青岛市中考数学几何综合压轴题模拟专题.docx

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青岛市中考数学几何综合压轴题模拟专题

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一、中考几何压轴题

1．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：

（综合与实践）

操作一：

如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；

操作二：

如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；

操作三：

如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；

（问题解决）

请在图3中解决下列问题：

（1）求证：

BP＝D′P；

（2）AP：

BP＝　　；

（拓展探究）

（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：

点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？

请说明理由．

2．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．

（1）问题发现：

如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　　°，线段BD、CE之间的数量关系是　　；

（2）拓展探究：

如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：

如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

3．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究：

（1）如图2，在中，为斜边，分别以为直径，向外侧作半圆，则面积之间的关系式为_____________；

推广验证：

（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作，，满足，则

（1）中所得关系式是否仍然成立？

若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用：

（3）如图4，在五边形中，，点在上，，求五边形的面积．

4．问题探究：

（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是　　．

（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．

问题解决：

（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．

5．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形中，的顶点，分别在，上（可与点，，重合），且满足．的高线交线段于点（可与，重合），设．

（1）求的值．

（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形”改为“长、宽的矩形”（其他条件不变）．

（2）判断的值是否改变．若改变，请求出的取值范围；若不改变，请证明．

（深入探究）在（模型构建）的基础上，设的面积为．

（3）①求的最小值；

②当取到最小值时，直接写出与的数量关系．

6．综合与实践

（问题背景）

如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．

（问题解决）

（1）填空：

的长为______．

（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；

（拓展探究）

（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？

若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

7．在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．

（1）问题发现：

如图1，若度，的度数______，______；

（2）类比探究：

如图2，若度，试求的度数和的值；

（3）拓展应用：

在

（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？

直接写出答案．

8．

（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．

填空：

①则的值为______；②∠EAD的度数为_______．

（2）类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；

（3）拓展延伸

如图3，在

（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

9．

（1）（问题发现）

如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．

填空：

①线段与的数量关系为______；

②直线与所夹锐角的度数为_______．

（2）（拓展探究）

如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，

（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．

（3）（解决问题）

如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

10．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：

[数学理解]

（1）点是线段垂直平分线上的一点，则的值为；

[拓展延伸]

（2）在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且，则点的坐标为．

（3）经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：

[问题解决]

（4）如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．（请画出示意图并简要说明理由）

11．如图1，已知直角三角形，，，点是边上一点，过作于点，连接，点是中点，连接，．

（1）发现问题：

线段，之间的数量关系为______；的度数为______；

（2）拓展与探究：

若将绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由；

（3）拓展与运用：

如图3所示，若绕点旋转的过程中，当点落到边上时，边上另有一点，，，连接，请直接写出的长度．

12．（性质探究）

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．

（1）判断△AFG的形状并说明理由．

（2）求证：

BF=2OG．

（迁移应用）

（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．

（拓展延伸）

（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

13．问题发现：

（1）如图1，与同为等边三角形，连接则与的数量关系为________；直线与所夹的锐角为_________；

类比探究：

（2）与同为等腰直角三角形，其他条件同

（1），请问

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由；

拓展延伸：

（3）中，为的中位线，将绕点逆时针自由旋转，已知，在自由旋转过程中，当在一条直线上时，请直接写出的值．

14．

（1）问题发现

如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　　．

（2）拓展探究

如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则

（1）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

（3）解决问题

如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．

15．如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．

（问题发现）如图1所示，与的数量关系为________；

（类比探究）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？

如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；

（拓展延伸）若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________

16．（感知）

（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：

=．

（探究）

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：

BH=GH．

（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：

BG=CG．

17．如图

（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现

在图

（1）中，_________；

（2）拓展探究

将图

（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？

请仅就图

（2）的情形给出证明；

（3）问题解决

当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．

18．问题情境：

两张直角三角形纸片中，．连接，，过点作的垂线，分别交线段，于点，（与在直线异侧）．

特例分析：

（1）如图1，当时，求证：

；

拓展探究：

（2）当，探究下列问题：

①如图2，当时，直接写出线段与之间的数量关系：

；

②如图3，当时，猜想与之间的数量关系，并说明理由；

推广应用：

（3）若图3中，，设的面积为，则的面积为．（用含，的式子表示）

19．[探索发现]

（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是　　；

[操作探究]

（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

[拓展应用]（3）在

（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．

20．问题提出

（1）如图

（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝°．

类比探究

（2）如图

（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由．

拓展延伸

（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．