江西省稳派名校学术联盟届高三调研考试数学文试题含答案.docx
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江西省稳派名校学术联盟届高三调研考试数学文试题含答案
江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试
数学试卷（文科）
考试范围
集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何，概率
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
锥体体积公式
，其中S为底面积，h为高。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合
，则
＝
A.
B.
C.
D.
2.2013年央视汉字听写大会节目中，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是
A.84B.85C.86D.87.5
3.如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为
，则主视图中三角形的高x的值为
A.
B.
C.1D.
4.“
”是“
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知M是
的最小值，N＝
，则下图所示程序框图输出的S为
A.2B.1C.
D.0
6.正项递增等比数列{
}中，
，则该数列的通项公式
为
A.
B.
C.
D.
7.已知实数x，y满足
，则r的最小值为
A.1B.
C.
D.
8.抛物线有光学性质：
由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。
现已知抛物线
的焦点为F，过抛物线上点
的切线为
，过P点作平行于x轴的直线m，过焦点F作平行于
的直线交m于M，则
的长为
A.
B.
C.
D.
9.函数
，的图像如图所示，则函数
，
的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
，再向左平移
个单位后，得到y＝g（x）的图像，则函数
在（0，
）上
A.是减函数B.是增函数C.先增后减函数D.先减后增函数
10.随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。
某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A点出发沿曲线段B→曲线段C→曲线段D，最后到达E点。
某观察者站在点M观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变化的视角为
∠AMP（
），练车时间为t，则函数
＝
的图像大致为
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线
的倾斜角为
，则
的值为_________。
12.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）。
13.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程是_______。
14.将2n按如表的规律填在5列的数表中，设
排在数表的第n行，第m列，则m＋n＝___________。
…
…
…
…
…
15.在区间
内图像不间断的函数
满足
，函数
，且
，又当
时，有
，则函数
在区间
内零点的个数是________。
三、解答题：
本大题共小题，75分。
解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
。
（1）求B；
（2）若
，求
的值。
17.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱
中，AC⊥BC，AB⊥
，
，D为AB的中点，且CD⊥
。
（1）求证：
平面
⊥平面ABC；
（2）求多面体
的体积。
18.（本小题满分12分）
为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：
百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[25，35）
[35，45）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”。
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：
，
当
<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；
当
>2.706时，有90％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；
当
>3.841时，有95％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；
当
>6.635时，有99％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关。
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
（2）现从月收入在[55，65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率。
19.（本小题满分12分）
正项数列
的前n项和为
，且
。
（1）证明数列
为等差数列并求其通项公式；
（2）设
，数列
的前n项和为
，证明：
。
20.（本小题满分13分）
已知P（
）为函数
图像上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率
。
（1）求函数
的单调区间；
（2）设
，求函数
的最小值。
21.（本小题满分14分）
已知
是椭圆E：
的两个焦点，抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点
的动直线
交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【试题答案】
1.D由
得
，所以
，
，所以
。
2.C这些数据分别从小到大依次为
、
、
、
、
、
、
、
，共
个数，故这些数据的中位数为
。
3.C由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为
，高为x，体积为
，得
，故选C。
4.B当
时，
，则
；当
时，
，此时无法得出
。
5.AM＝
，N＝
，所以Ｍ6.B由
得
，
或
（舍）
7.B在平面直线坐标系中画出不等式组
表示的平面区域D，由于圆
经过平面区域D，因此其半径r的最小值为圆心（－1，1）到直线y＝x的距离，即rmin
。
8.C如图所示，由抛物线的光学性质可知：
，又
，
，所以
，则
，所以
，故选C.
9.A由图像可知
，故
，解得
，又当x＝0时，
，故
，又直线y＝kx＋1过（－3，0）、（0，1），因此k＝
，故
，平移后的图像的解析式为
，由
，解得
，故选A。
10.D观察图像，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除A；在蓝线中间一段变化不大，然后角度减少到达红线段，故排除B、C，接着角度增加，后面又略减少到绿线段，之后一直增加，并且角度要大小前面几段，故选D。
11.
由题意可知，
，则
。
12.3.15由几何概型与模拟方法可知
，解得
。
13.
设圆心坐标为
，则
，当且仅当
时取等号，此时圆心坐标为
，故圆方程为
。
14.507由于2014＝4×503＋2，故22014在第504行第3列，m＋n＝507
15.2 ∵f（－x）－f（x）＝０，∴f（x）为偶函数，∵g（x）＝exf（x），∴
，∴g（x）在[0，a]上为单调增函数，又∵g（0）•g（a）<0，∴函数g（x）＝exf（x）在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f（x）在[0，a]上有且仅有一个零点，∵f（x）是偶函数，且f（0）≠0，∴f（x）在[－a，a]上有且仅有两个零点。
16.解：
（1）由余弦定理知得
，（2分）
∴
，（4分）
∴
，又
，∴
。
（6分）
（2）∵
，
，∴
，（8分）
∴
（10分）
。
（12分）
17.解：
（1）∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD
AB，又CD
，∴CD
面
，
又因为
平面ABC，故平面
平面
。
（6分）
（2）
。
（12分）
18.解：
（1）
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（5分）
（2）设月收入在[55，65）的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人.从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率＝
。
（12分）
19.解：
由
得：
当
时，
，得
，
当
时，
，
整理得
，又
为正项数列，
故
，（
），因此数列
是首项为1，公差为2的等差数列，
。
（6分）
（2）
，
∴
，
∵
，∴
，（8分）
，
∴数列
是一个递增数列∴
，
综上所述，
。
（12分）
20.解：
（1）
，
，
，
故当
即
时，
，当
时，
成立，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减。
（4分）
（2）
，
则
，
设
，则
，
故
为
上的增函数，（8分）
又由于
，因此
且
有唯一零点1，
在
为负，在
值为正，
因此
在
为单调减函数，在
为增函数，
所以函数
的最小值为
。
（13分）
21.解：
（1）由抛物线的焦点可得：
，
点
关于直线
的对称点为
故
，
因此
，椭圆方程为
。
（4分）
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。
当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
……………①
当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
…………②
由①②知定点M
。
（6分）
下证：
以AB为直径的圆恒过定点M
。
设直线
，代入
，有
。
设
，则
。
则
，
在
轴上存在定点M
，使以
为直径的圆恒过这个定点。
（14分）
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