通用版202x高考数学一轮复习 21 函数及其表示讲义 理.docx
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通用版202x高考数学一轮复习21函数及其表示讲义理
第一节函数及其表示
1．函数与映射
函数
映射
两集合A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应关系f：
A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f（x），x∈A
对应f：
A→B是一个映射
2．函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．
（2）函数的三要素：
定义域、值域和对应关系．
（3）相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
（4）函数的表示法：
解析法、图象法、列表法．
3．分段函数❸
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,
（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
（2）如果函数y＝f（x）用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
（3）如果函数y＝f（x）用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
（3）各段函数的定义域不可以相交.
[熟记常用结论]
（1）若f（x）为整式，则函数的定义域为R；
（2）若f（x）为分式，则要求分母不为0；
（3）若f（x）为对数式，则要求真数大于0；
（4）若f（x）为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
（5）若f（x）描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式（组）．
[小题查验基础]
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）对于函数f：
A→B，其值域是集合B.（ ）
（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（ ）
（3）函数是一种特殊的映射．（ ）
（4）若A＝R，B＝（0，＋∞），f：
x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．（ ）
（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√ （4）× （5）×
二、选填题
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（ ）
解析：
选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是（ ）
A．y＝（
）2 B．y＝
＋1
C．y＝
＋1D．y＝
＋1
解析：
选B 对于A，函数y＝（
）2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝
＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
3．函数f（x）＝
＋
的定义域为________．
解析：
由题意得
解得x≥0且x≠2.
答案：
[0,2）∪（2，＋∞）
4．若函数f（x）＝
则f（f
（2））＝________.
解析：
由题意知，f
（2）＝5－4＝1，f
（1）＝e0＝1，
所以f（f
（2））＝1.
答案：
1
5．已知函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4），则f
（2）＝________.
解析：
∵函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4）
∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f（x）＝－2x3－2x，
∴f
（2）＝－2×23－2×2＝－20.
答案：
－20
[典例精析]
（1）已知f
＝lgx，求f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，求f（x）的解析式．
（3）已知函数f（x）满足f（－x）＋2f（x）＝2x，求f（x）的解析式．
[解]
（1）（换元法）令
＋1＝t，得x＝
，
代入得f（t）＝lg
，又x>0，所以t>1，
故f（x）的解析式是f（x）＝lg
，x∈（1，＋∞）．
（2）（待定系数法）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax2＋bx，
又由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，
得a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1，
所以
解得a＝b＝
.
所以f（x）＝
x2＋
x，x∈R.
（3）（解方程组法）由f（－x）＋2f（x）＝2x，①
得f（x）＋2f（－x）＝2－x，②
①×2－②，得3f（x）＝2x＋1－2－x.
即f（x）＝
.
故f（x）的解析式是f（x）＝
，x∈R.
[解题技法]
求函数解析式的3种方法及口诀记忆
待定系数法
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法
如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
口诀记忆
解析式，如何定，待定换元解方程；
已知函数有特征，待定系数来确定；
复合函数问根源，内函数，先换元；
两个函数有关系，方程组中破玄机.
[过关训练]
1．[口诀第3句]已知函数f（x－1）＝
，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝
B．f（x）＝
C．f（x）＝
D．f（x）＝
解析：
选A 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f（t）＝
，
即f（x）＝
.故选A.
2．[口诀第2句]若二次函数g（x）满足g
（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）＝________.
解析：
设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
∵g
（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴
解得
∴g（x）＝3x2－2x.
答案：
3x2－2x
3．[口诀第4句]已知f（x）满足2f（x）＋f
＝3x，则f（x）＝________.
解析：
∵2f（x）＋f
＝3x，①
把①中的x换成
，得2f
＋f（x）＝
.②
联立①②可得
解此方程组可得f（x）＝2x－
（x≠0）．
答案：
2x－
（x≠0）
[考法全析]
考法
（一） 已知函数解析式求定义域
[例1] 求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝
.
[解]
（1）要使函数f（x）有意义，则
解不等式组得x≥3.
因此函数f（x）的定义域为[3，＋∞）．
（2）要使函数f（x）有意义，则
即
解不等式组得－1＜x＜1.
因此函数f（x）的定义域为（－1,1）．
考法
（二） 求抽象函数的定义域
[例2] 已知函数f（x）的定义域为（－1,1），则函数g（x）＝f
＋f（x－1）的定义域为（ ）
A．（－2,0） B．（－2,2）
C．（0,2）D.
[解析] 由题意得
∴
∴0＜x＜2，∴函数g（x）＝f
＋f（x－1）的定义域为（0,2），故选C.
[答案] C
考法（三） 已知函数的定义域求参数的值（范围）
[例3]
（1）若函数y＝
的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）若函数f（x）＝
的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
[解析]
（1）∵函数y＝
的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，
∴m＝0或
即m＝0或0＜m＜
，
∴实数m的取值范围是
.
（2）∵函数f（x）＝
的定义域为{x|1≤x≤2}，
∴
解得
∴a＋b＝－
.
[答案]
（1）D
（2）－
[规律探求]
看个性
考法
（一）是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组），得出不等式（组）的解集即可．
考法
（二）是求抽象函数的定义域，有如下解法：
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域．
考法（三）是考法
（一）的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解
找共性
1.谨记函数定义域的有关口诀
定义域，是何意，自变量，有意义；
分式分母不为零，对数真数只取正；
偶次根式要非负，三者结合生万物；
和差积商定义域，不等式组求交集.
2.函数定义域问题注意事项
（1）函数f（g（x））的定义域指的是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围；
（2）求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；
（3）求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；
（4）函数f（x）±g（x）的定义域是函数f（x），g（x）的定义域的交集
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3、4句]y＝
－log2（4－x2）的定义域是（ ）
A．（－2,0）∪（1,2） B．（－2,0]∪（1,2）
C．（－2,0）∪[1,2）D．[－2,0]∪[1,2]
解析：
选C 要使函数有意义，则
解得x∈（－2,0）∪[1,2），
即函数的定义域是（－2,0）∪[1,2）．
2．[口诀第1句]已知函数y＝f（x2－1）的定义域为[－
，
]，则函数y＝f（x）的定义域为________．
解析：
因为y＝f（x2－1）的定义域为[－
，
]，所以x∈[－
，
]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f（x）的定义域为[－1，2]．
答案：
[－1,2]
3．[口诀第1、3句]若函数f（x）＝
的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．
解析：
若函数f（x）＝
的定义域为实数集R，
则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围是[－2,2]．
答案：
[－2,2]
[全析考法过关]
[考法全析]
考法
（一） 分段函数求值
[例1]
（1）（2019·石家庄模拟）已知f（x）＝
则f
＝________.
（2）已知f（x）＝
则f（7）＝__________________________________.
[解析]
（1）∵f
＝log3
＝－2，
∴f
＝f（－2）＝
－2＝9.
（2）∵7＜9，
∴f（7）＝f（f（7＋4））＝f（f（11））＝f（11－3）＝f（8）．
又∵8＜9，
∴f（8）＝f（f（12））＝f（9）＝9－3＝6.
即f（7）＝6.
[答案]
（1）9
（2）6
考法
（二） 求参数或自变量的值（范围）
[例2]
（1）（2018·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝
则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1] B．（0，＋∞）
C．（－1,0）D．（－∞，0）
（2）（2019·长春模拟）已知函数f（x）＝
若f（a）＋f
（1）＝0，则实数a＝________.
[解析]
（1）∵f（x）＝
∴函数f（x）的图象如图所示．
结合图象知，要使f（x＋1）＜f（2x），
则需
或
∴x＜0，故选D.
（2）当a>0时，由f（a）＋f
（1）＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f（a）＋f
（1）＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．
[答案]
（1）D
（2）－3
[规律探求]
看个性
考法
（一）是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
考法
（二）是在考法
（一）的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值（范围）时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值（范围）后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围
找共性
（1）无论考法
（一）还是考法
（二）都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；
（2）解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题
[过关训练]
1．已知函数f（x）＝
则f（1＋log25）＝________.
解析：
因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f（1＋log25）＝f（1＋1＋log25）＝f（2＋log25）＝
＝
×
＝
.
答案：
2．（2018·衡阳模拟）已知函数f（x）＝
（a∈R），若f（f（－1））＝1，则a＝________.
解析：
∵f（－1）＝2－（－1）＝2，∴f（f（－1））＝f
（2）＝4a＝1，解得a＝
.
答案：
一、题点全面练
1．（2019·重庆调研）函数y＝log2（2x－4）＋
的定义域是（ ）
A．（2,3） B．（2，＋∞）
C．（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）
解析：
选D 由题意，得
解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2（2x－4）＋
的定义域为（2,3）∪（3，＋∞），故选D.
2．（2018·合肥质量检测）已知函数f（x）＝
则f（f
（1））＝（ ）
A．－
B．2
C．4D．11
解析：
选C ∵f
（1）＝12＋2＝3，∴f（f
（1））＝f（3）＝3＋
＝4.故选C.
3．已知函数f（x）＝5|x|，g（x）＝ax2－x（a∈R）．若f（g
（1））＝1，则a＝（ ）
A．1B．2
C．3D．－1
解析：
选A 由已知条件可知f（g
（1））＝f（a－1）＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.
4．（2018·荆州联考）若函数f（x）的定义域是[1,2019]，则函数g（x）＝
的定义域是（ ）
A．[0,2018]B．[0,1）∪（1,2018]
C．（1,2019]D．[－1,1）∪（1,2018]
解析：
选B 由题知，1≤x＋1≤2019，解得0≤x≤2018，又x≠1，所以函数g（x）＝
的定义域是[0,1）∪（1，2018]．
5．已知f
＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（ ）
A.
B．－
C.
D．－
解析：
选A 令t＝
x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，故f（x）＝4x－1，则f（a）＝4a－1＝6，解得a＝
.
6．（2019·石家庄模拟）已知f（x）＝
（0＜a＜1），且f（－2）＝5，f（－1）＝3，则f（f（－3））＝（ ）
A．－2B．2
C．3D．－3
解析：
选B 由题意得，f（－2）＝a－2＋b＝5，①
f（－1）＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0＜a＜1，得a＝
，b＝1，
所以f（x）＝
则f（－3）＝
－3＋1＝9，f（f（－3））＝f（9）＝log39＝2.
7．（2018·福州二模）已知函数f（x）＝
若f（a）＝3，则f（a－2）＝（ ）
A．－
B．3
C．－
或3D．－
或3
解析：
选A 当a>0时，若f（a）＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2（满足a>0）；当a≤0时，若f（a）＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，舍去．于是，可得a＝2.故f（a－2）＝f（0）＝4－2－1＝－
.故选A.
8．（2019·合肥质检）已知函数f（x）满足f（2x）＝2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）＝x2，则f（3）＝（ ）
A.
B.
C.
D．9
解析：
选C ∵f（2x）＝2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）＝x2，∴f（3）＝2f
＝2×
2＝
.
9．（2019·合肥模拟）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，且3f（x）＋5f
＝
＋1，则函数f（x）的解析式为________________________．
解析：
用
代替3f（x）＋5f
＝
＋1中的x，得3f
＋5f（x）＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f（x）＝
x－
＋
（x≠0）．
答案：
f（x）＝
x－
＋
（x≠0）
10．设函数f（x）＝
若f（m）>f（－m），则实数m的取值范围是________．
解析：
函数f（x）＝
当m>0时，f（m）>f（－m），即－lnm>lnm，即lnm＜0，解得0＜m＜1；
当m＜0时，f（m）>f（－m），即ln（－m）>－ln（－m），
即ln（－m）>0，解得m＜－1.
综上可得，m＜－1或0＜m＜1.
答案：
（－∞，－1）∪（0,1）
二、专项培优练
（一）易错专练——不丢怨枉分
1．若函数y＝f（x＋1）的值域为[－1,1]，则函数y＝f（3x＋2）的值域为（ ）
A．[－1,1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[2,8]
解析：
选A 函数y＝f（x＋1）的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y＝f（3x＋2）的值域为[－1,1]．故选A.
2．（2018·山西名校联考）设函数f（x）＝lg（1－x），则函数f[f（x）]的定义域为（ ）
A．（－9，＋∞）B．（－9,1）
C．[－9，＋∞）D．[－9,1）
解析：
选B f[f（x）]＝f[lg（1－x）]＝lg[1－lg（1－x）]，其定义域为
的解集，解得－9＜x
＜1，所以f[f（x）]的定义域为（－9,1）．故选B.
3．（2018·安阳三校联考）若函数f（x）＝
的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0,4）B．（0,4）
C．[4，＋∞）D．[0,4]
解析：
选D 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0＜m≤4.
综上可得，0≤m≤4.
4．（2019·珠海质检）已知函数f（x）＝
的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1]B.
C.
D.
解析：
选C 由题意知y＝lnx（x≥1）的值域为[0，＋∞），故要使f（x）的值域为R，则必有y＝（1－2a）x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a>0，且a≥－1，解得－1≤a＜
.
5．（2018·合肥质检）已知函数f（x）＝
的值域是[0，＋∞），则实数m的取值范围是________．
解析：
当m＝0时，函数f（x）＝
的值域是[0，＋∞），显然成立；当m>0时，Δ＝（m－3）2－4m≥0，解得0＜m≤1或m≥9.显然m＜0时不合题意．综上可知，实数m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞）．
答案：
[0,1]∪[9，＋∞）
（二）技法专练——活用快得分
6．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgnx＝
则（ ）
A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx
解析：
选D 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝（－x）·（－1）＝x，排除A、B、C，故选D.
7．[特殊值法]函数y＝
（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[0,1]，则loga
＋loga
＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选C 当x＝1时，y＝0，则函数y＝
在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则
＝1，∴a＝2.∴log2
＋log2
＝log2
＝log28＝3.
8．[数形结合法]设函数f（x）＝
则满足f（x）＋f（x－1）>1的x的取值范围是________．
解析：
画出函数f（x）的大致图象如图，易知函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．又因为x>x－1，且x－（x－1）＝1，f（0）＝1，所以要使f（x）＋f（x－1）>1成立，则结合函数f（x）的图象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范围是（0，＋∞）．
答案：
（0，＋∞）
（三）素养专练——学会更学通
9．[逻辑推理]具有性质f
＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：
①f（x）＝x－
；②f（x）＝x＋
；③f（x）＝
其中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A．①③B．②③
C．①②③D．①②
解析：
选A 对于①，f
＝
－x＝－f（x），满足题意；对于②，f
＝
＋x＝f（x），不满足题意；对于③，f
＝
即f
＝
故f
＝－f（x），满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.
10．[数学运算]已知函数f（x）＝
g（x）＝2x－1，则f（g
（2））＝__________，f（g（x））的值域为________．
解析：
g
（2）＝22－1＝3，∴f（g
（2））＝f（3）＝2.易得g（x）的值域为（－1，＋∞），∴若－1＜g（x）≤0，f（g（x））＝[g（x）]2－1∈[－1,0）；若g（x）>0，f（g（x））＝g（x）－1∈（－1，＋∞），∴f（g（x））的值域是[－1，＋∞）．
答案：
2 [－1，＋∞）
11．[数学抽象]设函数f：
R→R，满足f（0）＝1，且对任意x，y∈R都有f（xy＋1）＝
f（x）f（y）－f（y）－x＋2，则f（2018）＝________.
解析：
令x＝y＝0，则f
（1）＝f（0）·f（0）－f（0）－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f
（1）＝f（x）f（0）－f（0）－x＋2，将f（0）＝1，f
（1）＝2代入，可得f（x）＝1＋x，所以f（2018）＝2019.
答案：
2019
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