菱形基础习题.docx

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菱形基础习题

菱形复习

一定义：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

二性质：

边：

菱形的两组对边分别平行.

菱形的四条边相等.

角：

菱形的两组对角分别相等,邻角互补.

对角线：

菱形的两条对角线互相垂直平分.

菱形的每一条对角线都平分一组对角

对称性：

菱形是轴对称图形

三判定：

边：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

四条边都相等的四边形是菱形.

对角线：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.

四菱形面积的计算：

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.

即假设用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为：

有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.

五典型例题：

一如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB,AE=5.

〔1〕判断四边形AEDF的形状？

〔2〕四边形AEDF的周长为多少？

二如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．求证：

四边形EGFC为菱形．〔图在本子上〕

三如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，CE与AD交与点M，DF与CB交与点N，且AE=AB=BF，求证:

CE⊥DF.

四如下图，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。

五如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，〔1〕求证四边形BDEF是菱形。

〔2〕假设AB=12cm，求菱形BDEF的周长？

六．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

七已知：

如下图，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分别相交于点E、F、G、H，求证：

四边形EFGH为矩形。

八如图在菱形ABCD中，AC和BD相交于O，且AC∶BD=1∶√3，假设AB=3求菱形面积

稳固练习：

〔一〕、选择题

1.以下命题中，真命题是〔〕

12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是〔〕

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm

ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，〔如图1〕则∠EAF等于〔〕

°°°°

图1图2

ABCD中，AE⊥BC于E，假设S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为〔〕

A.12B.8

2cm，一条对角线的长是2

cm,则另一条对角线的长是〔〕

A.4cmB.

cmC.2cmD.2

cm

6.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是〔〕

7.能够判别一个四边形是菱形的条件是〔〕

100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是〔〕

A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2

9.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为〔〕

B.8

10.以下语句中，错误的选项是〔〕

11．〔2011•衡阳〕如下图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是〔3，4〕，则顶点M、N的坐标分别是〔　　〕

A．M〔5，0〕，N〔8，4〕B．M〔4，0〕，N〔8，4〕C．M〔5，0〕，N〔7，4〕D．M〔4，0〕，N〔7，4〕

12．〔2010•肇庆〕菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为〔　　〕

A．2B．

C．1D．

13．〔2010•襄阳〕菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为〔　　〕

A．3：

1B．4：

1C．5：

1D．6：

1

14．〔2010•宜昌〕如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为〔　　〕

A．15B．

C．7.5D．

〔二〕填空题

5．〔2011•铜仁地区〕已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是　_________　cm2．

6．〔2011•綦江县〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=　_________　．

7．〔2011•南京〕如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为　　cm2．

6题图7题图8题图9题图

8．〔2011•鞍山〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为　_________　．

9．〔2010•嘉兴〕如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=　_________　度．

10．〔2009•江西〕如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，假设墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=　_________　度．

10题图12题13题图14题图

11．〔2009•朝阳〕已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为

，则另一条对角线的长为　_________　．

12．〔2009•安顺〕如下图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在　_________　点．

13．〔2008•长沙〕如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是　_________　cm．

14．〔2006•云南〕已知：

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为　_________　．

15．〔2005•黄石〕已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：

4，则菱形的面积为　_________　cm2．

16．〔2005•新疆〕已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是　_________　cm2．

17．〔2004•贵阳〕如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点〔点P不与点A、C重合〕，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　_________　．

17题图18题图19题图

18．〔2003•温州〕如图：

菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　_________　．

19．如图：

点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=　_________　度．

三解答

20．〔2011•南昌〕如图，四边形ABCD为菱形，已知A〔0，4〕，B〔﹣3，0〕．

〔1〕求点D的坐标；

〔2〕求经过点C的反比例函数解析式．

21．〔2011•广安〕如下图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：

DE=

BE．

22．〔2010•益阳〕如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

〔1〕求∠ABD的度数；

〔2〕求线段BE的长．

23．〔2010•宁洱县〕如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

〔1〕求证：

BE=BF；

〔2〕当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

24．〔2009•贵阳〕如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点〔不与A、B重合〕，连接DP交对角线AC于E连接BE．

〔1〕证明：

∠APD=∠CBE；

〔2〕假设∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

，为什么？

如下图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在　B　点．

考点：

菱形的性质。

分析：

根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．

解答：

解：

根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，

∵2009÷8=251余1，∴行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点．故答案为B．

15．〔2005•黄石〕已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：

4，则菱形的面积为　96　cm2．

考点：

菱形的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．

解答：

解：

设两条对角线长分别为3x，4x，

根据勾股定理可得〔

〕2+〔

〕2=102，

解之得，x=4，

则两条对角线长分别为12cm、16cm，

∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2．

故答案为96．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．

16．〔2005•新疆〕已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是　120　cm2．

考点：

菱形的性质。

专题：

计算题。

分析：

已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．

解答：

解：

由题意可得，AD=13cm，OA=12cm，

根据勾股定理可得，OD=5cm，则BD=10cm，则它的面积是24×10×

=120cm2．

故答案为：

120．

点评：

此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．

17．〔2004•贵阳〕如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点〔点P不与点A、C重合〕，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　2.5　．

考点：

菱形的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．

解答：

解：

阴影部分的面积等于△ABC的面积．

∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，

菱形ABCD的面积=

AC•BD=5，

∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．

故答案为2.5．

点评：

此题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．

18．〔2003•温州〕如图：

菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　

　．

考点：

菱形的性质；线段垂直平分线的性质。

专题：

动点型。

分析：

过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．

解答：

解：

当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．

过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．

∵∠B=120°

∴∠CAB=30°

∴PA=2EP

∵AB=2，E是AB的中点

∴AE=1

在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1

∴PE=

，PA=

∴PE+PB=PE+PA=

．

故答案为

．

点评：

此题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．此题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．

19．如图：

点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=　45　度．

考点：

菱形的性质；等边三角形的判定。

专题：

计算题。

分析：

首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．

解答：

解：

连接AC，

∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，

∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°

∴AB=AC，∠ACF=

∠BCD=60°，

∴∠B=∠ACF，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，

又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE与△ACF中

∴△ABE≌△ACF〔ASA〕，

∴AE=AF，

又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，

又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°，

则∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°．

故答案为45．

点评：

此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理．