A下落过程中的任意时刻,加速度不会为零
B.此时弹簧的弹性势能等于(mgh+
mv2)
C.此时物体B处于平衡状态
D.此过程中物体A的机械能变化量为(mgh+
mv2)
解析:
选C.对物体A进行受力分析可知,当弹簧的弹力大小为mg时,物体A的加速度为零,A错误;由题意和功能关系知弹簧的弹性势能为Ep=mgh-
mv2,B错误;当物体B对地面恰好无压力时,说明弹簧的弹力大小为2mg,此时B所受合外力为零,恰好处于平衡状态,C正确;弹簧的弹性势能的增加量等于物体A的机械能的变化量,D错误.
【例9】.(12分)(2011年苏北四市调研)如图所示,光滑固定的竖直杆上套有一个质量m=0.4kg的小物块A,不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D,连接小物块A和小物块B,虚线CD水平,间距d=1.2m,此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为37°,小物块A恰能保持静止.现在在小物块B的下端挂一个小物块Q(未画出),小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处.不计摩擦和空气阻力,cos37°=0.8、sin37°=0.6,重力加速度g取10m/s2.求:
(1)小物块A到达C处时的加速度大小;
(2)小物块B的质量;
(3)小物块Q的质量.
解:
(1)当小物块A到达C处时,由受力分析可知:
水平方向受力平衡,竖直方向只受重力作用,所以小物块A的加速度a=g=10m/s2.
(2)设小物块B的质量为mB,绳子拉力为FT,根据平衡条件:
FTcos37°=mg FT=mBg
联立解得mB=0.5kg.
(3)设小物块Q的质量为m0,根据系统机械能守恒得:
mghAC=(mB+m0)ghB hAC=dcot37°=1.6m
hB=
-d=0.8m,解之得:
m0=0.3kg.
【例10】.(16分)如图10所示,半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上,桌面距水平地面的高度也为R.在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压(小球与弹簧不拴接),处于静止状态.同时释放两个小球,小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后,a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A,b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上,落地点距桌子右侧的水平距离为
R.已知小球a质量为m,小球b质量为2m,重力加速度为g.求:
图10图11
(1)释放后小球a离开弹簧时的速度va大小;
(2)释放后小球b离开弹簧时的速度vb大小;
(3)释放小球前弹簧具有的弹性势能.
解:
(1)a球恰能通过半圆环轨道最高点A时mg=m
a球从B运动到A的过程中机械能守恒:
mvB2=
mvA2+mg·2R
联立解得:
va=vB=
.
(2)b球则从桌面C点滑出做平抛运动:
h=R=
gt2
vC=
代入数据求得:
vb=vC=
.
(3)两球获得的初动能之和等于弹簧的弹性势能:
Ep=
mva2+
mbvb2
得Ep=3.75mgR.
【例11】.如图11所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架.在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直.放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是()
A.A球到达最低点时速度为零
B.A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D.当支架从左向右摆回时,A球能回到起始高度
解析:
因A处小球质量大,处的位置高,图中三角形框架处于不稳定状态,释放后支架就会向左摆动.摆动过程中只有小球受的重力做功,故系统的机械能守恒,选项B正确,D选项也正确.A球到达最低点时,若设支架边长是L,A球下落的高度便是
L,有mg(
L)的重力势能转化为支架的动能,因而此时A球速度不为零,选项A错.当A球到达最低点时有向左运动的速度,还要继续左摆,B球仍要继续上升,因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高,C选项也正确.答案:
BCD
【例12】如图12所示,半径为r,质量不计的圆盘盘面与地面相垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点处固定一个质量也为m的小球B,放开盘让其自由转动,问:
(1)当A球转到最低点时,两球的重力势能之和减少了多少?
(2)当A球转到最低点时的线速度是多少?
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?
图12图14
【例14】如图14所示,在倾角为30°的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上(细绳与斜面平行),另一端系有一细绳套.图中物体A处于静止状态,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:
(1)未挂物体B时,弹簧的形变量;
(2)物体A的速率最大时,弹簧的形变量;
(3)物体A的最大速率.
解析:
(1)未挂物体B时,设弹簧压缩量为x1,对物体A
由平衡条件得:
kX1-mgsin30°=0①
解得:
X1=②
(2)挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为X2,由牛顿第二定律得:
对物体A:
T-mgsin30°-kX2=0③
对物体B:
T-mg=0④
由③④得:
X2=.⑤
(3)因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大速度为Vm,对于A、B及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得:
mg(X1+X2)=mg(X1+X2)sin30°+(2m)Vm2⑥
由②⑤⑥解得:
.
【例15】(2008·江苏高考)如图15所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是()
图15图16图17
A.θ=90°B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
解析:
设b球能摆到最低点,由机械能守恒定律得
mv2=mgl.又T-mg=mv2/l可得T=3mg,则A正确,B错误.球b在摆动过程中竖直速度先增大后减小,所以重力的功率先增大后减小,则C正确,D错误.答案:
AC
【例16】.(12分)如图16所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A、B,两小球用一根长L的轻杆相连,下面的B球离斜面底端的高度为h,两球从静止开始下滑并从斜面进入光滑平面(不计与地面碰撞时的机械能损失).求:
(1)两球在光滑平面上运动时的速度;
(2)在这一过程中杆对A球所做的功;
(3)杆对A做功所处的时间段.
解析:
(1)因系统机械能守恒,所以有:
mgh+mg(h+Lsinθ)=
×2mv2,
解得v=
.
(2)以A球为研究对象,由动能定理得:
mg(h+Lsinθ)+W=
mv2.
则mg(h+Lsinθ)+W=
m(2gh+gLsinθ),
解得W=-
mgLsinθ.
(3)从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内,杆对A球做了W的负功.
答案:
(1)
(2)-
mgLsinθ (3)从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内
【例17】(2010·江苏苏、锡、常、镇四市联考)如图17所示,质量均为m的A、B两个小球,用长为2L的轻质杆相连接,在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点),不计一切摩擦,某时刻A、B球恰好在如图所示的位置,A、B球的线速度大小均为v,下列说法正确的是( )
A.运动过程中B球机械能守恒
B.运动过程中B球速度大小不变
C.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量保持不变
D.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量不断变化
思路分析:
轻杆对小球的弹力不一定沿杆,因此,在小球转动过程中,杆的弹力对小球做功,将引起小球机械能的变化.
解析:
以A、B球组成的系统为研究对象,两球在运动过程中,只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零),两球的机械能守恒.以过O点的水平面为重力势能的参考平面时,系统的总机械能为E=2×
mv2=mv2.假设A球下降h,则B球上升h,此时两球的速度大小是v′,由机械能守恒定律知mv2=
mv′2×2+mgh-mgh,得到v′=v,故运动过程中B球速度大小不变.当单独分析B球时,B球在运动到最高点之前,动能保持不变,重力势能在不断增加.由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同,因此机械能的变化量是不断改变的,B、D正确.
【例18】如图18所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m,开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升,物体A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大高度H.
解析:
设物块沿斜面下滑s距离时的速度为v,由机械能守恒得
(4m+m)v2=4mgssin30°-mgs①
细线突然断开的瞬间,物块B竖直上升的速度为v,此后B做竖直上抛运动,设继续上升的距离为h,由机械能守恒得
mv2=mgh②
物块B上升的最大高度H=h+s③
由①②③解得H=1.2s.
【例19】 如图19所示,光滑圆柱被固定在水平平台上,质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连,开始时将小球甲放在平台上,两边绳竖直,两球均从静止开始运动,甲上升,乙下降,当甲上升到圆柱的最高点时绳子突然断了,发现甲球恰能做平抛运动,求甲、乙两球的质量关系.
图18图19图20
解析:
当小球甲上升到圆柱体最高点时,绳子突然断开,此时甲恰好做平抛运动,说明甲对圆柱体无压力,由牛顿第二定律得:
m1g=m1
,以小球甲、乙和地球为系统,有:
m2g(R+
)-m1g×2R=
(m1+m2)v2,
由以上两式可求得:
m2=
m1.
【例20】.如图20所示,质量均为m的物块A和B用轻弹簧连接起来,将它们悬于空中静止,弹簧处于原长状态,A距地面高度h=0.90m.同时释放两物块,A与地面碰撞后速度立即变为零,由于B的反弹,使A刚好能离开地面,若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出),仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长,从A距地面高度为h′处同时释放,A也刚好能离开地面.已知弹簧的弹性势能EP与弹簧的劲度系数k和形变量x的关系是:
EP=
kx2.试求:
(1)B反弹后,弹簧的最大伸长量;
(2)h′的大小.
解析:
(1)A、B整体自由下落时,系统机械能守恒,设A刚落地时,具有共同速度vB,所以
2mgh=
×2mvB2,得vB=
.
从此以后,物块B压缩弹簧,直至反弹,该过程物块B和弹簧组成的系统机械能守恒,当A刚好离开地面时,弹簧的伸长量最大,设为x,则
对A有:
mg=kx,
对B和弹簧有:
mvB2=mgx+
kx2.
解以上各式得:
x=0.6m.
(2)将B换成C后,根据第
(1)问的分析有以下各式成立
vC=
,mg=kx,
×(2m)·vC2=
kx2+2mgx.
解得h′=0.75m.
答案:
(1)0.6m
(2)0.75m
【例21】.如图21所示,一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°.
(1)求小球A与小球B的质量比mA∶mB.
(2)辨析题:
现将A球质量改为2m、B球质量改为m,且开始时A球位于碗口C点,由静止沿碗下滑,当A球滑到碗底时,求两球的速率为多大?
(3)在满足第
(2)问中的条件下,求A球沿碗壁运动的最大位移是多少?
图21
解:
(1)设绳上拉力为FT,碗对A球的弹力为FN,
根据对称性可得:
FN=FT
由平衡条件:
2FTsin60°=mAg
对B球,受拉力与重力平衡得FT=mBg
联立得mA∶mB=∶1
(2)A球在碗底时,VA不等于VB,应将VA沿绳和垂直于绳的方向分解,沿绳子方向的分速度即等于B球的速度VB的大小.
即:
根据机械能守恒定律有
(3)球A经过碗底后继续上升,当速度减小为零时沿碗壁有最大位移,如右图所示,此时A相对碗边缘的高度为
由机械能守恒有2mgh-mgx=0
联立以上两式可得:
x=R
【例22】如图22所示,一个半径为R=0.3m的半圆形轻质弯管上固定有两个小球A、B,C为弯管的圆心,AC⊥OB,弯管可以绕左端转轴O在竖直平面内无摩擦自由转动.已知mA=2kg,mB=1kg,取g=10m/s2,由静止开始释放此装置,则
(1)当B球摆到最低点时系统减少的重力势能是多大?
(2)当A球摆到最低点时,A的动能是多大?
图22图23
解析
(1)B球到达最低点时,系统减少的机械能
ΔE=mAghA1+mBghB1
hA1、hB1分别为A、B两球下落的高度,因为hA1=2R,hB1=2R
所以ΔEP=18J
(2)A球到达最低点时,由系统机械能守恒得
A、B具有相同的角速度,转动半径
rA=R,rB=2R
所以vA=vB
A、B下落的高度分别为
HA2=R+R,
hB2=R
可得
【例23】.如图23所示,A、B、C质量分别为mA=0.7kg,mB=0.2kg,mC=0.1kg,B为套在细绳上的圆环,A与水平桌面的动摩擦因数μ=0.2,另一圆环D固定在桌边,离地面高h2=0.3m,当B、C从静止下降h1=0.3m,C穿环而过,B被D挡住,不计绳子质量和滑轮的摩擦,取g=10m/s2,若开始时A离桌边足够远.试求:
(1)物体C穿环瞬间的速度.
(2)物体C能否到达地面?
如果能到达地面,其速度多大?
解析
(1)由能量守恒定律得
(mB+mC)gh1=(mA+mB+mC)v12+μmAg·h1
可求得:
(2)设物体C到达地面的速度为v2,由能量守恒定律得
可求出
故物体C能到达地面,到地面的速度为
【例24】.如图24所示,一根不可伸长的轻质细线跨过光滑固定的小滑轮,细线两端各系一个小物块A、B,质量分别为m、4m,开始时用手托住B,细线刚好被拉直,B距离地面和滑轮的高度差均为h.现在把B无初速释放,B与地面接触后不再反弹,求A上升的最大高度.
图24图25
解:
B下落的高度为h,设此时A、B的速度大小
为v,对A、B,应用系统机械能守恒有
解得
之后A做竖直上抛运动,上升最大距离为
不会与滑轮相撞,所以A上升的最大高度为H=h+L=1.6h.
【例25】如图25所示,若上例中的A串在空中水平光滑杆上可以自由滑动,且开始时细线与水平方向夹角为θ=30°,求A运动的最大速度.
解析A开始受到细线向右的拉力分力,向右加速,到左滑轮正下方时加速度为零、加速运动结束,之后继续向右运动,但细线拉力分力向左,做减速运动,所以在左滑轮正下方、细线与水平夹角为90°时,A的速度最大,设为v.根据速度分解,可知此时B的速度为
V1=vcos90°=0.
从开始到A速度最大的过程中,对AB应用系统机械能守恒,有
根据几何关系可知,B下降的高度为
解得v=4gh.