系统的守恒.docx

1、系统的守恒多个物体组成的系统机械能守恒问题 台前一高 刘庆真 【例1】.(2008全国高考)如图1所示,一很长的不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小球a和b.a球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为( ) 答案:BA.h B.1.5h C.2h D.2.5h 图1 图2【例2】.如图2所示,在倾角为30的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上(细绳与斜面平行),另一端系有一细绳套.图中物体A处于静止状态

2、,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:(1)未挂物体B时,弹簧的形变量;(2)物体A的速率最大时,弹簧的形变量;(3)物体A的最大速率.解析:(1)未挂物体B时,设弹簧压缩量为X1,对物体A由平衡条件得:k X1-mgsin30=0解得: X1= . (2)挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为x2,由牛顿第二定律得:对物体A:T-mgsin30-k X2=0对物体B:T-mg=0由得: X2= .(3)因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大速度为vm,对

3、于AB及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得:mg(X1+ X2)=mg(X1+ X2)sin30+ (2m)v2m由解得: .【例3】如图3所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；(2)此过程中杆对B球所做的功 图3 图4解：(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两小球组成的系统机械能守恒两小球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：mghmg(hLsin )2

4、mv2，解得v.(2)根据动能定理，对B球有Wmv2mghmgLsin .【例4】. (2011年长春调研)如图4所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端各固定质量为2m和m的A、B两个小球，光滑的铁钉穿过小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略一切阻力下列说法正确的是A杆转到竖直位置时，A、B两球的速度大小相等为B杆转到竖直位置时，杆对B球的作用力向上，大小为mgC杆转到竖直位置时，B球的机械能减少了mgLD由于忽略一切摩擦阻力，A球机械能一定守恒解析：选B.由于转动过程中，两球的角速度相等，半径相同，故线速度相同，根据机械能守恒定律：

5、2mgLmgL(2mm)v2，解得线速度v，A错误；此时设杆对B球的作用力T竖直向下，对B球：Tmgm，则杆对B球的作用力为Tmg，负号表示杆对B球的作用力向上，B正确；B球的机械能增加量为mgLmv2mgL，C错误；由于杆对A球做负功，A球的机械能减少，减少的机械能等于B球增加的机械能，D错误【例5】内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示)，由静止释放后()A下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加

6、的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D乙球从右向左滑回时，一定能回到凹槽的最低点解析：选AD.由于甲、乙组成的系统机械能守恒，所以下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能如果甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点，则机械能增加故A、D正确【例6】.如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升若将C换成另一个质量为(m1m3

7、)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有k X1m1g 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离开地面时弹簧伸长量为x2，则k X2m2g B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为Em3g(X1X2)m1g(X1X2)C换成D后，当B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得(m3m1)v2m1v2(m3m1)g(x1x2)m1g(x1x2)E由式得(2m1m3)v2m1g(x1x2)由式得v【例7】如图所示

8、，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，B放在水平面上，A、B均静止由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动不计一切摩擦，A、B可视为质点在A下滑的过程中，下列说法中正确的是()AA、B组成的系统机械能守恒B在A落地之前轻杆对B一直做正功CA运动到最低点时的速度为D当A的机械能最小时，B对水平面的压力大小为2mg解析：选AC.因为系统内没有机械能与其他能的相互转化，所以A、B组成的系统机械能守恒，A正确；当A运动到最低点时，因为B此时的速度为零，所以mgLmvA2，即vA，C正确；而B的速度先增大后减小，所以在A落地之前轻杆对B先做正功，再做负功，B

9、错误；当A的机械能最小时，则B的机械能最大，即B的速度达到最大，由于A在竖直方向有向下的加速度，即系统处于失重状态，故B对水平面的压力小于2mg，D错误【例8】如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为m、2m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上放手后物体A下落，与地面即将接触时速度为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是()A物体A下落过程中的任意时刻，加速度不会为零B此时弹簧的弹性势能等于(mghmv2)C此时物体B处于平衡状态D此过程中物体A的机械能变化量为(mghmv2)解析：选C.对物

10、体A进行受力分析可知，当弹簧的弹力大小为mg时，物体A的加速度为零，A错误；由题意和功能关系知弹簧的弹性势能为Epmghmv2，B错误；当物体B对地面恰好无压力时，说明弹簧的弹力大小为2mg，此时B所受合外力为零，恰好处于平衡状态，C正确；弹簧的弹性势能的增加量等于物体A的机械能的变化量，D错误【例9】(12分)(2011年苏北四市调研)如图所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m0.4 kg的小物块A，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D，连接小物块A和小物块B，虚线CD水平，间距d1.2 m，此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为37，小物块A恰能保持静止现在在小物块B的

11、下端挂一个小物块Q(未画出)，小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处不计摩擦和空气阻力，cos 370.8、sin 370.6，重力加速度g取10 m/s2.求：(1)小物块A到达C处时的加速度大小；(2)小物块B的质量；(3)小物块Q的质量解：(1)当小物块A到达C处时，由受力分析可知：水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，所以小物块A的加速度ag10 m/s2.(2)设小物块B的质量为mB，绳子拉力为FT，根据平衡条件：FTcos 37mgFTmBg联立解得mB0.5 kg.(3)设小物块Q的质量为m0，根据系统机械能守恒得：mghAC(mBm0)ghBhACdcot 371.6 mh

12、Bd0.8 m，解之得：m00.3 kg.【例10】(16分)如图10所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌面距水平地面的高度也为R.在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压(小球与弹簧不拴接)，处于静止状态同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A，b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为R.已知小球a质量为m，小球b质量为2m，重力加速度为g.求： 图10 图11 (1)释放后小球a离开弹簧时的速度va大小；(2)释放后小球b离开弹簧时的速度vb大小；(3)释放小球前弹簧具有的

13、弹性势能解：(1)a球恰能通过半圆环轨道最高点A时mgma球从B运动到A的过程中机械能守恒：mvB2mvA2mg2R联立解得：vavB.(2)b球则从桌面C点滑出做平抛运动：hRgt2vC代入数据求得：vbvC.(3)两球获得的初动能之和等于弹簧的弹性势能：Epmva2mbvb2得Ep3.75mgR.【例11】.如图11所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架.在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直.放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是( )A. A球到达最低点时速度为零B

14、. A球机械能减少量等于B球机械能增加量C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度D.当支架从左向右摆回时,A球能回到起始高度解析:因A处小球质量大,处的位置高,图中三角形框架处于不稳定状态,释放后支架就会向左摆动.摆动过程中只有小球受的重力做功,故系统的机械能守恒,选项B正确,D选项也正确.A球到达最低点时,若设支架边长是L,A球下落的高度便是L,有mg(L)的重力势能转化为支架的动能,因而此时A球速度不为零,选项A错.当A球到达最低点时有向左运动的速度,还要继续左摆,B球仍要继续上升,因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高,C选项也正确.答案:BCD【例12】如图1

15、2所示,半径为r,质量不计的圆盘盘面与地面相垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点处固定一个质量也为m的小球B,放开盘让其自由转动,问:(1)当A球转到最低点时,两球的重力势能之和减少了多少?(2)当A球转到最低点时的线速度是多少?(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少? 图12 图14【例14】如图14所示,在倾角为30的光滑斜面上,有一劲度系数为k的轻质弹簧,其一端固定在固定挡板C上,另一端连接一质量为m的物体A.有一细绳通过定滑轮,细绳的一端系在物体A上(细绳与斜面平行),另一端系有一细绳套.图中物体

16、A处于静止状态,当在细绳套上轻轻挂上一个质量为m的物体B后,物体A将沿斜面向上运动,试求:(1)未挂物体B时,弹簧的形变量;(2)物体A的速率最大时,弹簧的形变量;(3)物体A的最大速率.解析:(1)未挂物体B时,设弹簧压缩量为x1,对物体A由平衡条件得:k X1-mgsin30=0 解得: X1= (2)挂上物体B后,物体A沿斜面向上做加速度减小的加速运动,当物体A加速度为0时,物体A速度达到最大,设此时弹簧伸长量为X2,由牛顿第二定律得:对物体A:T-mgsin30-k X2=0对物体B:T-mg=0由得: X2= . (3)因X1与X2相等,故在这两种状态时弹簧的弹性势能相等.设A的最大

17、速度为Vm,对于AB及弹簧组成的系统由能的转化和守恒定律得: mg(X1+ X2)=mg(X1+ X2)sin30+ (2m)Vm2由解得: .【例15】(2008江苏高考)如图15所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为.下列结论正确的是( ) 图15 图16 图17A.=90 B.=45C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大解析:设b球能摆到最低点,由机械能

18、守恒定律得mv2=mgl.又T-mg=mv2/l可得T=3mg,则A正确,B错误.球b在摆动过程中竖直速度先增大后减小,所以重力的功率先增大后减小,则C正确,D错误. 答案:AC【例16】(12分)如图16所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A、B，两小球用一根长L的轻杆相连，下面的B球离斜面底端的高度为h，两球从静止开始下滑并从斜面进入光滑平面(不计与地面碰撞时的机械能损失)求： (1)两球在光滑平面上运动时的速度；(2)在这一过程中杆对A球所做的功；(3)杆对A做功所处的时间段解析：(1)因系统机械能守恒，所以有：mghmg(hLsin)2mv2，解得v.(2)以A球为研究对象

19、，由动能定理得：mg(hLsin)Wmv2. 则mg(hLsin)Wm(2ghgLsin)，解得WmgLsin.(3)从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内，杆对A球做了W的负功答案：(1)(2)mgLsin(3)从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面的这段时间内【例17】(2010江苏苏、锡、常、镇四市联考)如图17所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法正确的是()A运动过程中B球机械能守恒B运动过程中B球速度大

20、小不变CB球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变DB球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化思路分析：轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化解析：以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E2mv2mv2.假设A球下降h，则B球上升h，此时两球的速度大小是v，由机械能守恒定律知mv2mv22mghmgh，得到vv，故运动过程中B球速度大小不变当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持

21、不变，重力势能在不断增加由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的，B、D正确【例18】 如图18所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角30，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物体A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H.解析：设物块沿斜面下滑 s距离时的速度为v，由机械能守恒得(4mm)v24mgssin30mgs 细线突然断开的瞬间，物块B竖直上升的速度为v，此后B做竖直上抛运动

22、，设继续上升的距离为h，由机械能守恒得mv2mgh 物块B上升的最大高度Hhs 由解得H1.2s.【例19】如图19所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时将小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，甲上升，乙下降，当甲上升到圆柱的最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系 图18 图19 图20解析：当小球甲上升到圆柱体最高点时，绳子突然断开，此时甲恰好做平抛运动，说明甲对圆柱体无压力，由牛顿第二定律得：m1gm1，以小球甲、乙和地球为系统，有：m2g(R)m1g2R(m1m2)v2，由以上两式可求

23、得：m2m1.【例20】如图20所示，质量均为m的物块A和B用轻弹簧连接起来，将它们悬于空中静止，弹簧处于原长状态，A距地面高度h0.90 m同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B的反弹，使A刚好能离开地面，若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长，从A距地面高度为h处同时释放，A也刚好能离开地面已知弹簧的弹性势能EP与弹簧的劲度系数k和形变量x的关系是：EPkx2.试求：(1)B反弹后，弹簧的最大伸长量；(2)h的大小解析：(1)A、B整体自由下落时，系统机械能守恒，设A刚落地时，具有共同速度vB，所以2mgh2mvB2，得vB.从此以后

24、，物块B压缩弹簧，直至反弹，该过程物块B和弹簧组成的系统机械能守恒，当A刚好离开地面时，弹簧的伸长量最大，设为x，则对A有：mgkx，对B和弹簧有： mvB2mgxkx2.解以上各式得：x0.6 m.(2)将B换成C后，根据第(1)问的分析有以下各式成立vC，mgkx，(2m)vC2kx22mgx.解得h0.75 m.答案：(1)0.6 m(2)0.75 m【例21】如图21所示,一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上,碗口水平, O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根轻质细线跨在碗口上, 线的两端分别系有小球A和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60.(1)求小

25、球A与小球B的质量比mAmB.(2)辨析题:现将A球质量改为2m、B球质量改为m,且开始时A球位于碗口C点,由静止沿碗下滑,当A球滑到碗底时,求两球的速率为多大?(3)在满足第(2)问中的条件下,求A球沿碗壁运动的最大位移是多少? 图21 解： (1)设绳上拉力为FT,碗对A球的弹力为FN,根据对称性可得:FN=FT由平衡条件:2 FT sin 60=mAg对B球,受拉力与重力平衡得FT =mBg联立得mAmB= 1(2) A球在碗底时,VA不等于VB,应将VA沿绳和垂直于绳的方向分解,沿绳子方向的分速度即等于B球的速度VB的大小.即:根据机械能守恒定律有(3)球A经过碗底后继续上升,当速度减

26、小为零时沿碗壁有最大位移,如右图所示,此时A相对碗边缘的高度为由机械能守恒有2mgh-mgx=0联立以上两式可得:x= R【例22】如图22所示,一个半径为R=0.3 m的半圆形轻质弯管上固定有两个小球A、B,C为弯管的圆心,ACOB,弯管可以绕左端转轴O在竖直平面内无摩擦自由转动.已知mA=2 kg,mB=1 kg,取g=10 m/s2,由静止开始释放此装置,则(1)当B球摆到最低点时系统减少的重力势能是多大?(2)当A球摆到最低点时,A的动能是多大? 图22 图23 解析 (1)B球到达最低点时,系统减少的机械能 E=mAghA1+mBghB1hA1、hB1分别为A、B两球下落的高度,因为

27、hA1=2R, hB1=2R所以EP=18 J(2)A球到达最低点时,由系统机械能守恒得A、B具有相同的角速度,转动半径rA= R,rB=2R所以 vA=vB A、B下落的高度分别为HA2=R+ R,hB2= R可得【例23】如图23所示,A、B、C质量分别为mA=0.7 kg,mB=0.2 kg,mC=0.1 kg, B为套在细绳上的圆环,A与水平桌面的动摩擦因数=0.2,另一圆环D固定在桌边,离地面高h2=0.3 m,当B、C从静止下降h1=0.3 m,C穿环而过,B被D挡住,不计绳子质量和滑轮的摩擦,取g=10 m/s2,若开始时A离桌边足够远.试求: (1)物体C穿环瞬间的速度. (2

28、)物体C能否到达地面?如果能到达地面,其速度多大? 解析 (1)由能量守恒定律得(mB+mC)g h1= (mA+mB+mC)v12+mAgh1可求得:(2)设物体C到达地面的速度为v2,由能量守恒定律得可求出 故物体C能到达地面,到地面的速度为【例24】如图24所示,一根不可伸长的轻质细线跨过光滑固定的小滑轮,细线两端各系一个小物块A、B,质量分别为m、4m,开始时用手托住B,细线刚好被拉直,B距离地面和滑轮的高度差均为h.现在把B无初 速释放,B与地面接触后不再反弹,求A上升的最大高度. 图24 图25解： B下落的高度为h,设此时A、B的速度大小 为v,对A、B,应用系统机械能守恒有 解

29、得之后A做竖直上抛运动,上升最大距离为 不会与滑轮相撞,所以A上升的最大高度为H=h+L=1.6h.【例25】如图25所示,若上例中的A串在空中水平光滑杆上可以自由滑动,且开始时细线与水平方向夹角为=30,求A运动的最大速度. 解析 A开始受到细线向右的拉力分力,向右加速,到左滑轮正下方时加速度为零、加速运动结束,之后继续向右运动,但细线拉力分力向左,做减速运动,所以在左滑轮正下方、细线与水平夹角为90时,A的速度最大,设为v.根据速度分解,可知此时B的速度为V1=vcos 90=0.从开始到A速度最大的过程中,对AB应用系统机械能守恒,有 根据几何关系可知,B下降的高度为 解得 v=4gh.